2020版高考数学复习大题专项突破高考大题专项5直线与圆锥曲线（压轴大题）文北师大版.docx

高考大题专项五直线与圆锥曲线压轴大题突破1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018江西上饶一模,20)已知椭圆M:=1(ab0)的离心率为,点P1, 在椭圆M上.(1)求椭圆M的方程;(2)经过椭圆M的右焦点F的直线l与椭圆M交于C,D两点,A,B分别为椭圆M的左、右顶点,记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的取值范围.2.(2018宁夏银川一中四模,20)已知椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,有|MF1|+|MF2|=4,椭圆的离心率为e=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知N(4,0),过点N作斜率为k(k0)的直线l与椭圆交于A,B不同两点,线段AB的中垂线为l,记l的纵截距为m,求m的取值范围.3.(2018北京海淀区二模,20)已知椭圆C:x2+2y2=1的左右顶点分别为A1,A2.(1)求椭圆C的长轴长与离心率;(2)若不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,直线A1P与A2Q交于点M,直线A1Q与A2P交于点N.求证:直线MN垂直于x轴.4.(2018广东珠海质检,20)已知抛物线C1:y2=2px(p0),圆C2:x2+y2=4,直线l:y=kx+b与抛物线C1相切于点M,与圆C2相切于点N.(1)若直线l的斜率k=1,求直线l和抛物线C1的方程;(2)设F为抛物线C1的焦点,设FMN,FON的面积分别为S1,S2,若S1=S2,求的取值范围.5.(2018重庆巴蜀中学适应性考试(七),20)已知椭圆=1(ab0)与直线y=x-2相切,设椭圆的上顶点为M,F1,F2是椭圆的左、右焦点,且MF1F2为等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l过点N0,- 交椭圆于A,B两点,直线MA、MB分别与椭圆的短轴为直径的圆交于S,T两点,求证:O,S,T三点共线.6.(2018河北衡水联考,20)已知椭圆=1(ab0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,且F2与抛物线y2=4x的焦点重合.(1)求椭圆的标准方程;(2)若过F1的直线交椭圆于B,D两点,过F2的直线交椭圆于A,C两点,且ACBD,求|AC|+|BD|的最小值.突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题 1.(2018福建厦门质检一,20)设O为坐标原点,椭圆C:=1(ab0)的左焦点为F,离心率为.直线l:y=kx+m(m0)与C交于A,B两点,AF的中点为M,|OM|+|MF|=5.(1)求椭圆C的方程;(2)设点P(0,1),=-4,求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.2.(2018东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)一模,20)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆C的左、右焦点,M为椭圆C上的任意一点,MF1F2的面积的最大值为1,A、B为椭圆C上任意两个关于x轴对称的点,直线x=与x轴的交点为P,直线PB交椭圆C于另一点E.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求证:直线AE过定点.3.(2018广东一模,20)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,且C过点1,.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),且直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,证明:直线l的斜率为定值.4.已知定直线l:y=x+3,定点A(2,1),以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切.(1)求椭圆的标准方程;(2)椭圆的弦AP,AQ的中点分别为M,N,若MN平行于l,则OM,ON斜率之和是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由.5.(2018江西六校联考,20)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,其中右焦点为抛物线y2=4x的焦点,点M-1,在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设与坐标轴不垂直的直线l过F2与椭圆C交于A,B两点,过点M-1,且平行直线l的直线交椭圆C于另一点N,若四边形MNBA为平行四边形,试问直线l是否存在?若存在,请求出l的斜率;若不存在,请说明理由.6.(2018辽宁省部分重点中学协作体模拟,20)已知M是椭圆C:=1(ab0)上的一点,F1,F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.高考大题专项五 直线与圆锥曲线压轴大题突破1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)因为e=,椭圆M过点P1, ,所以c=1,a=2.所以椭圆M方程为=1.(2)当直线l无斜率时,直线方程为x=1,此时C1,-,D1,ABD,ABC面积相等,|S1-S2|=0;当直线l斜率存在(显然k0)时,设直线方程为y=k(x-1),设C(x1,y1),D(x2,y2).由消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,显然0,方程有根,且x1+x2=,x1x2=,此时|S1-S2|=2|y2|-|y1|=2|y2+y1|=,因为k0,上式=k=时等号成立,所以|S1-S2|的最大值为,所以0|S1-S2|.2.解 (1)因为|MF1|+|MF2|=4,所以2a=4,所以a=2.因为e=,所以c=1,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的标准方程为=1.(2)由题意可知直线l的斜率存在,设l:y=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0,x1+x2=,x1x2=,又=-4(4k2+3)(64k2-12)0,解得-k,故0k0恒成立,所以m=在k0,上为增函数,所以0m0,由l与C2相切知,C2(0,0)到l的距离d=2,得b=2,所以l:x-y+2=0.将l与C1的方程联立消x得y2-2py+4p=0,其=4p2-16p=0得p=4,C1:y2=8x.综上所述,l:x-y+2=0,C1:y2=8x.(2)不妨设k0,根据对称性,k0得到的结论与k0,又知p0,设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y得k2x2+2(kb-p)x+b2=0,由=4(kb-p)2-4k2b2=0,得p=2kb,M,由l与C2切于点N知C2(0,0)到l:kx-y+b=0的距离d=2,得b=2,则p=4k,故M,4.由得N-,故|MN|=|xM-xN|=.F,0到l:kx-y+b=0的距离d0=2k2+2,所以S1=SFMN=|MN|d0=,又因为S2=SFON=|OF|yN|=2k,所以=+2(k2+1)=2k2+32+3,当且仅当2k2=即k=时取等号,与上同理可得,k0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,又M(0,2),=x1x2+(y1-2)(y2-2)=x1x2+kx1-kx2-=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+=-=-+1=0.MAMB,SMT=.圆的直径为椭圆的短轴,圆心为原点O,点O,S,T三点共线.6.解 (1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以c=1,又因为e=,所以a=,所以b2=2,所以椭圆的标准方程为=1.(2)当直线BD的斜率k存在且k0时,直线BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程=1,化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2-6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,|BD|=|x1-x2|=.易知直线AC的斜率为-,所以|AC|=,|AC|+|BD|=4(k2+1)=,当k2=1,即k=1时,上式取等号,故|AC|+|BD|的最小值为.当直线BD的斜率不存在或等于零时,易得|AC|+|BD|=.综上所述,|AC|+|BD|的最小值为.突破2圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.解 (1)设椭圆的右焦点为F1,则OM为AFF1的中位线.OM=AF1,MF=AF,|OM|+|MF|=a=5,e=,c=2,b=,椭圆C的方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y整理得(1+5k2)x2+10mkx+5m2-25=0.0,x1+x2=-,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=,P(0,1),=-4,(x1,y1-1)(x2,y2-1)=x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=-4,+5=0,整理得3m2-m-10=0,解得m=2或m=-(舍去).直线l过定点(0,2).2.(1)解 当M为椭圆C的短轴端点时,MF1F2的面积的最大值为1,2cb=1,bc=1,e=,a2=b2+c2,a=,b=1,椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)证明 设B(x1,y1),E(x2,y2),A(x1,-y1),且x1x2,x=2,P(2,0),由题意知BP的斜率必存在,设BP:y=k(x-2),代入+y2=1得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,由0得k2,x1+x2=,x1x2=.x1x2AE斜率必存在,AE:y+y1=(x-x1),由对称性易知直线AE过的定点必在x轴上,则当y=0时,得x=+x1=1,即在k20.设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.直线OP,l,OQ的斜率成等比数列,k2=,整理得km(x1+x2)+m2=0,+m2=0,又m0,所以k2=,结合图像(图略)可知k=-,故直线l的斜率为定值.4.解 (1)设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m0,n0,mn),椭圆C过点A,所以4m+n=1.将y=x+3代入椭圆方程化简得(m+n)x2+6nx+9n-1=0.因为直线l与椭圆C相切,所以=(6n)2-4(m+n)(9n-1)=0,解可得m=,n=.所以椭圆的标准方程为=1.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则有M,N.由题意可知PQMN,所以kPQ=kMN=1.设直线PQ的方程为y=x+t(-3t0,所以kOM+kON=,通分后可变形得到kOM+kON=,将式代入得kOM+kON=0.当t=0时,直线PQ的方程为y=x,易得P(),Q(-,-),则M,N,所以kOM+kON=0.所以OM,ON斜率之和为定值0.5.解 (1)由y2=4x的焦点为(1,0)可知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),又点M-1,在椭圆上,所以解得所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由题意可设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|AB|=.设直线MN的方程为y-=k(x+1),M(x3,y3),N(x4,y4),由消去y,得(1+2k2)x2+(4k2+2k)x+(2k2+2k-1)=0,因为x3=-1,所以x4=-,|MN|=|x3-x4|=.因为四边形MNBA为平行四边形,所以|AB|=|MN|,即,k=-,但是,直线l的方程y=-(x-1),即x+2y-1=0过点M-1,即直线AB与直线MN重合,不符合题意,所以直线l不存在.6.解 (1)由题意,知F1(-,0),F2(,0),根据椭圆定义得|MF1|+|MF2|=