导学案032数列的综合运用.doc

数列的综合运用考纲要求能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题.考情分析1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查3.各种题型都有可能出现.教学过程基础梳理1等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系双基自测1某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ()A800 B820C840 D8602(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ()A6秒钟 B7秒钟C8秒钟 D9秒钟3若a，b，c成等比数列，则函数yax2bxc的图象与x轴的交点的个数为 ()A0 B1C2 D不能确定4512汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠三维设计系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐_万册5一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为_典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用例1(2010福建高考)数列an中，a1，前n项和Sn满足Sn1Snn+1(nN*)(1)求数列an的通项公式an以及前n项和Sn；(2)若S1，t(S1S2)，3(S2S3)成等差数列，求实数t的值变式1(2012北京东城区综合练习)在等比数列an中，an0(nN*)，公比q (0,1)，且a1a52a3a5a2a825，a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，数列bn的前n项和为Sn，当最大时，求n的值 对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系往往用到转化与化归的思想方法考点二数列在实际问题中的应用【例2】 在一次人才招聘会上，有A，B两家公司分别开出它们的工资标准：A公司许诺第一年月工资数为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B公司许诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元(精确到1元)？并说明理由(参考数据log1.052.317.1)变式2. 银行按规定每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还本息若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多 (计算结果精确到千元，参考数据：1.1102.594,1.31013.786)在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？答案：单利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1rn)，属于等差模型复利公式设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和ana(1r)n，属于等比模型考点三、数列与函数、不等式、解析几何的交汇问题【例3】(2012南昌模拟)等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且b1，b，r均为常数)的图象上(1)求r的值；(2)当b2时，记bn(nN*)，求数列bn的前n项和Tn.变式3.(2011福建)已知等比数列an的公比q3，前3项和S3.(1)求数列an的通项公式；(2)若函数f(x)Asin(2x)(A0,0)在x处取得最大值，且最大值为a3，求函数f(x)的解析式【例4】(2011陕西)如图，从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线yex于点Q1(0,1)，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；Pn，Qn.记Pk点的坐标为(xk,0)(k1,2，n)(1)试求xk与xk1的关系(2kn)；(2)求|P1Q1|P2Q2|P3Q3|PnQn|.【例5】(2011安徽)在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlg Tn，n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bntan antan an1，求数列bn的前n项和Sn.数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题如恒成立，最值问题 等二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题考题范例(12分)(2012青岛月考)已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1(n2)求证：SSS.规范解答：an2SnSn1(n2)，SnSn12SnSn1.两边同除以SnSn1，得2(n2)，(2分)数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列， (n1)d22(n1)2n，Sn.(4分)将Sn代入an2SnSn1，得an(7分)S(n2)，S，当n2时，SSSb2Ba3b32已知等差数列an的前n项和为Sn，S936，S13104，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b6的值为()A4 B4C4 D无法确定3(2012青岛模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的一个方向向量的坐标可以是()A(2,4) B.C. D(1，1)4已知数列an，bn满足a11且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则b10等于()A24 B32C48 D645(2011上海高考)设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1,2，)，则An为等比数列的充要条件为()Aan是等比数列Ba1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n，是等比数列Ca1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列Da1，a3，a2n1，