二重积分与三重积分区别.doc

都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)(ab) dx = L(直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)(ab) f(x) dx = A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = (ab) f(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2(ab) xf(x) dx计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了() (1/2)A() d = A(极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z = f(x，y)当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)(ab) (cd) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积(ab) (cd) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换： x = rcos y = rsin 、最大范围：0 2() (hk) f(rcos，rsin) r drd三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)(ab) (cd) (ef) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)： x = rcos y = rsin z = z h r k 、最大范围：0 2() (hk) (zz) f(rcos，rsin，z) r dzdrd极坐标变化(球坐标)： x = rsincos y = rsinsin z = rcos h r k a b、最大范围：0 、最大范围：0 2() (ab) (hk) f(rsincos，rsinsin，rcos) rsin drdd所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。重积分能化为几次定积分，每个定积分能控制不同的伸展方向。又比如说，在a x b里由f(x)和g(x)围成的面积，其中f(x) g(x)用定积分求的面积公式是(ab) f(x) - g(x) dx但是升级的二重积分，面积公式就是(ab) dx (g(x)f(x) dx、被积函数变为1了用不同积分层次计算由z = x + y、z = a围成的体积？一重积分(定积分)：向zox面投影，得z = x、令z = a - x = a、采用圆壳法V = 2rh = 2(0a) xz dx = 2(0a) x dx = 2 (1/4) x |(0a) = a/2二重积分：高为a、将z = x + y向xoy面投影得x + y = a所以就是求(D) (x + y) dxdy、其中D是x + y = aV = (D) (x + y) dxdy = (02) d (0a) r dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的= 2 (1/4) r |(0a) = a/2三重积分：旋转体体积，被积函数是1，直接求可以了柱坐标切片法：Dz：x + y = zV = () dxdydz= (0a) dz Dz dxdy= (0a) z dz= z/2 |(0a)= a/2柱坐标投影法：Dxy：x + y = aV = () dxdydz= (02) d (0a) r dr (ra) dz= 2 (0a) r (a - r) dr= 2 ar/2 - (1/4)r |(0a)= 2 a/2 - (1/4)a = a/2三重积分求体积时能用的方法较多，就是所说的高自由度。既然都说了这麼多，再说一点吧：如果再学下去的话，你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易学完求体积的公式，就会有求曲面的公式就是曲线积分和曲面积分，又分第一类和第二类当被积函数为1时，第一类曲线积分就是求弧线的长度，对比定积分只能求直线长度(C) ds = L(曲线长度)被积函数不为1时，就是求以弧线为底线的曲面的面积(C) f(x，y) ds = A(曲面面积)当被积函数为1时，第一类曲面积分就是求曲面的面积，对比二重积分只能求平面面积() dS = A(曲面面积)、自由度比第一