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跟踪演练(二)(建议用时:40分)1(2015邢台四模)如图26,已知AB是O的直径,AC是弦,ADCE,垂足为D,AC平分BAD.图26(1)求证:直线CE是O的切线;(2)求证:AC2ABAD.【证明】(1)连接OC,如图所示:因为OAOC,所以OCAOAC.又因为ADCE,所以ACDCAD90,又因为AC平分BAD,所以OACCAD,所以OCAACD90,即OCCE,所以CE是O的切线(2)连接BC,因为AB是O的直径,所以BCAADC90,因为CE是O的切线,所以BACD,所以ABCACD,所以,即AC2ABAD.2(2015唐山一模)如图27,圆周角BAC的平分线与圆交于点D,过点D的切线与弦AC的延长线交于点E,AD交BC于点F.图27(1)求证:BCDE;(2)若D,E,C,F四点共圆,且,求BAC.【解】(1)因为EDCDAC,DACDAB,DABDCB,所以EDCDCB,所以BCDE.(2)因为D,E,C,F四点共圆,所以CFACED,由(1)知ACFCED,所以CFAACF.设DACDABx,因为,所以CBABAC2x,所以CFAFBAFAB3x,在等腰三角形ACF中,CFAACFCAF7x,则x,所以BAC2x.1(2015郑州二模)如图28,O是ABC的外接圆,BAC的平分线交BC于点F,D是AF的延长线与O的交点,AC的延长线与O的切线DE交于点E.图28 (1)求证:;(2)若BD3,EC2,CA6,求BF的值【解】(1)证明:连接CD,AD是BAC的平分线,BADEAD,又DE与O相切于D,CDEEADBAD,DCE是O的内接四边形ABDC的外角,DCEABD,DCEABD,.(2)AD是BAC的平分线,BDCD3,CBDBCD,DE与O相切于D,EC2,CA6,DE2ECEAEC(ECCA)16,CDECBD,DE4,CDEBCD,DEBC,EACBADB,DCEBFD,BF.2(2015全国卷)如图29,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点(1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的半径,且AEMN2,求四边形EBCF的面积【解】(1)证明:由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AEAF,故ADEF,从而EFBC.(2)由(1)知,AEAF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线又EF为O的弦,所以O在AD上连接OE,OM,则OEAE.由AG等于O的半径得AO2OE,所以OAE30.因此ABC和AEF都是等边三角形因为AE2
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