2018年高考数学数列压轴专项练习集一.docVIP

2018年高考数学数列压轴专项练习集（一）1.已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0设是数列的前n项和若是数列的前3项，且=16（1）求数列和的通项公式；（2）若数列为等差数列，求实数；（3）构造数列若该数列前n项和，求n的值2.已知数列满足，且（1）求的值；（2）设为数列的前n项的和，求；（3）设，是否存正整数i，j，k（ijk），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由3.(本题满分12分)设数列的前n项和为,已知,数列是公差为d的等差数列,.(1) 求d的值;(2) 求数列的通项公式;(3) 求证:.4.设数列的首项，且时，(1)若，求，(2)若，证明：(3)若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立5.已知数列an的前n项和为Sn，a1=0，a1+a2+a3+an+n=an+1，nN*（）求证：数列an+1是等比数列；（）设数列bn的前n项和为Tn，b1=1，点（Tn+1，Tn）在直线上，若不等式对于nN*恒成立，求实数m的最大值6.设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）（1）n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；（2）求数列an的通项公式；（3）记数列an的前n项的和为Sn，试证明：对任意nN*恒有+成立7.在数列中，（）求的值；（）猜想的表达式，并证明你的猜想8.设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.9.已知f（n）=1+，g（n）=，nN*（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明10.设数列an的前n项和为Sn，若（nN*），则称an是“紧密数列”；（1）若a1=1，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）若an为等差数列，首项a1，公差d，且0da1，判断an是否为“紧密数列”；（3）设数列an是公比为q的等比数列，若数列an与Sn都是“紧密数列”，求q的取值范围试卷答案1.【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）设an的公差d0由a1，a2，a5是数列bn的前3项，且S4=16可得，即，4a1+=16，解得a1，d，即可得出（2）Sn=n2可得=根据数列为等差数列，可得=+，t22t=0解得t（3）由（1）可得：Sn=n2，数列bn的前n项和An=数列An的前n项和Un=n=n数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，ak，b1，b2，bk，可得：该数列前k+=项和=k2+（k1），根据37=2187，38=6561进而得出【解答】解：（1）设an的公差d0a1，a2，a5是数列bn的前3项，且S4=16，即，4a1+=16，解得a1=1，d=2，an=1+（n1）2=2n1b1=1，b2=3，公比q=3bn=3n1（2）Sn=n2 =数列为等差数列，=+，t22t=0解得t=2或0，经过验证满足题意（3）由（1）可得：Sn=n2，数列bn的前n项和An=数列An的前n项和Un=n=n数列a1，b1，a2，b1，b2，a3，b1，b2，b3，ak，b1，b2，bk，该数列前k+=项和=k2+（k1），37=2187，38=6561取k=8，可得前=36项的和为： =1700，令Tn=1821=1700+，解得m=5n=36+5=412.【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，结合a1=1，a2=1，进一步求得，则a5+a6可求；（2）当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k），代入等比数列前n项和公式求解；当n=2k1时，由Sn=S2ka2k求解；（3）由（1）得（仅b1=0且bn递增）结合kj，且k，jZ，可得kj+1然后分kj+2与k=j+1两类分析可得满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=3【解答】解：（1）由题意，当n为奇数时，；当n为偶数时，又a1=1，a2=1，即a5+a6=2；（2）当n=2k时，Sn=S2k=（a1+a3+a2k1）+（a2+a4+a2k）=当n=2k1时，Sn=S2ka2k= ；（3）由（1），得（仅b1=0且bn递增）kj，且k，jZ，kj+1当kj+2时，bkbj+2，若bi，bj，bk成等差数列，则=，此与bn0矛盾故此时不存在这样的等差数列当k=j+1时，bk=bj+1，若bi，bj，bk成等差数列，则=，又ij，且i，jZ，ij1若ij2，则bibj2，得，得0，矛盾，i=j1从而2bj=bj1+bj+1，得，化简，得3j2=1，解得j=2从而，满足条件的i，j，k只有唯一一组解，即i=1，j=2，k=33.3分8分12分4.见解析解：得，证明：当时，当，综上，时，解：若，由知，所以，当时，对所有的，成立若，则，且，当时，对所有的，成立，若，则，时，对所有的，成立，综上，若，则，若，则，若，则，5.【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（）利用递推式可得：an+1=2an+1，变形利用等比数列的定义即可证明；（）由（）得，由点（Tn+1，Tn）在直线上，可得，利用等差数列的通项公式可得：，利用递推式可得bn=n利用不等式，可得Rn=，利用“错位相减法”可得：对n分类讨论即可得出【解答】解：（）由a1+a2+a3+an+n=an+1，得a1+a2+a3+an1+n1=an（n2），两式相减得an+1=2an+1，变形为an+1+1=2（an+1）（n2），a1=0，a1+1=1，a2=a1+1=1，a2+1=2（a1+1），a1+1是以1为首项，公比为2的等比数列（）由（）得，点（Tn+1，Tn）在直线上，故是以为首项，为公差的等差数列，则，当n2时，b1=1满足该式，bn=n不等式，即为，令，则，两式相减得，由恒成立，即恒成立，又，故当n3时，单调递减；当n=3时，；当n4时，单调递增；当n=4时，；则的最小值为，所以实数m的最大值是6.【考点】数列与不等式的综合【分析】（1）在48的矩形区域内有59个整点，对角线上有5个整点，可求a2的值；（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），即可求数列an的通项公式；（3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，在48的矩形区域内有59个整点，对角线上有5个整点，a2=25（另解：a2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），据题意有an=10n+5（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）（3）Sn=5n（n+2）（8分）=，+=（+）=（+）（13分）【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题7.（） (3分) （6分）（）猜想， （7分）下面用数学归纳法证明：1)当n=1时，猜想正确； （8分）2）假设当n=k时猜想正确，即那么即n=k+1时猜想也正确. （12分）根据1），2）可知，对任意都有 （13分）略8.（1）数列是各项均为正数的等比数列，又，； 4分（2）（）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，若，则， . 6分若，则，左边为偶数，等式不成立，若，同理也不成立，综合，得，所以必要性成立. 8分（）充分性：设，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立.综合（）（），原命题成立. 10分（3）因为，即，（*）当时，（*）则（*）式两边同乘以2，得，（*）（*）（*），得，即，又当时，即，适合，.14分，时，即；时，此时单调递减，又，. 16分9.【考点】用数学归纳法证明不等式；不等式比较大小【分析】（1）根据已知，nN*我们易得当n=1，2，3时，两个函数函数值的大小，比较后，根据结论我们可以归纳推理得到猜想f（n）g（n）；（2）但归纳推理的结论不一定正确，我们可用数学归纳法进行证明，先证明不等式f（n）g（n）当n=1时成立，再假设不等式f（n）g（n）当n=k（k1）时成立，进而证明当n=k+1时，不等式f（n）g（n）也成立，最后得到不等式f（n）g（n）对于所有的正整数n成立；【解答】解：（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；当n=2时，所以f（2）g（2）；当n=3时，所以f（3）g（3）（2）由（1），猜想f（n）g（n），下面用数学归纳法给出证明：当n=1，2，3时，不等式显然成立假设当n=k（k3）时不等式成立，即即+，那么，当n=k+1时，因为，所以由、可知，对一切nN*，都有f（n）g（n）成立10.【考点】数列的应用【分析】（1）由题意，且，即可求出x的取值范围；（2）由题意，an=a1+（n1）d， =1+，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；（3）先设公比是q并判断出q1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简，根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值