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从一道高考试题浅谈组合中的均匀分组问题王凯成（西安美术学院临潼校区 710600）5名志愿者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有（ ）.（A）150种 （B）180种 （C）200种 （D）280种这是2006年全国高考文科数学卷第12题.解：5=1+1+3=1+2+2四个选择支中没有300，解法肯定错了！错在哪？错在有重复计数！这涉及到组合中的均匀分组问题.什么是组合中的均匀分组？所谓均匀分组，是指将元素分成组，各组元素的个数全部相等，或者一部分的组相等.例如：从7个人中选6个人参加植树活动，分成3组，每组2人.有多少种不同的分法？分析：把7个人记为a、b、c、d、e、f、g，来具体分析研究.取出的6人选2人再选2人又选2人分组数a、b、c、d、e、fa、bc、de、f这3！=6种只能算一种.a、be、fc、dc、da、be、fc、de、fa、be、fa、bc、de、fc、da、ba、cb、de、f这3！=6种只能算一种.a、ce、fb、db、da、ce、fb、de、fa、ce、fa、cb、de、fb、da、ca、b、c、d、e、g显然，第1种分组a、b、c、d、e、f，第2种分组a、b、e、f、c、d，第3种分组c、d、a、b、e、f，第3！=6种分组e、f、c、d、a、b仅仅是：a、b、c、d、e、f出现的顺序不同，所以这3！种分组只能算一种.其它类同.从7个人中选6个人有种选法；再从选出的6个人中选出2人组成一组有种选法；又从剩下的4人中选出2人组成一组有种选法；最后再把选出的6个人中剩下的2人组成一组有种选法. 、相乘，则每一种都重复了3！次，所以不同的分法有：也可以从7个人中直接选2人作为一组有种选法；再从剩下的5人中选出2人组成一组有种选法；最后从剩下的3人中选出2人组成一组有种选法. 、相乘，则每一种都重复了3！次，所以不同的分法有：一般地，将m个不同元素分成不区别不编号的n个组，若其中有()个组的元素的个数是相同的为，有()个组的元素的个数是相同的为，有()个组的元素的个数是相同的为(，则分组的方法种数是：在排列组合应用题中，如果既有排列又有组合，应该是先求组合，再求排列.例1：见开头2006年全国高考文科数学卷第12题.解：5=1+1+3=1+2+2把5个人分成3组：有2个组每组各1人，还有1个组有3人.不同的分法有把5个人分成3组：有2个组每组各2人，还有1个组有1人.不同的分法有将每一种分法的3组教师分到3所学校支教，有=6种方法.故：5名志愿者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有（10+15）6=150种.选择A.例2：6名志愿者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有多少种？解：6=1+1+4=1+2+3=2+2+2.把6个人分成3组：有2个组每组各1人，还有1个组有4人.不同的分法有把6个人分成3组：有1个组只有1人，有1个组有2人，还有1个组有3人.不同的分法有把6个人分成3组：3个组每组各2人.不同的分法有将每一种分法的3组教师分到3所学校支教，有=6种方法.故：6名志愿者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有（15+60+15）6=540种.例3：从8名志愿者中挑选6名分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有多少种？解：6=1+1+4=1+2+3=2+2+2.列式为：=15120(种) .或：=15120(种) .故知不同的分法共有15120种.练习题：1. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 （A）30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 （2006年重庆市高考数学理科第8题）2. 将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（A）12种 (B)24种 (C)36种 (D)48种（2004年全国高考数学卷文科、理科第12题）3. 某校高二年级共有六个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（A） (B) (C) (D)（20