《高等数学》同济第六版第8章答案.pdfVIP

第 8 章（部分）习题参考答案 第 8 章（部分）习题参考答案 1. 求下列函数的定义域： (1) zxy=+ (2) )ln(yxz+= (3) 22222222 rzyxzyxRz+= 解： （1）要使函数有意义，只需0x ，故该函数的定义域为( , )0,x y xy + yx，故该函数的定义域为0),(+ yxyx； （3）要使函数有意义，只需 222 222 xyr xyR + + ， 故该函数的定义域为 222 ( , )x yrxyR+. 2.求下列各极限 （1） 22 ( , )(0,1) 1 lim 2 x y xy xy + （2） 22( , )(1,0) ln() lim y x y xe xy + + （3） ( , )(0,1) sin lim x y xy x (4) ( , )(0,0) lim 1 1 x y xy xy + 解： （1） 22 ( , )(0,1) 1 lim 2 x y xy xy + 1 ; 2 = （2） 22( , )(1,0) ln() lim y x y xe xy + + ln2 ln2; 1 = （3） ( , )(0,1) sin lim x y xy x ( , )(0,1)( , )(0,1) limlim1; x yx y xy y x = （4） ( , )(0,0)( , )(0,0) limlim(1 1)2. 1 1 x yx y xy xy xy =+ += + 3.求下列函数的偏导数： (1) 233 3xyyxz+= (2) y yexz 2 = (3) ln()zxxy=+ (4) xyz we= 解： （1） 22 33 z xy x = ， 2 36 z yxy y = （2） z x = y xye2， z y = y ex2 y yex2+ （3）ln() zx xy xxy =+ + ， zx yxy = + （4） xyz w yze x = ， xyz w xze y = ， xyz w xye z = 4. 求下列函数的全微分： (1) )ln( 22 yxz+= (2) 222 zyxu+= (3) )ln( 222 zyxu+= (4) arctan()zxy= 解： （1）由于 22 2zx xxy = + ， 22 2zy yxy = + ， 所以dz)( 2 22 ydyxdx yx + + = （2）由于 222 zyx x x u + = ， 222 zyx y y u + = ， 222 zyx z z u + = 所以du)( 1 222 zdzydyxdx zyx + + = （3）由于 222 2 zyx x x u + = ， 222 2 zyx y y u + = ， 222 2 zyx z z u + = 所以du 222 2 zyx+ =)(zdzydyxdx+ （4）由于 22 1 zy xx y = + ， 22 1 zx yx y = + ， 所以dz)( 1 1 22 xdyydx yx + + = 5. 设yxv y x uvuz23,ln 2 =，求 y z x z , . 解： zzuzv xuxv x =+ 2 11 (2 ln )( )() 3uvu yv =+ )23( 3 )23ln( 2 2 2 2 yxy x yx y x +=， zzuzv yuyv y =+ )2)( 1 ()(ln2( 2 2 += v u y x vu )23( 2 )23ln( 2 2 2 3 2 yxy x yx y x = 6. 设, )( 2 2 xy x y z+=为可微的函数，求证：0 2 3 22 =+ y y z xy x z x. 证明： 2 2 2 zy y xx = + ， zy x yx =+ ，于是 2 z x x 2 3 2 z xyy y + ) 2 ( 2 2 2 y x y x+=+) (x x y xy0 2 3 2 =y 7. 设6 333 =+xyzzyx， y z x z ,求. 解：令6),( 333 +=xyzzyxzyxF 则yzxFx+= 2 3，xzyFy+= 2 3，xyzFz+= 2 3， 2 2 3 3 x z Fzxyz xFzxy + = = + ， 2 2 3 3 y z F zyxz yFzxy + = = + 8.设 y z x z eyzxyx z =+,22 22 求. 解：令 z eyzxyxzyxF+=22),( 22 则22 +=xFx，zyFy22 =， z z eyF=2 ， 22 2 x z z Fzx xFye + = = + ， 22 2 y z z F zyz yFye = = + 9. 设0, z exyz=求 2z x y 解：令=),(zyxF z exyz 则yzFx= ，xzFy= ，xyeF z z = ， x z z Fzyz xFexy = = ， y z z F zyz yFexy = = 。 2z x y () z yx = 2 ()()() () zz z zz zyexyyz ex xy exy + = 2 )( )()( xye x xye yz eyzxye xye yz yz z z zz z + = 3 22 )( )()( xye yxxeyzeyzxyezyxyzze z zzzz + = () 22 3. z x y z exy 10.设)(,xyuuxyz=+=，求, xxxxy zzz . 解：() x zyyxy = +， 2 () xx zyxy = ，1()() xy zxyxyxy = + 12.求函数5126),( 23 +=yxxyyxf的极值. 解：由 = =+= 0123 062 2 yf xf y x 得2, 3=yx，所以驻点为)2, 3(),2 , 3(， 2 = xx f，0 = xy f，yfyy6 =， 于是在点)2 , 3(处，02 = BAC， 所以函数5126),( 23 +=yxxyyxf在)2, 3( 处取得极大值：30)2, 3(=f 14.某工厂生产两种产品与， 出售单价分别为 10 元与 9 元， 生产x单位的产品和生产 y单位的产品的总费用是： 22 ( , )400230.01(33)f x yxyxxyy=+（元） 求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？ 解：目标函数为 22 ( , )109400230.01(33)L x yxyxyxxyy=+ (0,0)xy 解方程组 = = 001. 006. 039 001. 006. 0210 xyL yxL y x 得唯一驻点：120,80xy=， 由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 所以，生产产品与分别为120件和80件时，工厂获得最大利润。 15.某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R(万元)与电视广告费x(万元)、 报纸广告费y(万元)有如下关系： 22 ( , )15 15338210R x yxyxyxy=+ （1）在广告费用不限的条件下，求最佳广告策略； （2）如果提供的广告费用为 1.5 万元，求相应的广告策略. 解： （1）目标函数为： 22 ( , )15 15338210R x yxyxyxy=+，(0,0)xy 解方程组 = = 020833 04815 yxR xyR y x 得唯一驻点: 39 , 44 xy=. 由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即在广告费用不限的条件下， 最佳广告策略为： 电视广告费 3 4 万元、 报纸广告费 9 4 万 元. （2）目标函数为： 22 ( , )15 15338210R x yxyxyxy=+ (0,0)xy 约束条件为：1.5xy+= 令( , , )L x y= 22 15 15338210xyxyxy+(1.5)xy+ 解方程组 15840 338200 1.50 x y Lyx Lxy Lxy = = =+= 得唯一驻点：0,1.5xy=. 由于实际问题的最大值是存在的，所以唯一驻点就是函数的最值点。 即如果提供的广告费用为 1.5 万元，应全部用于报纸广告. 16.化二重积分 D dyxf),(为二次积分，其中D是由 （1）1, 0, 0=+=xyyx所围成的区域. （2）xyxyxy= 2 ,3,所围成的区域. 解： （1）由于积分区域xyxyxD=10 , 10),(，所以 = x D dyyxfdxdyxf 1 0 1 0 ),(),( （2）由于积分区域 12 ( , )13,( , )33,3DDDx yxxyxx yxxy=， 所以 3 1 ( , )( , ) x x D f x y ddxf x y dy= 33 3 ( , ) x dxf x y dy+ 或 2 3 1 ( , )( , ) y y D f x y ddyf x y dx= . 17. 交换积分次序 (1) dyyxfdx x 1 0 1 0 ),( . (2) dxyxfdydxyxfdy yy + 2 1 2 0 1 00 ),(),( 解： （1）由于积分区域( , ) 01,01Dx yxyx= ， 而积分区域又可以化为yxyyxD=10 , 10),(， 所以 dyyxfdx x 1 0 1 0 ),(dxyxfdy y = 1 0 1 0 ),( （2）由于积分区域 12 DDD=， 1 ( , ) 0,01 ,Dx yxyy= 2 ( , ) 02,12Dx yxyy= 而积分区域又可以化为xyxxyxD=2, 10),(， 所以 dxyxfdydxyxfdy yy + 2 1 2 0 1 00 ),(),(dyyxfdx x = 1 0 2 0 ),( 18.(1)计算 dxdyxe D xy ，其中10 , 10),(=yxyxD. (2)计算dxdyyx D +)23(，其中D是由两坐标轴及直线2=+ yx所围成的区域. (3)计算dxdyyx D +)6(，其中D是由1,5,=xxyxy所围成的区域. (4)计算dxdy y x D 2 2 ，其中D是由xyx=,2和1=xy所围成的区域. 17（2） 解： （1） dxdyxe D xy dyxedx xy = 1 0 1 0 1 111 0000 ()() y xyxy y dxe d xyedx = = = = 1 0 ) 1(dxe x 2= e （2）由于积分区域 xyxyxD=20 , 20),(，所以 dxdyyx D +)23( 22 00 (32 ) x dxxy dy =+ 3 20 )224( 2 0 2 =+=dxxx （3）由于积分区域 xyxxyxD5, 10),(=，所以 dxdyyx D +)6( 15 0 (6 ) x x dxxy dy=+ 1 2 0 76 76 3 x dx= . （4）由于积分区域 =xy x xyxD 1 , 21),( dxdy y x D 2 2 2 2 1 2 1 x x x dxdy y = 2 3 1 9 (). 4 xx dx= 19.(1) 计算dxdy yx D + 22 1 1 ，其中 D 是由4 22 + yx所确定的圆域. (2) 计算dxdyyxa D 222 ，其中 D： 222 ayx+. (3)计算dxdye D yx 22 ，其中 D： 222 Ryx+. (4) 计算dxdyyx D + 22 ，其中 D：yyx2 22 +. 解： （1）由于积分区域20 , 20),(=rrD，所以 dxdy yx D + 22 1 1 drdr r D + = 2 1 1 rdr r d + = 2 0 2 2 0 1 1 2 0 1 ln5 2 d = 5ln=. （2）由于积分区域20 ,0),(=arrD，所以 dxdyyxa D 22222 D arrdrd= 2 22 00 a dar rdr = 3 2 223 2 0 0 122 (). 233 a arda = = （3）由于积分区域20 ,0),(=RrrD，所以 dxdye D yx 22 drdre D r = 222 00 R r derdr = 2 0 2 0 2 2 1 dred R r = )1 ( 22 0 RRr ee = （4）由于积分区域=0 ,sin20),(rrD，所以 dxdyyx D + 22 D r rdrd= drrd = sin2 0 2 0 d = 0 3 sin 3 8 9 32 =. 自测题 8（部分）习题参考答案 自测题 8（部分）习题参考答案 一、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.二元函数)ln()1arcsin(yxyz+=的定义域为 2.已知()= = x z yxz则,2sinln 3.设(),ln 22 yxz+= ()=2, 2 dz则 4.设= dt dz tytxez yx 则而,sin, 32 5.设ln, zyz xzy = 则 6. 1 1 lim 1 1 + xy xy x x = 7.二元函数 22 5yxz=的极大值点是 8.二重积分= 10 10 y x xydxdy 9. 3 sin) 1(),( x y xxyyxf+=，则=)0 , 1 ( x f 10. 22 222 3 1 1 () xy dxdy xy + = + 解： （1）20 ,),(yyxyx （2）)2cot(2yx x z = （3） ()2,2 1 (). 2 dzdxdy=+ （4）)6(cos 22sin 3 tte dt dz tt = （5） zy z y z + = （6）0 （7）)0 , 0( （8） 4 1 （9）0 （10）3 . 二、选择题（本大题共 5 个小题，每小题 2 分，共 10 分） 1.设() xy yx yxf 22 , + =，则下式中正确的是（ ） (A)()()yxfyxf,= (B)()()yxfyxyxf,=+ (C)()()yxfxyf,= （D)()yxf x y xf,= 2.已知()= + =+ y f x f yxyxyxf则 22 ,（ ） ； （A）yx22 + （B）yx22 （C）yx+ （D）yx 3.点（0，0）是函数xyz =的（ ） ； （A）极大值点 (B) 极小值点 （C）非驻点 (D)驻点 4.函数 22 2yxz=的极值点为（ ）. （A） （0，0） （B） （0，1） （C） （1，0） （D）不存在 5. 22 22 22 ,0, ( , ) 0,0. xy xy xyf x y xy + += += 在（0，0）处（ ）. （A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在 1. C 2. B 3. D 4. D 5. C 三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 7，共 49 分） 1. 设 32 32yxyxz+=在点（1，2）处的偏导数 )2, 1( x z ， )2, 1( y z 2. y x z e xsin =，求 ) 1 , 2( 2 yx z 3.设 e yx z 22+ =， （1）求dz； （2）求 )2, 1( |dz 4.设),( x y xfz =，求 x z ， y z . 5. 33 3axyzz=，求 yx z 2 . 6.设,cos,sin, 22 yxvyxuuvvuz= 求 y z x z , 7.计算dxy D +)( 2 ，D 是由 2 xy =与xy = 2 所围成的平面区域. 解： （1）由于yx x z 22 = ， 2 92yx y z += ，所以2 )2, 1( = x z ，34 )2, 1( = y z （2）由于= x z + y x e x sin y x ye x cos 1 )sincos 1 ( y x y x y e x = ， = yx z 2 )cossincos 1 ( 232 y x y x y x y x y x y e x + ，所以 22 2 1 (2,) . z x ye = （3）由于= x z 22 22 yx x e yx + + ，= x z 22 22 yx y e yx + + 所以dz)( 1 22 22 ydyxdx yx e yx + + = + ；)2( 5 1 |dz 5 )2, 1 ( dydxe+= （4） 2 2 1 f x y f x z = ， 2 1 f xy z = （5）令=),(zyxF 32 3zxyza 则yzFx3 =，xzFy3 =，xyzFz33 2 =， 2 x z Fzyz xFzxy = = ， 2 y z F zyz yFzxy = = ， 2z x y () z yx = 2 22 ()()(2) () zz zyzxyyzzx yy zxy + = () 2 4222 22 2223 ()()(2) 2 . ()() yzyz zyzxyyzzx z zxyzx y zxyzxy zxyzxy + = （6） 22 (2)sin(2)cos zzuzv uvvyuuvy xuxv x =+=+ 22222 (2sincoscos)sin(sin2sincos )cosxyyxyyxyxyyy=+ 2 3sincos (sincos )