大学数学极限思想在中等数学中的应用.doc

目录摘要2第一章 绪论41.1研究意义41.2本课题解决的主要问题41.3极限的定义51.4数列极限的四则运算5第二章极限思想在中学数学中的应用62.1极限在函数中的应用62.2极限在数列中的应用92.3极限在不等式中的应用122.4极限在立体几何中的应用14第三章 结论17致谢19参考文献20摘要极限在中学数学中虽然不是主要内容，但极限思想所包含的数学思想对中学数学的学习有着重要的意义。本文结合了当前中学数学的教学实际，介绍了极限思想和方法在函数、数列、不等式、立体几何等方面的应用，旨在把极限思想渗透到中学数学的教学当中，为中学数学教学提供一些帮助。关键字：中学数学，极限，几何，数列，函数，不等式。AbstractAlthough theLimitation is not the main content in middle school math, the limitation ideology of mathematical ideology has an important significance for middle school math learning. This paper includes the facts of the math teaching in middle school now, introduces the functions of the limitation ideology which can be used in the number of columns, inequality, solid geometry and other aspects. The purpose of this paper is to mix the limitation ideology with the math teaching in middle school, so that provide some help for the middle school math teaching.Keywords: middle school math, limitation, function, number of columns, inequalities.第一章 绪论大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。1.1研究意义极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。 1.2本课题解决的主要问题本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。1.3极限的定义极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。 数列极限的定义：设是一个数列，是一个实数。如果对于任意正数，总存在一个正整数，当时，都有，我们就称是数列的极限，或者称数列收敛，且收敛于，记为或函数在点的极限的定义：设函数在点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设是一个定数，如果对于任意给定的，一定存在，使得当时，总有，我们就称是函数在点的极限。记为或1.4数列极限的四则运算数列极限的四则运算法则：若和为收敛数列，则，也都是收敛数列，且有洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定值的方法。设函数和满足下列条件(1) 时，(2) 在点的某去心邻域内与都可导，且的导数不等于0(3) 时，存在或为无穷大则时，第二章极限思想在中学数学中的应用2.1极限在函数中的应用函数是中学数学最重要的一个模块，在大学数学中也占有重要的地位。同样，大学数学中最重要的极限模块也函数中有十分广泛的应用。例.抛物线与过焦点的直线交于两点P、Q，F分线段PQ为两个线段，其长分别为，则等于（ ）A,4 B, C,8 D,2图一解：（1）中学数学解法：由题意可得抛物线的焦点由直线的参数方程可得过点F的直线的参数方程为 （1） （2）联立方程（1）和（2）并消去和得 （3）韦达定理：一个一元二次方程的两个根为和则 根据韦达定理得方程的两个根的关系为（2）极限的解法：因为F是抛物线的焦点，所以可以得出F的坐标为因为直线是经过点F任意运动的。所以利用极限的思想，我们可以让P点运动到顶点O点，此时点Q就是运动到无穷远点所以可以得到，即于是.即答案为C解析：本题是探究抛物线的不动点问题，中学数学的解法是探求，之间的关系，中间还应用到了参数方程和韦达定理，其过程比较繁琐，计算比较复杂，不适合于解答选择题。而利用大学数学中极限的解法，只要能认识到动点的极限状态，借助于极限的思想就会使问题变得简单：将线段PQ绕点F运动到无穷远处，因为PF=OF=，QF=，所以很快就可以得到。这是一道选择题，运用极限的思想可以很巧妙的得出答案。极限的这种解法充分的体现了思维的灵活性和敏捷性。例.设，若时，.求的取值范围。解：中学数学的解法：当时，.当时， 设，将问题转化为求的最小值.令， 又，所以.所以是增函数，故所以是增函数，故.所以是增函数，故所以，所以在上单调递增.但，故无法确定出函数的最小值。极限的解法：由中学数学的解法可知在上单调递增.设，对于任意给定的，一定存在，使得当时，总有，则由洛必达法则可得：故时，因而.综上所述，的取值范围为.解析：用中学数学中的分离参数法求解本题，通过多次求导去确定函数的单调区间，才能确定出函数的最小值，但经过计算后发现函数无法求出最小值。用极限中的洛必达法则求能够简便解决问题。这非常好的体现了极限的优越性。2.2极限在数列中的应用在大学数学中我们就学过了数列极限的四则运算法则，在中学阶段主要学习最基础的等差数列和等比数列。而在中学的解题过程中同意可以运用极限的思想来解决部分问题。 下面看一下极限在数列中的应用例. 解：中学数学解法：已知一个公比为的等比数列的前项和为： 所以所以 = =用极限的思想的解法：洛必达法则是用于无穷比无穷或0/0型，分子分母同时求导，可以多次求导，在求导过程中不断寻找等价的无穷小，或削去无穷因子。此题符合洛必达法则。解析：观察题目的分子分母可知分子分母符合等比数列的前项和公式，再通过极限的计算得出结果。而采用大学数学的极限的方法，我们可以看出整个式子符合运用洛必达法则的条件，所以通过洛必达法则对分子和分母同时求导就可以得出结果。此题是一道填空题，我们通过解答可以看出极限思想的优越性。中学数学解法过程比较繁琐和耗时，而极限的解法简单省时，甚至可以达到秒杀的效果，应当掌握.例.已知数列中，求使不等式成立的的取值范围。解：中学数学的解法：由题意可知，.由得用数学归纳法证明：当时，()当时，命题成立。()设当时，命题成立。则当时故由() ()知，当时，当时，令由得当时，当时，且于是即 当时因此不符合要求所以的取值范围是极限思想的解法；由题设易知数列是正项递增数列且有上界所以存在不妨设则且对两边同时取极限得即整理得因为存在所以方程有解令且解得的取值范围是解析：本题考查了分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查。利用中学数学的解法主要思路是通过数学归纳法来验证成立，再根据验证的结果探求与，之间的关系，在求出的范围，其中最难的部分是设定的值。而利用极限的单调有界的性质，对两边求极限得出一个一元二次方程，再根据方程有解的判定定理来求出的范围2.3极限在不等式中的应用不等式是中学数学中一个重要的模块，在大学数学中不等式的应用十分广泛，例如极限的证明，夹逼法则的应用等等。而极限同样也在不等式中有着十分广泛的应用。例.证明 解：用数学归纳法当时，不等式显然成立。设时，不等式成立，即 （1）那么，当时，由于所以，数学归纳法不可行之所以用数学归纳法思路行不通，其原因在于是一个常数，从 到右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。当联想，且当时，可以将题目转化为: （2）证明：当时，不等式（2）成立，设时，不等式（2）成立，即那么，当时，即当时，不等式（2）成立即原式 解析：中学数学的解法：采用数学归纳法，我们可以看出时，不等式显然成立，假设时不等式也成立，如果再证明出n=k+1时，不等式成立，则假设的n=k就成立，那么就可以用数学归纳法证明出不等式成立，但此题在证明时，使不等式的左边的值增大了，所以就达不到证明不等式左边小于右边的效果。极限的方法使不等式的右边的常数值转化成了一个等价的变量，使在证明时，不等式左右两边的值同时增大，通过比较不等式的大小就证明出了时不等式成立，继而得出假设的时的不等式也同样成立，所以不等式就成立了。此题如果一味的采用数学归纳法是证明不出不等式成立的，而引入极限的思想，用极限值来构造新的不等式就可以证明出了不等式成立，本题中引入的极限可以说是达到了一个四两拨千斤的效果，作用非常大，这也正是极限的思想在中学数学中的渗透的一个体现。2.4极限在立体几何中的应用立体几何作为中学数学中一个重要的模块，往往因为抽象而让学生感觉学习难度较大。极限思想也成为了解决这类问题重要的一种方法。例.正三棱锥相邻两个侧面所成的角为，则的取值范围是（）A B. C. D. 解：利用中学数学的解法：首先作底面于点。因为为正三棱锥，所以为正三角形，点为的中心。作于点，连接，则所以为相邻的两个侧面的二面角设, 所以由余弦定理可得所以的余弦值与的值有关。再由余弦定理得因为所以因为并且余弦函数在上是减函数。所以在中，由三角形的内角和定理所以所以即即所以答案为利用极限的思想求解如图所示，为正三角形的中心，为正三棱锥的高，把看作定点, 看作动点，当，两相邻侧面趋向于一个平面，此时相邻两侧面的夹角；当时，正三棱锥无限趋向正三棱柱，两相邻侧面的夹角愈来愈小，趋向于底面三角形ABC的一个内角，即 所以，答案即为解析：中学数学的解法：首先构造出相邻两个侧面的二面角的平面角，然后通过余弦定理来探求和之间的关系，由三角形的内角和定理确定的取值范围，继而确定出了的取值范围，就可以得出答案，思路比较简单明了，但是计算过程比较繁琐。采用极限的解法:通过动点的移动，把相邻的两个侧面转化为一个平面，把二面角的平面角转化为三角形的内角，再根据动点的极限状态求出极限值。这是一道选择题，采用极限的思想可以很巧妙的得出答案。采用中学数学的人解法步骤复杂，计算耗时较长，而采用极限的方法求解不仅简单省时，而且有利于锻炼学生的灵活性和创造性，此题充分体现了极限方法的优越性。例.设三棱柱的体积为，、分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 解：如下图所示中学数学的解法：.因为 所以 和都是平行四边形所以.极限的解法：使点和点分别运动到点和点此时仍满足四棱锥转化为三棱锥所以. 解析：本题中学数学的解法考察了学生的抽象能力，把立体几何的体积拆分成几部分的和，在立体图中很难观察出各个小立体图之间的关系。采用极限的解法把四棱锥转化成三棱锥在立体图中一目明了。本题是一道选择题，用极限的思想可以很巧妙的得出答案。本题通过分析极限的状态来探索解题的思路，通过考察立体几何问题的极端位置，可以避免抽象及复杂的运算，优化了解题的过程，降低了解题的难度。 第三章 结论中学数学是大学数学的基础，许多中学数学的内容都是大学数学的模型。大学数学正是在中学数学的基础上发展起来的。所以说中学数学与大学数学之间存在着必然的联系，许多在中学数学中无法解决的问题在大学数学中得以解决，这就要求中学生在中学学习阶段必须掌握大学数学的一些基础知识。本文通过站在大学数学的角度，运用大学数学的知识、方法和思想，从不同角度重新去审视，分析和解决中学数学的问题。大学四年的学习，对我来说是一个知识的储备过程。我在学习大学数学的同时，吸收了许多蕴含在数学知识中的数学思想，数学方法，正是这些数学思想和方法锻炼了我的思维的条理性和连贯性，加强了逻辑思维在分析问题和解决问题的能力。极限思想是一种基本而又重要的数学思想。在中学阶段，重视直观运动和相对变化，反映出量变到质变的变化过程。本文结合了具体的例题讨论了极限思想在中学数学中的一些应用，以及通过比较极限思想解决问题和中学常规方法解决问题的区别，突出了极限思想的优越性。通过极限的应用，不但加深了学生对知识的理解，也有助于培养学生的创新意识和发现问题的意识。通过对大学数学中的极限思想在中学数学中的渗透的研究，我发现大学数学极限思想能够化繁为简，具有较强的应用性，深受人们的喜爱。极限思想可以用在我们中学数学的方方面面。在解题过程中，它能化无限为有限，节省大量运算，提高解题速度和准确性。灵活巧妙、正确的运用数学极限思