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2.3.1 等差数列、等比数列考题预测精准猜押一、选择题1.在等差数列an中,a1+3a3+a15=10,则a5的值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选A.a1+3a3+a15=5a1+20d=5a5=10,解得a5=2.2.正项等比数列an中,若a2a18=16,则log2a10=()A.2B.4C.8D.16【解析】选A.依题意得,a2a18=16,又a100,因此a10=4,log2a10=log24=2.3.已知递增的等比数列an的公比为q,其前n项和Sn0,则()A.a10,0q1B.a11C.a10,0q0,q1【解析】选A.因为Sn0,所以a1an,且|an|an+1|,则-an-an+10,则q=(0,1),所以a10,0q0,a7+a100,即a80.又a8+a9=a7+a100,所以a90,所以当n=8时,an的前n项和最大.答案:86.已知数列an满足a1=0,数列bn为等差数列,且an+1=an+bn,b15+b16=15,则a31= _.【解析】因为数列an满足a1=0,数列bn为等差数列,且an+1=an+bn,b15+b16=15,所以an+1=b1+b2+b3+bn,所以a31=b1+b2+b3+b30=(b1+b30)=15(b15+b16)=1515=225.答案:225三、解答题7.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn中的b3,b4,b5.(1)求数列bn的通项公式.(2)数列bn的前n项和为Sn,求证:数列是等比数列.【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15.解得a=5.所以bn中的b3,b4,b5依次为7-d,10,18+d.依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-13(舍去).故bn的第3项为5,公比为2.由b3=b122,即5=b122,解得b1=54.所以bn=b1qn-1=542n-1=52n-3,即数列bn的通项公式bn=52n-3.(2)由(1)得数列的前n项和Sn=541-2n1-2=52n-2-54,即Sn+54=52n-2.
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