2019版高考数学第9章平面解析几何12阅读与欣赏（八）教案理.docx

12 阅读与欣赏（八）一道高考题引发的探究真题示例 (2017高考全国卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16B14C12D10命题意图本题主要考查抛物线的定义、焦点弦及基本不等式的应用(或函数最值)考查逻辑推理和运算求解能力解题思路一般利用弦长公式计算，有时也会引入中间变量利用函数的有界性或取值范围求解一、解法探究焦点弦法一：设l1的倾斜角，(0，90)，则l2的倾斜角为90.由焦点弦公式得|AB|，|DE|.所以|AB|DE|.所以当sin221，即45时，(|AB|DE|)min16.法二：由题意知，显然直线l1，l2的斜率都存在设l1的斜率为k，则l2的斜率为.由焦点弦公式得|AB|4，|DE|4(1k2)4.所以|AB|DE|444816.当且仅当k21，即k1时，(|AB|DE|)min16.弦长公式与抛物线定义法三：显然l1，l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，因为抛物线y24x的焦点F(1，0)，设l1的方程为yk(x1)，代入y24x得k2x2(2k24)xk20，16(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2，x1x21.|AB|.同理|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)(下同法二)法四：由法三与抛物线定义知，|AB|x1x222.k用代换得|DE|4(k21)所以|AB|DE|4(k21)(下同法二)答案：A二、内涵探究问题1已知F为抛物线y24x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则_解析：不妨设直线AB的倾斜角为，(0，90)，则由焦点弦公式得|AB|，|DE|，所以.所以.答案：问题2已知F为抛物线y24x的焦点，AB为过F的弦有下列结论为定值；|AB|min4；|FA|FB|min4；以AB为直径的圆与y轴相切；为定值(O为坐标原点)则正确的结论序号有_解析：因为F(1，0)，设弦AB所在的直线方程为xmy1.代入抛物线y24x得y24my40.16(m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.所以x1x2m(y1y2)24m22.x1x21.对于，1.即为定值1，正确对于，|AB|x1x224m244.所以|AB|min4，正确对于，|FA|FB|(x11)(x21)x1x2x1x214m244，正确对于，AB的中点M的横坐标为2m21，所以M到y轴的距离为d2m21，又|AB|2m22d.故以|AB|为直径的圆与y轴相交故错误(事实上，以AB为直径的圆与准线相切)对于，x1x2y1y21(4)3.即为定值3，即正确所以正确的序号有.答案：问题3已知F为抛物线y24x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则四边形ADBE面积的最小值为()A16B32C48D64解析：选B.由问题1知，S四边形ADBE|AB|DE|.当sin221，即45时，S四边形ADBE的最小值为32.三、外延探究问题4过椭圆C：1的右焦点F且互相垂直的两弦分别为AB与DE.(1)求证为定值，并求|AB|DE|的最小值；(2)求四边形ADBE面积S的最小值，并求此时直线AB的方程解：(1)由1知F(1，0)设直线AB的方程为xmy1.代入1得(43m2)y26my90，144(m21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.所以|AB|.m用代换得|DE|.所以.所以(定值)(|AB|DE|)2224.即(|AB|DE|)4.所以|AB|DE|，当且仅当|AB|DE|时，|AB|DE|取得最小值.(2)因为ABDE.所以S|AB|DE|7272.令t24.所以S72.所以当t4时，Smin.即当m1时，S取得最小值.此时，直线AB的方程为xy1.即yx1或yx1.问题5如图所示已知点E(m，0)为抛物线y24x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点(1)若m1，k1k21，求三角形EMN面积的最小值；(2)若k1k21，求证：直线MN过定点解：(1)当m1时，E为抛物线y24x的焦点，因为k1k21，所以ABCD，设直线AB的方程为yk1(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k1y24y4k10，y1y2，y1y24，因为AB中点M，所以M，同理，点N(2k1，2k1)所以SEMN|EM|EN|224，当且仅当k，即k11时，EMN的面积取最小值4.(2)证明：设直线AB方程为yk1(xm)，A(x1，y1)，B