2016届中考数学复习第9讲三角形二试题.docx

第九讲 三角形（二）91直角三角形基础盘点1有一个内角_的三角形是直角三角形，直角三角形两锐角_2在直角三角形中，30角对的直角边等于斜边的_3直角三角形斜边上的中线等于_4勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a和b，斜边为c，则_，即，直角三角形_平方和等于_.5如果三角形三边a、b、c满足_，那么这个三角形是直角三角形考点呈现 考点1 直角三角形两锐角互余例1（2015常州）如图1，BCAE于点C，CDAB，B40，则ECD的度数是 ( )A.70 B.60 C.50 D.40 图1解析：由题意知，ABC是直角三角形，且B40，所以A=90-4050，再根据“两直线平行，同位相等”可得ECDA=50.故选C评注：“直角三角形两锐角互余”揭示了直角三角形两锐角的关系，多与平行线的性质结合求角的度数 考点2 含30角的直角三角形的性质例2（2015青岛）如图2，在ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，DE=1，则BC等于 ( )A. B.2 C.3 D.+2 图2解析：在RtBDE中，根据“直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半”，可求得BD=2BE=2，再根据角平分线性质定理，求得CD=ED=1，所以BC=CD+BD=3.故选C评注：含30角直角三角形的性质通常用于求三角形的边和角，也是证明线段倍分问题的重要依据 考点3 直角三角形斜边上的中线例3（2015宿迁）如图3，在RtABC中，ACB=90，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点若CD=5，则EF的长为_ 图3解析：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得AB=2BC=10，再根据三角形中位线定理，可得EF=5，故EF=5评注：若题目的条件中给出直角三角形斜边上的中线，通常利用直角三角形的性质求得斜边长，从而为问题的进一步解决提供必要的条件 考点4 勾股定理例4 （2015西宁）如图4，RtABC中，B=90，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_ 图4解析：先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4x，在RtBCD中，根据勾股定理可得,即x2=32+（4x）2，解得x=，即CD=.评注：在运用勾股定理解决一些问题时，常需要与方程相结合运用方程思想，能使思路开阔，方法简便 考点5 勾股定理的逆定理例5 （2015桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是 （ ）A.30，40，50 B.7，12，13 C.5，9，12 （）3，4，6解析：在A选项中，302+402=502，所以这三条线段能组成三角形，故选A.评注：在利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形时，只要看较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可误区点拨 1受思维定式影响，认为c边一定是斜边例1 在ABC中，A，B,C的对边分别是a,b,c，若，则有 （ ）A. A为直角 B.B为直角 C.C为直角 D.不是直角三角形错解：C剖析：错解受定式影响，认为C为直角，事实上，已知条件可转化为，所以A为直角.故正确答案为A.评注：勾股定理为了表述方便，通常设C为直角，具体解题时，应根据题目中给出的条件确定直角 2忽视分类讨论致错例2 一直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为 （ ）A.5 B. C. D.5或错解：A剖析：条件中并没有指出已知的两边是直角边，所以应利用分类讨论的思想：当3和4是直角边时，第三边长为5；当3和4中有一边为斜边时，第三边长为，故应选D评注：在解涉及直角三角形边的问题，而题目中没有给出图形的情况下，要有分类讨论的意识，以免造成漏解跟踪训练1（2015毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 （ ）A.， B.1， C.6，7，8 D.2，3，42（2015宜昌）如图，ABCD，FEDB，垂足为E，1=50，则2的度数是 （ ）A. 60 B.50 C.40 D.30第3题图第2题图3（2015大连）如图，在ABC中，C=90，AC=2，点D在BC上，ADC=2B，AD=，则BC的长为 （ ）A.1 B.+1 C.1 D.+14.（2015枣庄）如图，ABC中，CDAB于D，E是AC的中点若AD=6，DE=5，则CD的长等于_ _第5题图第4题图5.（2014苏州）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4设AB=x，AD=y，则的值为_第7题图6.（2015遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=_第6题图7.如图，在RtABC中，C=30，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DEAC于点E若DE=a，则ABC的周长用含a的代数式表示为 第8题图8.（2015湘潭）如图，在RtABC中，C=90，ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度92解直角三角形基础盘点1. 在ABC中，C=90，三个内角对边分别为a，b，c，则有_； _；_.2.特殊角的三角函数值.三角函数304560lh3.视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线_的角叫做仰角，视线在水平线_的角叫做俯角.4.如图，把_与_的夹角叫做坡角（如图中的）.坡面的_与_的比叫做坡度（也叫坡比），用字母表示为i=_=_考点呈现 考点1 锐角三角函数例1（2015丽水）如图1，点A为边上的任意一点，作ACBC于点C，CDAB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是 （ ）A. B. C. D. 图1解析：在RtABC中，cos=；在RtDBC中，cos=；易得ACD=，在RtACD中，cosACD=cos=，故错误的应选C评注：本题考查了锐角余弦的意义，难度不大，关键是弄清各个三角函数与直角三角形三边的关系 考点2 特殊角三角函数值例2 (2015平凉)已知，均为锐角，且满足|sin|0，则_解析：因为条件中给出了两个非负数的和等于零，所以每一个非负数都等于零，即|sin|=0，且=0，由此可得sin=，tan=1，故=30，=45，所以75评注：本题考查了由特殊角的三角函数值，求角的度数，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键；同时本题也考查了“几个非负数之和为零，则每个非负数都等于零”这一性质 考点3 解直角三角形例3（2015襄阳）如图2，AD是ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=求：BC的长；sinADC的值 图2分析：本题条件中给出了一些角的三角函数值，做可考虑作辅助线，构造直角三角形求解，过点A作AEBC于点E，即可将ABC分成两个直角三角形，并将题目中的条件充分利用起来；根据AD是ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，从而求得sinADC的值解：如图2，过点A作AEBC于点E，cosC=，C=45.在RtACE中，CE=ACcosC=1.AE=CE=1.在RtABE中，tanB=，即=，BE=3AE=3，BC=BE+CE=4.AD是ABC的中线， CD=BC=2.DE=CDCE=1.AECD，ADC=45.sinADC=评注：在利用解直角三角形的知识解决斜三角形的问题时，通常需要作辅助线，构造直角三角形，从而将问题解决 考点4 解直角三角形的应用例4（2015黔南州）如图3是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CBDB，坡面AC的倾斜角为45为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：1.414，1.732） 图3分析：先根据题目中给出的条件，求出AB的长，在RtBCD中，根据新的坡面坡度的意义，求出DB的长，由AD=DBAB，求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果解：需要拆除.理由如下：CBAB，CAB=45，ABC为等腰直角三角形，AB=BC=10米.新坡面DC的坡度为，即，解得DB=10，AD=BDAB=（1010）米7.32米.3+7.32=10.3210，需要拆除评注：本题考查坡度坡角问题，掌握它们的概念及之间的关系是解题的关键.例5 （2015昆明）如图4，两幢建筑物AB和CD，ABBD，CDBD，AB15m，CD20m，AB和CD之间有一观景池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42，在C点测得E点的俯角为45（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m，参考数据：sin420.67，cos420.74，tan420.90）. 图4分析：在RtABE中，根据正切可求得BE，在RtDEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD=BE+ED求解即可解：由题意,得AEB=42，DEC=45.ABBD，CDBD，在RTABE中，ABE=90，AB=15，AEB=42.tanAEB=,BE=150.90=.在RtDEC中，CDE=90，DEC=DCE=45，CD=20，ED=CD=20，BD=BE+ED=+2036.7答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7 m评注：本题主要考查了利用俯角解直角三角形在利用解直角三角形的知识解决实际问题时，要借助俯角、仰角构造直角三角形误区点拨 1题中无图漏解致错例1 （2015牡丹江）在ABC中，AB=12，AC=13，cosB=，则BC边长为 ( ) A.17 B.8 C.8或17 D.7或17错解：A剖析：由于题目中没有给出图形，所以在解题时只画出图甲，利用解直角三角形的知识和勾股定理，可得BD=12，CD=5，所以BC=BD+CD=17，这便漏下了ABC为钝角三角形这一情况，正解应分图6和图7两种情况，在图7中，BC=BD-CD=7.故应选D 图8 图6 图7 2混淆概念致错例2 河堤横断面如图8所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）A.12 B.4米 C.5米 D.6米错解：D剖析：坡比指的是斜坡的垂直高度比上水平宽度，即图中的BC与AC之比，即等于坡角的正切，本题错在将坡比误认为等于坡角的正弦应先根据坡比的意义，求出坡角为30，进而求得AB=12米，应选A跟踪训练1（2015崇左）如图，在RtABC中，C90，AB13，BC12，则下列三角函数表示正确的是( ) ABC1213A.sinA B.cosA C.tanA D.tanB第3题图第1题图2. （2015庆阳）在ABC中，若角A，B满足|cosA|+（1tanB）2=0，则C的大小是（）A45B60C75D1053（2015日照）如图，在直角BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tanCAD的值为 （ ）A. B. C. D.4(2015广州)如图，ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE9，BC12，则cosC 第5题图 AEBDC第4题图第6题图5（2015大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32，底部C的俯角为45，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为_m（结果取整数）（参考数据：sin320.5，cos320.8，tan320.6）6（2015娄底）“为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知CAN=45，CBN=60，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由（参考数据：1.41，1.73）7（2015广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且DAB=66.5（cos66.50.4）（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）第7题图参考答案91直角三角形1B 2C 3D 48 516 612 76+8解：在RtABC中，由勾股定理，得AB=10由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，AED=C=90所以BE=ABAE=106=4.在RtBDE中，由勾股定理，得DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8CD）2，解得CD=3.在RtACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得AD=92解直角三角形1A 2D 3D 4 5506解：此车没有超速理由：