高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 6 不等式 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题.强基计划真题考前适应性训练】

专题06不等式真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2020•北京•高三强基计划）若正实数x,y,z,w满足xNy2w和x+y«2（z+w）,

wZ

则一+一的最小值等于（）

xy

37

A.-B.-C.1D.前三个答案都

48

不对

2.（2021•北京•高三强基计划）已知a,6,ceR‘，且（a+=3,则

\abc）

的最小值是（）

A.417+240V3B.417-240百

C.417D.以上答案都不对

3.（2021•北京•高三强基计划）若a,6,c为非负实数，S.a2+b2+c2-ab-bc-ca=25，

贝iJa+/?+c的最小值为（）

A.3B.5C.7D.以上答案都不

对

二、填空题

4.（2021•北京•高三强基计划）在锐角A8C中，tanAtanB+2tan3tanC+3tanCtanA

的最小值是.

5.（2021•全国•高三竞赛）已知正实数出,，出02。满足4+/++喂0=1，则

二^+工一++工^的最小值为.

a\+。2出+生〃202（）+a\

）91

6.（2022•浙江,高二竞赛）设。，b,c,dcR",abed=1,则+二h的最小值为

a~4La

7.（2021•全国•高三竞赛）设正实数4，%，…，％02。满足Z4=1，则必，2。2。+最大值

1=11十乙4

£=|

为.

8.（2021秋•天津河北•高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）设

x>0,y>0,x+2y=5,则当产时，2Vx取到最大值.

三、解答题

9.（2023•全国•高三专题练习）设=满足=1,2,，加又设

i=0

2

,（=0,1,,2力满足"（刈2=次城,证明：^+1<1[/（1）].

i=o2

10.（2023•全国•高三专题练习）设/（x）=»>R，g（x）=Zc4是两个实系数非零多项

/=0/=0

式，且存在实数r使得g（x）=（x-r）〃x）.记。=思既｛同｝,。=居给｛同｝,证明：

a4（〃+l）c.

11.（2021•全国•高三竞赛）已知：a,b,c>0,a+b+c=2,求证：

becaab,

-------------------------1--------------------------1------------------------K1t,

1+ahc（a+h）1+abc（b+c）1+abc[c+a）

12.（2021•全国•高三竞赛）求所有的正实数”，使得存在实数x满足/储*+〃衿2**2.

13.（2022•新疆•高二竞赛）（1）若实数x,y,z满足V+y2+z2=i,证明：

|x-y|+|y-z|+|z-x|M20；

（2）若2023个实数为,占，，々023满足*：+¥++%2023=1>求

1%—七|+|*2-£|++|*2022—X2023I+|“2023-*||的最大值.

14.（2021•全国•高三竞赛）设机为正整数，且〃=加+1,求所有的实数组不刍，,x“，

ry2

使得X[=1+----萼----7,对所有i=1,2,，〃成立.

%+x2++xn

15.（2021•全国•高三竞赛）求最大的正实数A,使得对任意正整数〃及正实数与,当，,x„,

"]〃1

均有口吗―

+X*

16.(2021•全国•高三竞赛)已知0<x,<l(ie{0,l,,10})证明：存在i,jw{0,l,2,,10),

使得0<x用[厂著）<春.

17.（2021•全国•高三专题练习）已知:。>0,b>0,a+b=l.求证:

18.（2021•全国•高三专题练习）已知小力为正数，且疝力，证明

2

19.（2022•湖北武汉•高三统考强基计划）设不…,x,,（“22）皆为正数，且满足

---++•••+=^—,证明.也也…X”>2022

zuzz

X.+2022々+2022x„+20222022n_x~

20.（2023•全国•高三专题练习）实数”,4c和正数几使得〃力=^+6+区+。有三个

实数根内,々,毛.且满足：（1）x2-x,=X.（2）三>4（%+%2），求2"'27：-9一的最

大值.

21.（2021•全国•高三竞赛）设/wR+，i=l,2,

其中求和是对1,2,〃的所有C：个上元组合%,%%进行的，求证:

Dk>DM.(k=\,2,，〃-1).

22.（2021•全国•高三竞赛）已知4，aJ,%eR,且满足+4；=1,求

〔4一％|+|4一七|+L一力的最大值.

23.（2021•全国•高三竞赛）已知正实数4,出，，勺（〃>2）满足4+出++4=1.证明:

a2a3an,a\aT,an,,”"T/1

----------------------1-------------------------rH-------------------------±----------------.

q+〃—2生+〃—2〃〃+,7—2（〃—1）~

24.（2021•浙江金华•高三浙江金华第一中学校考竞赛）数列｛为｝定义为q=1,

1=1+工才4（〃训.证明，存在正整数〃，使得4,>2020.

n%=|

25.（2021•全国•高三竞赛）给定正整数〃23.求最大的实数M.使得2>M

*=lIak+ak+l，

对任意正实数4，%，，凡恒成立，其中。“+1=4.

26.（2019•河南•高二校联考竞赛）锐角三角形A3C中，求证:

cos(B-C)cos(C-A)cos(A-8)..8cosAcosBcosC.

27.（2022•贵州•高二统考竞赛）正数满足a+A=l,求证：［十一/1/一/

28.（2022•江苏南京•高三强基计划）已知整数证明:

29.（2022•浙江杭州•高三学军中学校考竞赛）设实数4,4,M“满足

fl(a,+l)=n(«,.-1),求之同的最小值.

1=1/=1»=1

30.(2021•浙江•高二竞赛)设x,y,Z>0,G+6+6

犬+连2y4+z2^z,+W

证明~~5>1

%2(y+z)y2(z+x)z2(y+x)

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题06不等式真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)

一、单选题

1.(2020•北京•高三强基计划)若正实数x,y,z,w满足xNyNvv和x+y«2(z+w),

wZ

则一+一的最小值等于()

*y

37

A.-B.-C.1D.前三个答案都

48

不对

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求最小值，从而可得正确的选项.

【详解】根据题意，有

wz、卬x+y-2wwx11，、口1

—+—>—+=—+—+>21+——1>V2——,

xyx2yx2y2y\x2y22

等号当X：>：2：卬=&：1：也二11时取得，因此所求最小值为

’22

故选：D.

2.(2021•北京•高三强基计划)已知〃也ceR+,且(。+8-c)(，+?-R=3,则

\abc)

(a4+6,+c**)(十+(•+3•)的最小值是()

A.417+24073B.417-240^

C.417D.以上答案都不对

【答案】A

【分析】根据题设条件可设扇=1,利用柯西不等式可求最小值.

【详解】由(4+6-/，+?」]=3可得曰互><_1_9，+工，

由对称性可设M=l,则条件即(a+8-c)[a+匕」]=3即c+1=^亘，

kc)ca+b

从而“”N2=a+/?N1+73,

a+b

根据柯西不等式(a,+6"+c')(/+/+/)2(/+/+1)，

=[(“+力4-4(4+份2+31

>417+240>/3,

等号当c=l,a+b=l+G时取得.因此所求最小值为417+2406.

故选：A.

3.(2021•北京•高三强基计划)若〃，儿c为非负实数，S.a2+b2+c2-ab-bc-ca^25,

贝lja+b+c的最小值为()

A.3B.5C.7D.以上答案都不

对

【答案】B

【分析】利用非负性可求最小值.

【详解】根据题意，

有a+6+c=yja2+b2+c2+2(ab+bc+ca)>\Ja2+b2+c2-ab-be-ca=5，

等号当(a,6,c)=(5,0,0)字时可以取得，因此所求最小值为5.

故选：B.

二、填空题

4.(2021•北京•高三强基计划)在锐角A8C中，tanAtanB+2tanBtanC+3tanCtanA

的最小值是.

【答案】6+2夜+26+2指

【分析】利用柯西不等式及三角形的恒等式可取最小值.

【详解】记题中代数式为M,我们熟知三角形中的三角恒等式：

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,

于是M=tanAtanB+2tanBtanC+3tanCtanA

>________(1+应+两2__________

cotAcot8+cotBcotC+cotCcotA

=(1+力+后=6+2夜+26+2卡.

等号当tanAtanB=忘tanBtanC=V3tanCtanA=>tanA:tanB:tanC=>/2:>/3:1时取

得，因此所求最小值为6+20+2G+26

故答案为：6+2垃+2#>+2底

5.(2021•全国•高三竞赛)已知正实数%%，“2。20满足4+4++02020=1，则

222

二十』一++西戊。的最小值为.

°2020+4

4+生。2+〃3

【答案】1##0.5

【详解】由柯西不等式知

/2

+।，2020

[(4+々2)+(%+%)++(“2220+a\)]上+

、q+%+%。202+4J

之(4+/++/2。)2=1，

a

\%++々22。

且(q+%)+(%+q)++(%O2O+4)=2,所以

a

aA+a24+a3〃2O2O+\-r

且当q=4=="2020=2020时取到等“'

故答案为：.

191

+

6.(2022•浙江•高二竞赛)设〃，b,c,JGR+,abed=1,则X-T77-的最小值为

a"4La

【答案】/73

【详解】由题意可得!=。乩，且胡勖&d,

a

9

4

则/S)=丁5+7+12c2+

。+力+CH-----

abc

原问题等价于求函数/(〃)的最小值.

f⑷=-2a~3+2a•b2c2--

4-(-a-+-b+?-c-+-d-)72{0-a}

-2,19a-d

=，+2a•

a3a2d24a(a+b+c+d)2

_2(〃—d?)9(a-d)a2d2

a3d24a3(a+b+c+J)2d2

S(a2-d2ya+b+c+d)2-9(a-d)(a2d2)

4a\a+b+c+d)2d2

a-d

,(8(〃+d)(a+b+c+d)2-9a?d~),

4〃3(a+b+c+d)2d2

a+b+c+d..a+3d,

z.(a+h+c+d)2J^a+3d)2Mad,

8(〃+d)(〃+〃+c+d)2-9a2d2

..83+办1次/-9版2=3ad\32(a+d)-3ad],

令g(a)=32(a+d)-3ad,则g'(a)=32-3d,

由a幅夕d可得dW1,

则夕(a)>O,g(a)单调递增，

/.g(a)..g(d)=Md-3d2=d(64-3d)>0,

则/⑷>OJ(a)单调递增，f(a)Nf(d),

此时a=〃=c=d=l,/(a)../(I)=—.

16

73

故答案为：7f.

lo

2020min—----------

7.(2021•全国•高三竞赛)设正实数《吗，，。,问满足Z“，=1，则必如。弋最大值

,=11十乙4

2=1

为.

【答案】

【详解】解析：最大值为1-忐.

~5/2

记s=%齐鸣=哺…1,则《=巧-租,故svXd%即

1+'应X1X,.

k=l

1-S2也，对,・=1,2,3,,2020,

再

求和，并结合算术-几何平均不等式，

2020(^^2020

x2020_2020

有2020(1-S)22口22020x」-

/=!Xi\"2020)网1-20202

故SWI-等号当“虫20啦yr20啦尸(i=l,2,3,，2°2°)时取到•

所以原式的最大值为1-册.

故答案为：1-4宁

8.(2021秋•天津河北•高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习)设

x>0,y>0,x+2'=5,则当产时，2Vxt取到最大值.

【答案】1##2.5

[分析]巧妙利用换元z=log,x得到10=2川+2川，

将M=2"刈取对数运算得到Iog2”=(y+i)(z+i)-i,将所求问题转化为求

(y+l)(z+l)的最大值问题，

由10=2川+2”使用两次基本不等式可求出(y+D(z+D的最大值，考查等号取得条件

即可.

【详解】设M=25'+i,则log2M=丫+(»+1)1鸣X，设z=k>g?x,贝ijx=2"

可知2工+2,=5,log2M=y+(y+l)z=(y+l)(z+l)-l.

10=2:+|+2>+|>2•—f—>2.2'/(z+l)<v+l),(当且仅当z=y，即x=2，=2时取等号.)

所以5之2对而，故以+D(z+D有最大值(Iog25)2,

yy+,

所以log2M就有最大值，即M=2x有最大值.

故答案为：

【点睛】使用基本不等式求最值关键是要有定值才能求最值，没有明显的定值要进行变

形拼凑.在此题中拼凑的定值有:①2=+2”=5及10=2川+2、"，为求(z+1)+(y+1)最大值

做准备;②通过提取公因式实现因式分解拼凑乘积，y+(y+l)z=(y+l)(z+l)-1,产生

了(y+l)(z+l)与上面(z+l)+(y+l)遥相呼应，可以使用基本不等式.

三、解答题

9.(2023•全国•高三专题练习)设/(x)=£qx'eR[x],满足04a；4%,i=1,2,，机又设

i=0

〃(i=0,l,,2〃)满足"(切2=£31证明：1[/(1)]2.

/=02

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，利用多项式平方运算求出"(X)f,再利用赋值法结合已知及

进行不等式的放缩，推理判断作答.

【详解】"(刈2=(£即疗=£(2的不，于是女=2>巧，

1=0s=0i+j=s'+六'

这《)[=；(£a：+2Zq巧)2；(2£%%)=£咽

乙Zi=0Z/=004vj"乙0S»<j<,n"jus"

2Z-=汇%，

0=i<j^ny=i

因为04q4%,i=l,2,,n,则

b“+i=£aiaj=aian+a2a„-i++"M440a"+a<Ai+=&Z%4j"(D『，

i+j=n+lj=\乙

所以〃向4；"⑴f.

_〃4+!

10.(2023•全国•高三专题练习)设/(x)=Z"X，g(x)=Z，X是两个实系数非零多项

<=01=0

式，且存在实数r使得g(x)=(尤-</(%).记。=黯｛同｝，。=黯|｛同｝，证明：

«<(«+!)(?.

【答案】证明见解析.

【分析】根据给定条件，利用多项式恒等定理求出多项式/(x),g(x)的对应项系数的关

系，再按I，区1和1川>1讨论，并结合含绝对值不等式的性质推理作答.

【详解】因为g(x)=(x—r)〃x),即

++

Zqx'=(x-r)Z=Ea,x''-^ra,x'=-ra„+g(a,.,-ra,)x'+anx"'>

i=0i=0r=Oi=0»=1

则有d=-ra0,C,=4T-ra,(<=1,2,,rt),c„+1=an,

22

于是«„=—a%=cn+rcn+l,a„_2=%+rc„+rc„+l,,a0=ct+rc2+rc3++r"cn+t,

若卜区1,则同=|4+I区蜀4/=|作+/+卜同+瓦以1区2€,

c2

|%|=|„-i+rc“+rc,I+l|<匕11+旧.|c,,|+r?除+J43c,­,

+

|%|=|q+rG+r2c3++r"cll+l|<|c,|+Hk21+1^1•|c3|*"卜以|4（n+1）。，

所以同4（〃+l）c,于是a4（〃+l）c,

若卜|>1,则^<1，由。0=-外，6=%一厂4。=1,2,,〃）,c„+I=a“，

得.=-Jq>,q=Ja--；q（i=l,2,,«）,（/„=c„+l,

于是同=-c。=j同〈。，㈤:一5’。—qv向6+#卜加，

kl=~~3C0~~TC^~~C2-A|lCo|+Al|C11+P||Cz|<3c»**l

一：*4向同+向同++向*k〃c,同=k/4c,

所以同<〃c,于是a<(〃+l)c,

综上得：a4(,+l)c.

11.(2021•全国•高三竞赛)已知：a,b,c>0,a+b+c=2,求证:

becaab",

------------1------------1------------W1.

1+abc(a+b)1+abc(b+c)1+abc(c+a)

【答案】证明见解析

【详解】1+。匕。(。+匕)一(。人+匕。+。。)=[|一。(〃+8)]乂(1—。匕),

因为c>0,a+b+c=2,所以c(a+h)〈lM〃KL

于是1+而c(a+Z?)2a〃+Z?c+ca,

同理1+ahc[b+c)>ah+hc+ca,1+ahc[c-^a)>ab-it-hc+ca.

becaab

则：------------1----------------------------1--------------------------

''l+ahc(a+b)1+abc(b+c)1+abc(c+a)

,becaab.

<----------+----------+----------=1.

ah+he+caah+hc+caah+be+ca

故题中的不等式成立.

12.(2021•全国•高三竞赛)求所有的正实数。，使得存在实数x满足“2疝=+/9*±2.

【答案】［0,上^］30,+8）

【详解】设Lt?/3则不等式化为f+g—2N0.

t

当Ovavl时，te［6f2,l］；

2

当々=1时，r=l;当a>l时，te[l,a].

因此不等式可化为--2f+aN0.

设/⑺=产-2/+〃，考虑〃。在1和/之间恒小于零，则/⑴<0,/（〃2）<0,。〉0,

a<1

以（0-1）（/+〃_］）<（），

解得咛所以。的取值范围是0,与1卜［1,+8）.

13.（2022•新疆•高二竞赛）（1）若实数x,y,z满足/+/+z?=1,证明:

\^-y\^\y-z\+\z-x\<2y/1；

（2）若2023个实数为,々，，々。23满足x：+x；++/3=1,求

|%-々|+卜2-毛|++|鼻22-鼻23|+|鼻23一芭|的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）2亚芨.

【详解】（1）不妨设

则|x一y|+|y-z|+|z一;c|=y_x+z_y+z_x

=2（z-x）=2\lx2+z2-2xz<2^2（X2+Z2）<2^2（x2+y2+z2）=2夜.

（2）因为2023为奇数，则占,々X：X2023，%中必存在西,加（令*2024=王）同号,

不妨设对占同号，则:

20233232023

Z上-X,”J=%-Z|+Z%%J可花-々I+同+㈤+2Z|匕I=S.

1=1/=2i=3

不妨设超2须20，则归一电|+同+|再|=2%,所以：

因此k一电I+1々一七|++1^2022-+1々023一西|的最大值为242022.

14.（2021•全国•高三竞赛）设机为正整数，且〃=M+1,求所有的实数组与与，，％,

2mx

使得x,=l+丁~一一对所有，=1,2,成立.

X+芍++x；

【答案】证明见解析.

【分析】第•步化简原式，第：步利不等式即可得到&=1或加，这两种情

况是对称的，不妨证明左=1的时候成立，所以原式成立.

2/71X~

【详解】由已知…就……，”,得由=若，故萼全相等.

2A片x,Tx,T

7=1

注意到若实数用b满足一一=2,则ab=a+b,即因此看e［，占］,

a-1b-\b-\Ib-\\

bw0,i=1,2,•,/?.

设看中有7J,〃—攵=〃?2+1一女个儿则有042工加2+1,且

b-l

2

b+（m2+1一女）/2mb2

=

0-D2b-1

即看+(机2+1—左)S-l)=2〃？.

由不等式，若0<2</+1,

y-^-j-+(/+]_%)(0_1)之2#(加+1一%)>2m,

因此必取等，即2=1或>，这两种情况是对称的，不妨2=1,贝I」

―!——I-—1)=2m,

b-\

.,.1ri,加+1.

矢口6—1=一,则/?=----,a=m+1.

mm

若上=0,!UiJ(/n2+l)0-l)=2/n,即方=^2^!^,0=^221121.

m+12m

会,2,mil.+1c„,(/n+1)2(w+D2

若左+1,贝！J-----=2m,nb=---------,a=-z----.

b-12mm+1

综上可知，玉，w，，x“要么1个〃任1,〃/个‘里；要么全是丝业.

mm+1

15.(2021•全国•高三竞赛)求最大的正实数，，使得对任意正整数"及正实数x0,x,,,x„,

均有£"―1-几"£--―-1―--••

Mx*t-fXo+X]++4

【答案】2的最大值为3.

【分析】先取与=%=1,%=2,斗=4,,x“=2"T,通过对其求和可得；I的范围，再利用

111333

放缩法可得一+—++—2——+——:——++-----:——.最后求出最大

与玉x“%+&x0+xt+x2x0+x]++xn

的正实数义的值.

【详解】一方面，取%=再=1,》2=2,七=4,,x“=2"T,得

3--^>Z(1-—

2"-'I2")

令”foo,得；143.

114

另一方面对正实数x,y有一+一±----,故

xyx+y

11、4

—十--—;—，

%玉%+X

11、4

-----+—>---------,

x0+%x2%+玉+x2

11、4

---------+—>-------------.

--------------------------H------2------------------------

%+%++X“TXn与+网++X„

以上各式相加，得

—+—++—>

%+阳+.+x„

故几=3时，原不等式恒成立.综上，2的最大值为3.

16.（2021•全国•高三竞赛）已知0<七<1（屹{0,1,,10}）证明：存在"€{0,1,2,,10）,

使得。

【答案】证明见解析

【详解】不妨飞4%0，设（七一七），

3

当04iVj410时，，因为3尢丙（X/-xJ4（X：+x/j+£）（X/-x,.）=x]-x,,

BP3f（i,j）<x^-xf,当且仅当i=j时,等号成立.

101（）1

故所以存在窕{1,2,，⑼，使得3/（"草）<白,即

i=l»=11。

30

所以存在仃£{04,2,,10},使得0<x甬（xj-xj<*.

17.（2021•全国•高三专题练习）已知1：”>0,b>0,a+b=l.求证：

【答案】证明见解析.

【分析】构造一个直角三角形，使其两直角边长分别为』7：和61,而斜边之长

则为正（如图所示），证明不等式成立；再证明

=0(sina+cosa)<2,即彳导证.

【详解】证明：为了使得条件〃+》=1与待证式的中间部分在形式上接近一些，我们将

该条件作如下变形：

=2,进而有=(&Y.①

我们来构造这样一个直角三角形，使其两直角边长分别为小+；和J+；，而斜边之

长则为正（如图所示）.显然，这个直角三角形的三边长之间的关系是符合①的，从而

满足条件。+方=1.

由图所示，根据定理“三角形任意两边之和大于第三边”，而有不等式

至于这个双联不等式的右边部分，也可由图,并根据直角三角形的边角关系知

J<7+—=V2cosa，+—=Vasina.

V2V2

于是有=V2(sina+cos<z)=J2->/2sin|cr+—|<2

V2V214)

所证不等式近<+即|<2成立.

18.（2021•全国•高三专题练习）已知mh为正数，且。'"证明

la2+b2a+h1—2

q2>2>疝>1+「

—十—

ab

【答案】证明见解析

［分析］如图所示，可先构造RtAABC,再构造RtBCD.最后，作RtAfiCD^RtABCD,

由图形直观得AB>3C>B£）>8E,即得证.

【详解】证明：由于/且卢=与）+（专斗

可先构造RtZ\A8C,使得BC=",AC=—学,如图所示.

21

1

Arr-rrB

最后，作RtZ\BC'£>四RtZYBCD,

_BD2（V^）22

过点力作£>E_LBC'交BC于点E,由BD2=BE-BC'得"-BC~a+b~1—\，

-------T—

2ab

由图形宜观得AB>BC>BD>BE,

la2+/?2a-^br—r2

即匕~~>丁）丁丁

—I—

ab

19.（2022•湖北武汉•高三统考强基计划）设3,…,乙（〃22）皆为正数，且满足

-------+--------+•••+--------=—^—,证明.新1…X”>2022

为+2022々+2022x„+2022202273,-zuzz

【答案】证明见解析

【详解】证法一：由AM-GM不等式有：

口多-rjy]

2022（升+2022）%;白4+2022

2即<=|（I）市I4+2i022,、

口（占+2022）’

J=1

即必乜±22022.

n-1

证法二：

不妨设必=一，而厕x,=--2022,]<i<n.

&+2022y.

从而原题转化为：

»11n（i、

已知？产版'。气〈痂,求证小仁-2。22F皿2022（E）].

令人>）川/2。22卜”赤，则f（加（-022/广

不失一般性,我们设M4%44，则:

⑴若4券二工;，由Jesen不等式有:

4044

沙)"挣卜『总=nln[2022(n-l)].

(2)若<y„,t<^<yn.

容易得到£/(%)取得最小值当且仅当y=%==山.

1=1

20.(2023•全国•高三专题练习)实数”为,c和正数4使得/(力=/+以2+8+。有三个

实数根不法与.且满足：(1)々-西=兀；(2)x3>|(x,+x2),求2优+27：-9“"的最

2元

大值.

【答案】巫

2

【分析】解法一：设内=根-弓，x2=m+^,&=〃?+r(/>0),利用韦达定理可化筒所

求式子为法示J(93-4产)8产，结合基本不等式可求得最大值，验证取等条件即可确

定结果；

解法：：山2tz3+27c-9ab=+毛+9—2七)可令W=X+4，

+X3-2X1)(XI-2X2)(A,

毛=再+4+〃(〃>()),由此可化筒所求式子为2.2一令?="0,

22A\^)

g⑺=|二-2/”0),利用导数可求得gQ,即为所求式子的最大值.

0夕

【详解】解法一：由题意可设「尸爪5,5"+于

=m,可令毛=m+r(r>0),

a=-(xj+x2+工3)=_(3机+。

7,2c万

由韦达定理得：b=XjX2+x2x3+x3x{=3m~+2mt--

22

322A

c=-xix2x3--m

27Q

贝U2/-9ah=a(2a2-9b)=27w3+21m2t--mA2--A2t-2t\

2777

322

27c=-27m-27m2f+-m^+—2/,

44

则2/+27:-9叽9朽今3最则”“4/>0,

万2A3

2yf(胡一…总婀一

_1j2(92--4r)+8r-l=延(当且仅当9万一4/=8」，即1=且4时取等号)，

4&3皿3J22

又广34满足9加一4/>0,

2

・二取加=0,A=2,则f=石，此时为=-1,W=1，七二百，a=-\f3>b=_T,c=>/3

12a3+27c-9ab3A/3

时，无、=2，

2"、2尸出的最大值为巫.

A32

解法二：2〃3+27c—9。0=27(—1)+〃(—1)+b[—W)+c'=27日

=27(_]_西)]_]_工2)(_三一七)=(_々_3西)(_4_3工2)(_。_3

X3),

又一Q=X+%+W,

2石）（西十七一2々）（西+O—2天）,

令％=玉+2，x3=x,+—+n(/7>0),

/.2〃3+27(?-9〃〃=停4+")仁义-〃卜〃

c3c八，2nf-A2-n2>|

2a'+27c-946(4)9n-期

：.----------Z--------=--——--------=------

分Z32A

人〃，n1bi2as+27c-9ab9_

令二=，>0,贝lj-------------------=-t-2t

AA32

go产，令（）解得：好乎，

令g(/)=夕-2J”0),则g，⑺4_6g'f=o,

二当fe1(),等卜寸，g'⑺>0；当Z+8时，g，⑺<0；

X

・•・g(f)在0,与上单调递增，在(与

8上单调递减，

7

.-.,(/)=g(®|=述_2xK=g

一.

v7max\2J482

=A/3>，匕时,

・二当丸=2,n=5/3时，即石=—1,x2=1,a=-&=-1,c=G

2/+27C-9"373

232

2〃+27：-%力的最大值为巫

笛2

21.（2021•全国•高三竞赛）设"段,1=1,2,

其中求和是对1,2,…，”的所有C：个％元组合44，%进行的，求证:

Dk>Dk^.（k=1,2,，〃-1）.

【答案】证明见解析

【详解】任取4，%，，。.，由柯西不等式，有:

号_________1________2_______________<+1)2_______________

月4+气++%-%-(G+D(q+%+・+%)-(4+%++%.,)

=-(-2-+--1)-2--------1--------

k%+a,++他।•

_________1_________(^+1)2V______1______

所以乙巧+…k乙气+—.十%-

其中求和对1,2,...,〃的所有个&+1元组合进行.

上式左边实际上是一些Z元组合的求和，因对任意k元组合％，为，，%，选这么个数

的4+1元组合有〃-上个（余下的“-上个数中任意一个数都与其构成一个人+1元组合）,

故£自a+%++%*,

这样便有（〃-泣…：+”*胃工+」+%

26+1)2>______1

(〃-k)C：%+%++%

再注意到（”一幻&=（A+I）C"，即得:

这就证明了222“，其中A=l,2,,"-1.

即有R222…222。*+；…2。,.

22.（2021•全国•高三竞赛）己知4。，1，46/?,且满足42+片++a；=\,求

k一局+l%-％I+L+|加-4,1+1%-q|的最大值.

【答案】当〃为偶数时，最大值为2«,当n为奇数时，最大值为2«二T.

【详解】,一叼卜㈤+同当且仅当4巧4。时等号成立.

（1）当”为偶数时，|4一回+|七-局+L+|的一。“|+|。“一闻最大时，显然需满足

々.《“WO,否则用-4M替换4+i依然满足条件，且值增大.

设