数学分析试题及答案.doc

（十四） 数学分析考试题一 填空（共15分，每题5分）：1 设 1 , 0 ;2 设； 3 设在 1 ， 0 。二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 ;解: 由于又故 2 ；解: 由stolz定理, 3 ；解: 4 。解: 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 解: 2解: 3 设解: 由Leibniz公式 四 （12分）设，满足：证明：收敛，并求解: （1） 证明：易见， 从而有： ， 故单调减少，且有下界。所以收敛。 （2）求： 设，由（1）知：。 在两边同时取极限得 解之得，即。五 （10分）求椭圆处方程。解: 在方程两边对求导数得：故从而，所以椭圆处方程为，即六（10分）利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必收敛。证明：设单调有界，不妨设单调增加。 假定不收敛，则由Cauchy收敛原理，存在常数，于是 令存在 ，再令存在 ，一般地令存在 ，这样得到的一个子列：满足：。从而有，由此式递推可知： 因而无界，与条件矛盾，故收敛。七（8分）设1 2 证明：1. 由条件知， 故：， ， 可见 2. ,故八（10分）设为实常数，证明：证明：令 则故由Rolle中值定理，即 故（十五）数学分析2考试题一、 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数在 a,b 上可积，那么（ ）A在a,b上有界 B在a,b上连续C在a,b上单调 D在a,b上只有一个间断点2、函数在 a,b 上连续，则在a,b上有（ ）A BC D3、 在a，+上恒有，则（ ）A收敛也收敛 B发散也发散C和同敛散 D 无法判断4、级数收敛是（ ）对p=1,2，A 充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件5、若级数收敛，则必有（ ）A B C D6、在a，b一致收敛，且an(x)可导（n=1,2），那么（ ）A f（x）在a，b可导，且B f（x）在a，b可导，但不一定等于C点点收敛，但不一定一致收敛D不一定点点收敛7、下列命题正确的是（ ）A在a，b绝对收敛必一致收敛B在a，b 一致收敛必绝对收敛C在a，b 条件收敛必收敛D若，则在a，b必绝对收敛8、的收敛域为（ ）A (-1,1) B (-1,1 C -1,1 D -1,1）9、下列命题正确的是（ ）A 重极限存在，累次极限也存在并相等B累次极限存在，重极限也存在但不一定相等C重极限不存在，累次极限也不存在D 重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f(x,y)在（x0,y0）可偏导，则（ ）A f(x,y)在（x0,y0）可微 B f(x,y)在（x0,y0）连续C f(x,y)在（x0,y0）在任何方向的方向导数均存在 D 以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分）1、2、计算由曲线和围成的面积3、求极限4、 已知，求5、 计算的收敛半径和收敛域三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论的敛散性2、 判断的敛散性3、 判断的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f(x)是以T为周期的函数，且在0，T上可积，证明2、设级数收敛，则当时，级数也收敛参考答案一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D二、1、由于在0，1可积，由定积分的定义知（2分）（4分）2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：（4分）3、解：由于有界，（2分）=（3分）=2（1分）4、解：=（3分）=（3分）5、解：，r=2（3分）由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x=0和x=1处无界，所以将其分为=+（2分）考虑奇点x=0应要求p-11；奇点x=1应要求p+q1时积分收敛（2分）所以反常积分满足p2且2(1-p)q1-p收敛，其余发散（2分）2、解：由于（6分），又发散（2分）所以原级数发散（2分）3、解：（6分），由weierstrass判别法原级数一致收敛性（4分）四、