2016_2017学年高中数学第3章不等式3.4.1基本不等式的证明学案苏教版.docx

34.1基本不等式的证明1理解基本不等式的内容及证明(重点)2能运用基本不等式证明简单的不等式(重点)3能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题(难点)基础初探教材整理1算术平均数与几何平均数阅读教材P96，完成下列问题对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a_，b_.【解析】由题意可知a2，b2.【答案】22教材整理2基本不等式阅读教材P97P98，完成下列问题如果a，b是正数，那么(当且仅当ab时取“”)，我们把不等式(a0，b0)称为基本不等式判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，bR，都有ab2成立()(2)不等式a244a成立的条件是a2.()【答案】(1)(2)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_ 小组合作型用基本不等式证明不等式已知a，b，c为不全相等的正数(1)求证：abc；(2)求证：abc.【精彩点拨】(1)利用ab2，ac2，bc2求证；(2)利用b2；c2；a2求证【自主解答】(1)a0，b0，c0，ab2，ac2，bc2.又a，b，c为不全相等的正数，abc.又a，b，c互不相等，故等号不能同时取到，所以abc.(2)a，b，c，均大于0，b22a，当且仅当b时等号成立c22b，当且仅当c时等号成立a22c，当且仅当a时等号成立相加得bca2a2b2c，abc.利用基本不等式证明不等式的条件要求：(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到再练一题1已知a，b，c(0，)，且abc1.求证：9.【证明】法一a，b，c(0，)，且abc1，332229.当且仅当abc时等号成立法二a，b，c(0，)，且abc1，(abc)332229，当且仅当abc时等号成立探究共研型应用基本不等式应注意的问题探究1不等式“x22”成立吗？为什么？【提示】不成立如当x0时，x0，显然不成立探究2当x0时，能否应用基本不等式求解，x的范围是多少？【提示】可以，当x0，x22.当且仅当x，即x1时等号成立，x(，2探究3当x0时，如何求“x”的最小值？【提示】x(x1)121211，当且仅当x1，即x0时等号成立求函数y(x1)的最小值，并求相应的x值【精彩点拨】yy(x1)b求最小值【自主解答】y(x1)5，x1，x10，y25459.当且仅当x1，即x1时，等号成立函数y(x1)的最小值为9，此时x1.1基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境2应用基本不等式求函数最值，常见类型如下：(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值；(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值再练一题2(1)已知0x，求函数y4x2的最小值. 【导学号：91730065】【解】(1)0x0，yx(13x)3x(13x)2，当且仅当x时，函数yx(13x)取得最大值.(2)x，4x50，y4x24x53235.当且仅当4x5，即x时取等号当x时，y取最小值为5.1a12(a0)中等号成立的条件是_【解析】等号成立的条件是两项相等，即a1.【答案】a12函数f(x)2x(x0)有最小值为_【解析】2x28，当且仅当x2时等号成立【答案】83已知x，y为正实数，且x4y1，则xy的最大值为_. 【导学号：91730066】【解析】x0，y0，1x4y24，xy，当且仅当x，y时，等号成立(xy)max.【答案】4设ba0，且ab1，则四个数，2ab，a2b2，b中最大的是_【解析】ba0，a2b22ab.又ab1，b.又bb(ba)b2abb2a2，故b最大【答案】b5已知a，b，c，d都是正实数求证：4.【证明】a，b，c，d都是正实数，224.当且仅当ab且cd时取“”我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1给出下面四个推导过程：因为a，b(0，)，所以22；因为x，y(0，)，所以lg xlg y2 ；因为aR，a0，所以a24；因为x，yR，xy0，a0)在x3时取得最小值，则a_. 【导学号：91730067】【解析】x0，f(x)4x24.当且仅当4x，即x时等号成立由题意可知3，即a36.【答案】363若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是_(1)a2b22ab；(2)ab2；(3)；(4)2.【解析】a2b22ab(ab)20，(1)错误对于(2)(3)，当a0，b0，22.【答案】(4)4已知函数y23x2，当x_时，函数有最_值，为_【解析】x20，y23x22214，当且仅当3x2，即x时，取等号【答案】小145下列函数中最小值为4的是_yx；ysin x(0xb1，P，Q(lg alg b)，Rlg，则P，Q，R的大小关系为_【解析】ab1，lg alg b0，(lg alg b)，即P，lglg(lg alg b)，RQ，即RQP.【答案】RQP二、解答题9已知a，b是正数，试比较与的大小【解】a0，b0，20，即.10已知a0，b0，ab1，求证：(1)8；(2)9.【证明】(1)2.ab1，a0，b0，2224，8(当且仅当ab时等号成立)(2)法一a0，b0，ab1，112，同理，12，52549，9(当且仅当ab时等号成立)法二1.由(1)知，8，故19.能力提升1若x0，y0，且xy4，则下列不等式中恒成立的是_. 【导学号：91730068】(1)；(2)1；(3)2；(4)1.【解析】若x0，y0，由xy4，得1，(xy)(22)1，当且仅当xy2时，等号成立【答案】(2)2若不等式x2ax10对一切x(0,1恒成立，则a的取值范围是_【解析】x2ax10，x(0,1恒成立axx21，x(0,1恒成立ax，x(0,1恒成立x(0,1，x2，