数学建模的相关问题求解方法.docVIP

数学建模的相关问题求解方法：1.量纲分析法是在物理领域建立数学模型的一种方法，主要是依据物理定律的量纲齐次原则来确定个物理量之间的关系，量纲齐次原则是指一个有意义的物理方程的量纲必须一致的，也就是说方程的两边必须具有相同的量纲，即： dim左=dim右 并且，方程中每一边的每一项都必须有相同的量纲。 例子见书数学建模方法与实践P17P232.线性规划法线性规划法是运筹学的一个重要分支应用领域广泛。从解决各种技术领域中的优化问题，到工农业生产、商业经济、交通运输、军事等的计划和管理及决策分析。 线性规划所解决的问题具有以下共同的特征：（1） 每一个问题都有一组未知数（x1,x2,，xn）表示某一方案；这些未知数的一组定值就代表一个具体方案。由于实际问题的要求，通常这些未知数取值都是非负的。（2） 存在一定的限制条件（即约束条件），这些条件是关于未知数的一组线性等式或线性不等式来表示。（3） 有一个目标要求，称为目标函数。目标函数可表示为一组未知数的线性函数。根据问题的需要，要求目标函数实现最大化或最小化。 例子见书数学建模方法与实践P26P303.01规划法用于解决指派问题，是线性规划的特殊情况。 例子见书数学建模方法与实践P314.图解法用于求解二维线性规划的一种几何方法，其方法步骤见书数学建模方法与实践P345.单纯形法也是一种求解线性规划的常用方法，其基本原理和方法见书数学建模方法与实践P37P39，计算步骤P40。6.非线性规划法在目标函数和（或）约束条件很难用线性函数表示时，如果目标函数或约束条件中，有一个或多个是变量的非线性函数，则称这种规划问题为非线规划问题。 例子见书数学建模方法与实践P44P457.最短路及狄克斯特拉算法狄克斯特拉算法是图论中用于计算最短路的一种方法，详见书数学建模方法与实践P588.克罗斯克尔算法克罗斯克尔算法是用来求解一个连通的赋权图的最小生成树的方法，详见书数学建模方法与实践P599.普莱姆算法 同上10.欧拉回路及弗洛来算法欧拉回路是指若存在一条回路。使他经过图中每一条边且只经过一次又回到起始点，成这种回路为欧拉回路，并成图为欧拉图。在一个图中，连接一个节点的边数称为该节点的度数。欧拉图的性质见书数学建模方法与实践P61。 弗罗莱算法是计算欧拉回路的一种方法。详见书数学建模方法与实践P61。11.网络流与最大流最小截集定理对于任意给定的图，图上不同的截集有不同的容量。同时图上不同的流又不同的流值。称具有最小容量的截集为最小截集，具有最大容量的流为最大流。网络理论的基本定理将证明最大流的流值等于最下截集的容量。定理见书数学建模方法与实践P65。12.概率统计模型在实际生活中，往往会遇到一些随机出现的事件，如物质的“供需”。还有一些需根据出现的数据来归类，从而确定某一事件的归属问题。解决这些问题的数学工具就是概率统计的知识。例子见书书数学建模方法与实践P73。其中有随机性存储模型和多元统计判别模型。但是概率统计方法有很多不足之处：要求大量数据、要求有典型的统计规律、计算工作量等。13.层次分析法层次分析法是一种定量分析和定性分析相结合的多目标决策分析方法。特别是将决策者的经验给与量化，对目标（因素）结构复杂且缺乏必要的数据的情况下实用。层次分析法原理、标度、层次模型、计算方法、层次分析法的计算步骤等见书数学建模方法与实践P93P96。14.变分法动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法。最优控制问题是现代科学技术中经常遇到的研究课题。利用经典的变分法可最大（小）值原理，可以对实际动态系统的最优控制问题建立数学模型。书数学建模方法与实践P100。另见书数学建模教材P218。15.曲线拟合的线性最小二乘法 线性最小二乘法曲线拟合问题的提法是，已知一组（二维）数据，即平面上的n个点(,)i = 1,2,n， 互不相同，寻求 一个函数（曲线） y = f (x)，使f (x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。详见书数学建模教材P189线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法基本思路是：令,其中r (x) k 是事先选定的一组线性无关的函数，是待定系数(k = 1,2,m,m n)。拟合准则是使，i = 1,2,n，与的距离的平方和最小，称为最小二乘准则。16.插值法插值：求过已知有限个数据点的近似函数。插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显插值方法下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite 插值和三次样条插值。详见书数学建模教材P17517.偏最小二乘回归在实际问题中，经常遇到需要研究两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量（常称为自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变量或响应变量），除了最小二乘准则下的经典多元线性回归分析（MLR），提取自变量组主成分的主成分回归分析（PCR）等方法外，还有近年发展起来的偏最小二乘（PLS）回归方法。偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。详见书数学建模教材P531。18.排队论排队是在日常生活中经常遇到的现象，如顾客到商店购买物品、病人到医院看病常常要排队。此时要求服务的数量超过服务机构（服务台、服务员等）的容量。也就是说，到达的顾客不能立即得到服务，因而出现了排队现象。这种现象不仅在个人日常生活中出现，电话局的占线问题，车站、码头等交通枢纽的车船堵塞和疏导，故障机器的停机待修，水库的存贮调节等都是有形或无形的排队现象。由于顾客到达和服务时间的随机性。可以说排队现象几乎是不可避免的。排队论（Queuing Theory）也称随机服务系统理论，就是为解决上述问题而发展的一门学科。它研究的内容有下列三部分：（i）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性，主要是研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等，包括了瞬态和稳态两种情形。（ii）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者指最优设计。后者指现有排队系统的最优运营。（iii）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行分析研究。 详见书数学建模教材P11919对策论对策论亦称竞赛论或博弈论。是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。 在日常生活中，经常看到一些具有相互之间斗争或竞争性质的行为。具有竞争或抗性质的行为称为对策行为。在这类行为中。参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标和利益。为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。对策论就是研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的行动方案，以及如何找到这个合理的行动方案的数学理论和方法。详见书数学建模教材P155。20. 马氏链模型 现实世界中有很多这样的现象：某一系统在已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系。比如，研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻累计销售额无关。上节中的几个例子也均属此类。描述这类随机现象的数学模型称为马氏模型。详见书数学建模教材P21.神经网络模型人工神经元模型作为人工神经网络（artificial neural network，以下简称NN）的基本单元的神经元模型，它有三个基本要素：（i）一组连接（对应于生物神经元的突触），连接强度由各连接上的权值表示，权值为正表示激活，为负表示抑制。（ii）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合）。（iii）一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范围内（一般限制在(0,1)或(1,1)之间）。网络结构及工作方式除单元特性外，网络的拓扑结构也是NN 的一个重要特性。从连接方式看NN 主要有两种。（i）前馈型网络（ii）反馈型网络 详见书数学建模教材P232从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的所有极小点都起作用，这一类主要用作各种联想存储器；第二类只利用全局极小点，它主要用于求解最优。例子见书数学建模教材P232。22.灰色系统理论 从信息的完备性与模型的构建上看，对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素难以辨识或之间关系隐蔽，人们很难准确了解这类系统的行为特征，因此对其定量描述难度较大，带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。灰色预测的步骤：1，数据的检验与处理；2，建立模型；3，检验预测值；4，预测预报。详细的步骤见数学建模教材，灰色系统及其应用P18-P19。灰色系统分析方法如果是离散灰数，则有。如果灰数中的白化数是按区间连续分布的，则有可用于预测、对事件的决策这种方法简单、效率高，但其预测方向不好把握。23.关联度分析方法 灰色系统理论提出了一种新的分析方法关联度分析方法，即根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。由于以发展态势为立足点，因此对样本量的多少没有过分的要求，也不需要典型的分布规律，计算量少到甚至可用手算，且不致出现关联度的量化结果与定性分析不一致的情况。这种方法已应用到农业经济、水利、宏观经济等各方面，都取得了较好的效果。关联度是把各个时刻的关联系数集中为一个平均值，亦即把过于分散的信息集中处理。24.数据变换技术数据变换技术为保证建模的质量与系统分析的正确结果，对收集来的原始数据必须进行数据变换和处理，使其消除量纲和具有可比性。定义1 设有序列x=(x(1),x(2),x(3),x(n)则称映射f : xyf(x(k)=y(k) k=1,2,n为序列x到序列y的数据变换。1） 当f(x(k)=y(k),x(1)0称f是初值变换。2） 当f(x(k)=y(k),=称f是均值化变换。3）当f(x(k)=y(k)， 称f是百分比变换。4）当f(x(k)=y(k)，0称f是倍数变换。5）当f(x(k)=y(k)其中为大于零的某个值，称f为归一化变换。6）当f(x(k)=y(k)， 称f是稽查最大值化变换。7）当f(x(k)=y(k)称f是去见值化变换。25.回归分析回归分析研究的主要是客观事物间的统计关系，它是建立在对客观事物进行大量实验的观察的基础上，用来寻找隐在那些看上去是不确定的现象中的统计规律性的统计方法，回归分析方法是通过建立统计模型研究变量间相互关系的密切程度、结构状态、模型预测的一种有效的工具。具体方法见应用回归分析P6-P16。但是回归分析要求大样本，只有通过大量的数据才能得到量化的规律，这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还要求样本有较好的分布规律，而很多实际情形并非如此。另外，回归分析不能分析因素间动态的关联程度，即使是静态，其精度也不高，且常常出现反常现象。26.二次曲线线性拟合它与函数插值不同，二次曲线模型不要求拟合曲线通过所有的观测点，只要求能反映出数据的变化趋势，由于观测数据本身也存在误差，所以曲线拟合的过程比插值过程得到的结果更能反映客观实际。27.方差分析方差分析用于判断控制变量的不同水平是否对观察变量产生显著影响，如果控制变量的却对观察变量产生了显著影响，我们还可以通过进一步分析找出究竟是控制变量的那个水平对观察变量产生了显著影响。28.多因素方差分析多因素方差分析中的控制变量个数为两个或两个以上，它的研究目的是要分析多个控制变量的作用，多个控制变量交互作用以及其他随即因素作用是否对观察变量的分布产生显著影响。29.离散型模型充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。30.线性回归法 数学建模方法及其应用第114页一元线性回归模型：，其中，为待定系数，x为随机变量，为随机因素对影响变量所产生的随机误差，假设，即，用于做估计和假设检验，每个模型都有若干个决策变量（x1,x2,x3，xn），其中n为决策变量个数。，同时决策变量一般式非负的。目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小决策变量的一组值表示一种方案化（min），二者统称为最优化（opt）。约束条件也是决策变量的线性函数。通常采用最小二乘估计来求，的估计值，用统计检验来检验该回归方程的可信度，对回归方程做显著性检验，主要检验=0是否为真，用于做估计和假设检验，对数据的预测，判断某方法的好坏及变化趋势。31.整数规划方法 数学建模方法及其应用第180页其一般模型为 课略去约束条件，若求出的不是最优解，则可通过附加线性不等式约束，进行求解定界，主要解决背带或装载问题、固定费用、和睦探险队（组合学的对集问题）、有效探险队问题、送货问题、系统可靠性、编码和经济学分析，0-1规划可解决指派（或分配）问题、送货问题，求指派问题用匈牙利法比较好，整数规划的优点是能够反映出物流系统的全面情况一一既能反映固定费用，又可反映可变费用。因此，整数规划在选址问题中的应用日益广泛。但混合整数规划的求解方法甚为复杂，计算量大的问题要求有大型电子计算机，有时计算量甚至超过计算机的能力。这一不足之处制约着整数规划法的应用。波士顿矩阵法是一种规划企业产品组合的方法，以业务市场增长率（市场需求的增长量和市场需求的比值）和相对市场份额（该业务相对于最大竞争对手的市场份额）的大小敬爱那个不同的业务划分为四类：现金牛业务：低市场增长率、高相对市场的业务，是企业现金的来源；明星类业务：高市场增长率、高相对市场的业务；问题类业务：高市场增长率、低相对市场的业务；搜狗类业务：低市场增长率、低相对市场的业务。为市场增长率，并认为市场增长率超过就是高速增长（一般取10%左右，可以根据实际应用情况调整）用于评估公司投资组合，分析公司的投资业务组合的合理度，找出侧重点，使用比较单一。波士顿方法的局限性：具有一定的滞后性；具有一定的片面性；波士顿矩阵忽视了狗类产品的发展。利用现金牛产品所创造的资金支持明星和问题类产品并不符合现代理财观念。波士顿矩阵法更适合大企业和进行多元化经营的企业，而不适合小企业和专业化经营的企业。在竞争对手的选择上并不明确。波士顿矩阵法采用相对市场占有率以90%、市场增长率固定以10%作为分界点并不合理，由于波士顿矩阵存在上述劣势，因此，企业在进行决策时，不能单纯依据波士顿矩阵法，而要重点考虑企业所面临的环境，分析企业的优劣式，这样才能作出正确的决策。32.多目标决策分析方法 主要包括：决策单元、目标集、决策情况和决策规则设X为方案集，它是决策变量的集合，表示目标函数，假设所有的约束都用不等式来表示，于是一般的多目标决策问题的数学模型可以表示为其中DR表示决策规则主要解决无限个方案的多目标决策问题，选择方案的方法主要是依据决策人的“偏好结构”，很难找到最优解，可解决投资问题33.网络流法 运筹学第166页网络流是指定义在弧集合A上的一个函数，并称为弧上的流量，简计为。网络D上流量最大的可行流，称为该网络的最大流，可解决交通网络中车辆的流量、生产流水线上产品的加工能力、供水网络中通过的流水量、信息网络中的信息传输量、运输方案、邮递员问题、对于系统求最大流的问题在图论中转化为网络最大流问题。优势：该模型可使问题变得比较直观，而且解法高效；劣势：影响网络流算法的时间效率的因素主要是网络中顶点的数目与边的数目。这二个因素之间不是相互独立的，而是相互联系，矛盾而统一的。在构造网络模型中，有时，实现了某个因素的优化，另外一个因素也随之得到了优化；有时，实现某个因素的优化却要以增大另一因素为代价。因此，我们在具体问题的解决中，要坚全局观，实现二者的平衡。34.马尔科夫排队法 运筹学 第315页单通道损失制模型，可解决一条电话线的实际通过能力和额面通过能力、系统的相对和绝对通过能力；多通道损失制模型，可求多种情况时的相关问题；单通道等待制模型，有等待的过程，可用于解决地面搜索问题、铁路编组站到达场；多通道等待制模型，可解决顾客的接待问题、系统的效益指标；单通道排队长度有限制的模型，可解决系统的效益指标；多通道排队长度有限制的模型，解决有多个服务点时系统的效益指标，这种方法简单可靠，但需要很多连续数据。35.单纯形法单纯形法是求解线性规划问题的有效算法，根据线性规划模型的标准型，从可行域中的一个基本可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基本可行解（顶点），且使目标函数的值逐步增大，当目标函数达到最大时，则问题得到了最优解，可解决企业获得最大利润问题，单纯形法方便有效地解决了一般线性规划寻找最优解的方法，这种代数运算法缺乏严格的计算程序，容易造成差错，大M法用于解决找不到一组初始基变量的情况。对偶问题对偶问题的一般模型为 其中A，C，b为线性规划原问题的矩阵，在求出线性规划问题的最优解后