2016_2017学年高中数学3.2.2半角的正弦余弦和正切学案新人教B版必修1.docx

3.2.2半角的正弦、余弦和正切1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程.2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明.(重点、难点)基础初探教材整理半角公式阅读教材P145内容，完成下列问题.sin，cos，tan.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)cos .()(2)存在R，使得cos cos .()(3)对于任意R，sin sin 都不成立.()(4)若是第一象限角，则tan .()【解析】(1).只有当2k2k(kZ)，即4k4k(kZ)时，cos .(2).当cos 1时，上式成立，但一般情况下不成立.(3).当2k(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立.(4).若是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan 成立.【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型化简求值问题(1)已知cos ，且180270，求tan ；(2)化简(1sin )(1sin )2.【精彩点拨】(1)cos tan tan 的值；cos tan tan 的值.对于(1)的思考要注意符号的选择.(2)灵活运用三角函数公式求解.【自主解答】(1)因为180270，所以90135，即是第二象限的角，所以tan 0，tan 2.(2)原式1(sin sin )sin sin 12sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin 0.1.解决给值求值问题的方法及思路：(1)给值求值问题，其关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，经过适当变换已知式或变换欲求式解题.(2)给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用.2.三角函数化简的思路及原则：(1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.(2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：运用公式之后能否出现特殊角；运用公式之后能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；运用公式之后能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件.(3)对于三角函数的和差化积，有时因为使用公式不同，或选择题的思路不同，化积结果可能不一致.再练一题1.(1)已知sin ，cos ，则tan 等于()A.2 B.2C.2 D.(2)(2)化简(0，cos 0，所以的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限.所以tan 0，故tan 2.【答案】C(2)原式.因为0，所以0，所以sin 0，所以原式cos .三角恒等式的证明(1)求证：12cos2cos 22；(2)求证：.【精彩点拨】(1)可由左向右证：先把左边cos2 降幂化为同角后整理可证.(2)可先从左边表达式分母中升幂缩角入手，再通过改变函数结构向右边转化.【自主解答】(1)左边12cos 22右边.所以原等式成立.(2)左边右边.所以原等式成立.三角恒等式证明的五种常用方法：(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简.(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同.(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”.(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步探求使等式成立的条件，一直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.再练一题2.已知0，0，且3sin sin(2)，4tan 1tan2，求证：.【证明】3sin sin(2)，即3sin()sin()，3sin()cos 3cos()sin sin()cos cos()sin ，2sin()cos 4cos()sin ，tan()2tan .又4tan 1tan2，tan ，tan()2tan 1，.三角函数在实际问题中的应用如图321所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？图321【精彩点拨】设AOB建立周长l()求l的最大值【自主解答】设AOB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ，lOAABOBRRsin Rcos R(sin cos )RRsinR.0，0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f (x)在区间上的单调性.【精彩点拨】利用三角公式化简函数式，写为f (x)Asin(x)b的形式，再讨论函数的性质.【自主解答】(1)f (x)4cos xsin2sin xcos x2cos2 x(sin 2xcos 2x)2sin.因为f (x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f (x)2sin.若0x，则2x.当2x，即0x时，f (x)单调递增；当2x，即0，cos .【答案】C2.已知cos ，则sin 等于()A. B.C. D.【解析】由题知，sin 0，sin .【答案】A3.已知sin cos ，则sin 2的值等于()【导学号：72010088】A. B.C. D.【解析】由sin cos ，(sin cos )212sin cos 1sin 2，所以sin 2.【答案】C4.(2014山东高考)函数ysin 2xcos2x的最小正周期为_.【解析】ysin 2xcos2xsin 2xcos 2xsin，函数的最小正周期T.【答案】5.化简.【解】1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十八)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.若函数f (x)sin2 x(xR)，则f (x)是()A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的奇函数C.最小正周期为2的偶函数D.最小正周期为的偶函数【解析】f (x)cos 2x.故选D.【答案】D2.(2016邢台期末)若sin()且，则sin等于()A.B.C. D.【解析】由题意知sin ，cos ，sincos .故选B.【答案】B3.(2016鹤岗一中期末)设acos 7sin 7，b，c，则有()A.bac B.abcC.acb D.cba【解析】asin 37，btan 38，csin 36，由于tan 38sin 38sin 37sin 36，所以bac.故选A.【答案】A4.若sin()cos cos()sin 0，则sin(2)sin(2)等于()A.1 B.1C.0 D.1【解析】sin()cos cos()sin sin()sin 0，sin(2)sin(2)2sin cos 20.【答案】C5.若函数f (x)(1tan x)cos x,0x，则f (x)的最大值是()A.1 B.2C.1 D.2【解析】f (x)(1tan x)cos xcos xsin xcos x2sin.0x，x0，aR)，且f (x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1)求的值；(2)设f (x)在区间上的最小值为，求a的值.【解】f (x)1cos 2xsin 2xcos 2xasina1.(1)由2x2k(kZ)，得xk(kZ).又0，当k0时，f (x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x，故1.(2)由(1)知f (x)sina1，由x，得2x，2x，当2x，即x时，f (x)取得最小值为a1.由a1，得a.能力提升1.(2016临沂高一检测)已知450540，则的值是()A.sin B.cos C.sin D.cos 【解析】因为450540，所以225270，所以cos 0，sin 0，所以原式sin .故选A.【答案】A2.(2016泉州质检)已知函数f (x)2cos2 ，g(x)2.(1)求证：f g(x)；(2)求函数h(x)f (x)g(x)(x0，)的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值.【解】(1)证明：f (x)2cos2