数学建模-教学楼人流优化.doc

论文题目： 三教课间学生流控制的数学模型 论文作者1： 吴永辉 在现阶段建模中你善长：写作 程序设计 数学思维，好突发奇想 构建模型的应用能力强论文作者2： 王卫阳 在现阶段建模中你善长：写作 程序设计 数学思维，好突发奇想 构建模型的应用能力强论文作者3： 刘玉洋 在现阶段建模中你善长：写作 程序设计 数学思维，好突发奇想 构建模型的应用能力强33第三教学楼课间学生流控制的数学模型3一、 问题重述4二、 基本假设4三、 问题分析与参数说明43.1问题分析43.2参数说明5四、 模型建立54.1模型一：54.1.1 问题分析54.1.2 通过每层楼道人数优化64.1.3 电梯运载人数确立84.1.4 通过楼道的人数的简化与确定84.1.5 通过没层楼单位长度上的人数：84.1.6 各层（1-3层）南，北，中楼经过各楼道的比例94.1.7模型的结果与分析114.2 模型二124.2.1 基本假设:124.2.2 问题分析：124.2.3 模型建立134.2.4 模型结果及分析14五、 模型评价14六、 具体方案的提出15 第三教学楼课间学生流控制的数学模型 摘要第三教学楼（三教）作为全校本科生上课的主要地点，起着至关重要的作用，但同时毫无疑问也承担着巨大的人流压力。在上午第一和第二节的课间，楼道口学生流的拥挤问题就显得尤为突出，给大家的进出带来了很多麻烦，也造成了时间上的浪费，因此这成为亟待解决的一个十分重要的问题。由于在上午九点四十五下课后，下课离三教与上课入三教的人叠加在一块，造成拥堵，而正确地指导学生入楼、出楼是解决三教拥堵的关键，因为三教现有资源已经固定。针对三教人流拥挤的特殊情况，我们实地进行调研，测量记录了相关数据，并建立数学模型对人流拥挤问题提出了优化解决方案。对于该问题，我们从生活实际出发，通过将人的出入转化为全出，将人的移动比作流体，建立起模型，实现三教学生出入在各个楼道的合理分布，从而改善三教的拥堵状况。此模型从人流密度等不确定性的量入手，使得三教的人流密度最小化，即min条件。而又通过简化避开复杂的调研和许多不确定性的量，充分利用已有的资源与数据，实现学生出入方案的优化，结果更有可靠性与精确性。最终，得出了各层学生通过各个楼道的人数与比例，例如星期一的比例为：实现在定性地指导基础上的量化，直观又准确。关键词：出入方案 上下楼道模型 秩序 数学模型1、 问题重述第三教学楼（三教）在上午九点四十五下课后，下课离开三教的人流和来三教上课的人流叠加在一起，使得楼内比较堵塞，楼内的交通十分混乱，人流拥挤的问题亟待解决。（1） 调研三教各楼层教室的分布和楼梯、电梯的分布。（2） 根据各教室容量和课表等估算出下课人数和上课人数。（3） 利用三教现有的资源，制定出一个下课学生出楼，上课学生入楼的方案，改善三教内秩序。2、 基本假设 1）疏散总时间固定，最多15分钟 2）三教各层楼道长度相同，同层楼道人是同时疏散完毕。 3）各层楼人员流动连续不间断，看成流体。 4）进出人员都看成是出，总人数为两者的线性叠加。 5）拥挤的地方出现在楼道口，走廊不拥挤。 6）三教北楼5-8层有电梯，走楼道的人数为定值。 7）三教北楼的4-8层楼道走的人少，可纳入3层同时进行考虑。 8）三教人员总人数固定，每层、每教室上、下课人数固定。3、 问题分析与参数说明 3.1问题分析 分析问题包括出入人员对拥挤程度的影响的简化与量化，衡量拥挤程度的指标，以及如何实现指标的优化。针对此问题：（1）在调研基础上，对出入学生流做出相应简化；（2）推导出衡量拥挤程度的指标或是实现优化的条件与前提；（3）提出指导学生出入的优化方案。最终使得三教的人流密度最小化，即min时，所需要条件，即是要实现的方案。 3.2参数说明第（)层的人群密度楼道内的总人数楼道面积常系数大于0的常系数通过楼道的总人数通过（)层的人数（)楼道的宽度通过(1,2,3)层楼道的单位宽度的人数南楼(1,2,3,4,5)上、下课的总人数北楼(1,2,3,4)层上、下课总人数中间楼(1,2,3)层上、下课总人数北楼5-8层通过楼道的总人数南楼(1,2,3)层（)楼道通过人数北楼(1,2,3)层（)楼道通过人数中楼(1,2,3)层（)楼道通过人数 4、 模型建立 4.1模型一： 4.1.1 问题分析 由实际情况可知，人群密度（单位面积上的人数）越大，则拥挤程度越大。人群密度是指一定面积内的总人数与总面积的比值，因此人越多，在这个面积内就越拥挤。在三教的各楼道中，要使情况得以改善，则仅需要使人群密度最大的地方改变即可。根据假设（1）、（3），在固定的时间内通过每一层的人数固定，要使最拥挤的地方得以缓解，则要使个楼道的人流均匀。根据如图示的三教的教室分布及楼道分布看，拥挤的楼道一定出现在1,2,3楼层，因此，把南面5,4楼纳入3楼考虑，北面4-8层纳入3层考虑，由于此面5-8层有部分人乘坐电梯，因而由假设（6），走楼道的人数为人。因此，只需考虑三教1-3层各楼道的人员分布情况，即可得到问题的优化方案，与此同时，因为进和出的问题，使问题复杂化，因而，根据假设（4），都可化为出的人流，这与实际情况是等效的。 4.1.2 通过每层楼道人数优化 根据假设与问题分析 人群密度；为人群密度（）；为楼道内总人数；为楼道面积； 根据假设（1）、（2）时间固定时，而且人数是连续的，因而与通过楼道的总人数成正比，又与宽度成正比，因此： ，也就是与成正比。 为以常系数。 同时，对不同的楼道，在同一层时，人群密度最大的地方即反映了该楼的秩序情况，即： ; 时，对应的人流分布情况即为最优，因而 时即为所求。由假设（8），对同层楼来说，经过各个楼道的人数之和相等，即：;为常数，为通过楼道的人数； 为定值，为楼道宽度，所以：即为通过同楼层楼道单位长度上的人数相等。4.1.3 电梯运载人数确立根据对北面5-8楼的人员进行调查，上下课的人员大概在700左右，假定电梯每次运载13人（满运），半分钟上下一次，每次都满载，设在十二分钟内完成，则经过楼梯口的人数T为大约100人。4.1.4 通过楼道的人数的简化与确定根据分析和假设（4），通过楼道的人数即为进、出人数的线性叠加：；为通过楼道的总人数；为下楼道的总人数；为上楼道的总人数；为系数，由假设（4）可知，的取值为1。4.1.5 通过没层楼单位长度上的人数： 为单位宽度通过人数； 为某层通过（)楼道的人数。 为（)楼道宽度。 因而： 其中，,为3,2,1楼楼道单位长度通过人数。 为南楼上、下课的总人数； 为北楼上、下课的总人数； 为北楼上、下课的总人数； 为北楼5-8层走楼道的人数； 为楼道宽度。4.1.6 各层（1-3层）南，北，中楼经过各楼道的比例为了使各个楼道的通过人数较为合理、均匀，因此，需要根据每层楼单位长度上通过的人数求出一个比例值，或,因而可比较直观的反映人的走向。 根据同层每个楼道通过的总人数为，假设在第二、三层时，南边的人走A,B,C三个出楼道口，中间楼的走C，D，G楼道，北边的人走E，F，G楼道，若求出比例值为负，则是反向通过的人数所占的比例。对第三层而言：在南楼，3，4，5层同时纳入考虑，总人数为，A楼道所占的比例为，故A楼道在第三层通过的人数为，同时，其总人数等于，故：=，同理得B出口： =，且综合得： 同理得北楼和中间楼层的方程： 和 对于第二层： 在南楼，第二层A楼道内在第三层基础上新增的人数为，也可以表示为，故可得 ，依次可得： 南楼： 北楼： 中间：在第一层： 由于北边的E，F出口封住，故人流只能通过H和I，而南边A，B，C依旧可以，中间可以，中间大教室由于与大厅相接，可以不加以考虑。因此可得： 和 最终可得出向量 ： 4.1.7模型的结果与分析运用lingo软件，输入相关的参数可得到最优化的数据，限于篇幅，现以星期一的数据为例进行分析：优化后每层楼楼道单位宽度上的人流量为：= 969.178 = 691.026 = 485.449优化后的比例向量组为： 根据数据可知，三楼C楼梯口的人员有负的，是-2.40，因此，意味着南边三楼及以上楼层的人员要转移很大一部分到（几乎是四楼的所有人数）到D和G出口以缓解南面的严重拥挤现象。这个值也恰恰反映了现实中为什么总是南面的一、二、三层楼梯口拥挤，而D楼梯口却没多少人的原因：由于各种原因不往北边走，造成人员在南边堆积。然而，根据和巨大的差距，可以看出，D出口还可以进一步分掉一部分流往一楼的人员以减小拥挤。因此建立以下模型。4.2 模型二4.2.1 基本假设: 1）人员流动总时间固定，最多15分钟（课间休息）。 2）各层人员流动连续，看成流体。 3）各楼道长度相等。 4）进出人员看成出，总人数看成线性叠加，两者无影响，进行直接相加。4.2.2 问题分析： 三教的秩序最差的地方出现在人流量最大的地方，因此，要使秩序得到改善，即即使楼道单位长度上最大人流量最小化即可解决问题。和上个模型一样，将4-8层纳入3层来考虑：南、北、中楼的学生走各个楼道的楼道口不变，在2,3层南边通过A，B，C；北边E，F，G；中间为C，D，G，其中在1层，中间的教室（106,105）不纳入考虑范围，北边出口只有H，I。在考虑最大流量口时，只考虑通向外界的出口处，即A，B，C，D，E，F，H，I口。4.2.3 模型建立 由于各楼在每层通过各楼道人数之和不变： 比如在南楼的3楼，根据问题分析，通过A，B，C楼道口的比例之和为1，即。同样对其他楼和其他层列式为： 且 且 且 定义函数，即是三教各楼道单位宽度上最大的人流量。 , 时，即为所求值，而即为单位长度上通过的最小人数，此时秩序最好。为了形式好看直观，将、的值定义为3层以上所有楼层人数之和。4.2.4 模型结果及分析 运用Matlab的fminimax函数。可得输出的向量为： =947.21， 因此，从中可以看出，运用此模型之后，楼道的拥挤程度在模型一的方法上有了一定的减小，但幅度不是很大，这也在预料之中，因为楼道口数目较多，D出口分担的人流量也相对说来不是很大。楼道单位长度的人流减少率为： 由W的值可知，两者的相对误差较小，因此对应三教的人员流动的优化方案，两者结果相差不多。5、 模型评价模型一反映三教一贯南边拥挤的原因，同时也给出了解决方案：南变3-5层的人往北边走，同时也使得各层楼道单位长度的人流量相等，很有实用性。模型二实现三教总的秩序最优，但是其内部人员分布很不均匀，因此可以作为理想值考虑来检验其他模型是否合理。这样又发挥了模型一使三教内部人流分布均匀的优越性。6、 具体方案的提出根据课表可知，工作日大部分时间里。同层楼教室里上下课总人数相差不大，故由星期一的结果可看出：1） 出入南边三四五层人员应尽量通过北边，D,G楼道口；2） 通过A，B出口的人应该相等，且总和占南楼总人数的百分之六十左右。 附录一：三教各层人员分布情况楼层南楼中间北楼一层12877601160三层16357441189四层17490548五层16080157八层00488（上表数据人数为进出人数之和）附录二：程序输入输出情况模型一一、输入程序model:min=abs(1635+1749+1608)*x-485.449*1.8)+abs(1635+1749+1608)*y-485.449*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End运行结果Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.1750417 0.000000 Y 0.1750417 0.000000 Z 0.6499166 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000二、输入程序:model:min=abs(1189+548+100)*x-485.449*1.8)+abs(1189+548+100)*y-485.449*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End输出结果： Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.4756713 0.000000 Y 0.4756713 0.000000 Z 0.4865738E-01 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000三、输入程序model:min=abs(1635+1749+1608)*0.6499166+744*x-485.449*3)+abs(1189+1608)*0.04865738+744*y-485.449*3.6)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End输出结果： Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X -2.403275 0.000000 Y 2.166024 0.000000 Z 1.237251 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000四、输入程序model:min=abs(1287*x-(691.026-485.449)*1.8)+abs(1287*y-(691.026-485.449)*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End输出结果：Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.2875203 0.000000 Y 0.2875203 0.000000 Z 0.4249594 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000五、程序输入：model:min=abs(1160*x-(691.026-485.449)*1.8)+abs(1160*y-(691.026-485.449)*1.8)+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);End输出结果 Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.3189988 0.000000 Y 0.3189988 0.000000 Z 0.3620024 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000六、程序输入model:min=abs(760*x-(691.026-485.449)*3+1287*0.4249594 )+abs(760*y-(691.026-485.449)*3.6+1160*0.3620024 )+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);end结果输出 Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.5551115E-16 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.9185296E-01 0.000000 Y 0.4212558 0.000000 Z 0.4868912 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000七、程序输入model:min=abs(1477*x-(919.178-691.026)*1.8 )+abs(1477*y-(919.178-691.026)*1.8 )+abs(x+y+z-1);free(x);free(y);free(z);end结果输出 Linearization components added: Constraints: 12 Variables: 12 Integers: 3 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.2780458 0.000000 Y 0.2780458 0.000000 Z 0.4439085 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000八、程序输入model:min=abs(1120+691.026*(1.8+1.8+3.6)*x-919.178*3 )+abs(x+y-1);free(x);free(y);end结果输出 Linearization components added: Constraints: 8 Variables: 8 Integers: 2 Global optimal solution found. Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X 0.4523969 0.000000 Y 0.5476031 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 -1.000000模型二function f=myfun(x)f(1)=821*x(7)+71