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中学教师的薪金问题摘要本文是研究薪金与其影响因素的数学关系的模型，并用数学建模的方法给出教师的职称信息，最后设计出一个相对公正合理的工资体系。关于问题一，通过分析工作时间、性别、学历、受聘单位等的7个因素对薪金的影响，应用数学软件Matlab比较各因素与薪金的相关系数r，和各因素的月平均薪金的差d，剔除一些对薪金影响不显著的因素。并通过建立多元线性回归方程，并通过Matlab中的stepwise命令做逐步回归，用regress命令得出薪金与模型的相关性的值，用rcoplot命令做出残差图进行分析，拟合出一条薪金与其影响因素的数学模型。关于问题二，职称跟工作时间长短和学历紧密联系，把学历分为专科、本科、硕士、博士四类，结合参加工作的时间给教师的职称进行定义，从而得出数据中所有教师的职称信息。关于问题三，虽然在模型一中，我们将性别的因素归为对薪金不影响的因素，但为了设计一个相对公正、合理的工资体系必须弥补女性因素对薪金影响，既补发因不公正待遇所减少的工资，从而拟合出一个新的多元回归方程，并用其求解出比较合理的薪金值。关键词：教师薪金；线性回归；相关系数；一 问题的提出教师薪金报酬在现在受到了相关部门与广大群众的关注，合理的工资分配制度，才有助于教育的管理和发展。某地人事部门为研究中学教师的薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间的关系，要建立一个数学模型，分析人事策略的合理性，考察是否存在不合理、不公正的待遇，以及婚姻状况是否会影响收入。为此，从当地教师中随机选了3414位进行观察，然后从中保留了90个观察对象，得到了下列因素变量与相关数据表（见附录1）。=月薪（元）； =工作时间（月）； =性别（1男，0女）；=（1男性或单身女性，0已婚女性）； =学历（数值越大学历越高）；=受聘单位（1重点，0其他）； =（0未受过培训的毕业生或肄业生，1受过培训的毕业生）=（1已两年以上未从事教学工作，0其他）问题：1）薪金与他们的资历、性别、教育程度及培训情况等因素之间是否有关系，有则建立关系数学模型，通过你的模型分析人事策略的合理性，考察是否存在不合理、不公正的待遇，以及婚姻状况是否会影响收入等；2）表中没有给出教师的职称信息，能否用数学建模方法对给出他们的大致职称信息；3）如果要进行工资调整，设计一个相对公正、合理的工资体系，并用数据表中相关数据验证说明。二 问题的分析本题给出了薪金与7个因素的有关数据表对于问题一，要研究薪金与各种考虑因素之间是否存在关系，先通过分析每一种属于0-1变量因素与薪金的关系，主要采用平均值模型和各因素与薪金的相关性分析，分析比较每种因素中月工资平均值的差和每个相关系数，剔除影响不太显著地因素。然后考虑几种主要因素同时对薪金的影响，主要采用多元线性回归模型，建立薪金与显著因素的数学模型。对于问题二，职称跟工作时间和学历紧密联系，可以根据社会实际情况对教师职称的评定进行假设。把学历分为专科、本科、硕士、博士四类，结合工龄给教师的职称进行定义，从而得出数据中所有教师的职称信息。对于问题三，将女性是否已婚的因素考虑到模型里面，因为其月平均薪金之差比假设中的300元非常接近。从而拟合出一个新的多元回归方程，并用其求解出比较合理的薪金值。三 模型的假设与符号说明3.1模型的假设：1）月薪金主要与题目中的因素有关，不受其他因素影响；2）该人事部门所提供的数据是真实可靠；3）各因素下的月薪金的平均值差在300以下，相关系数在0.3以下的，视为不显著；4）学历数值为0的视为低学历者，非0的视为高学历者；5）所有教师评选条件都符合国家法律法规。3.2符号说明：1）；2） 四 模型的建立与求解问题一1. 分析问题分别根据性别、婚姻状况、学历、受聘单位、培训情况进行分类对月薪求月平均工资并求出相应的因素月平均工资1男性1882.6=283.80女性1598.81男性或单身女性1834.8=300.30已婚女性1534.50低学历1590.7=618.21高学历2208.91重点单位1879.7=2730非重点单位1606.70未受过培训的毕业生或肄业生1598.7=612.81受过培训的毕业生2211.51已两年以上未从事教学工作1898.1=228.40其他1669.7因为上表中的因素中，性别、是否受过培训、是否已两年以上未从事教学工作的月平均薪金的差小于300，可以认为对薪金的影响不显著；而因素是否已婚的月平均薪金的差=300.3，与300很接近，可以认为其对薪金的影响不大，在建立数学模型时，暂且不考虑这个次要因素，因此在这里也将其归为对薪金的影响不显著。在Matlab软件中分析与是否具有线性关系，将题目给出的数据表中与的数据导入Matlab,并在Matlab中输入以下命令： a1=corrcoef(x1,z)a1 = 1.0000 0.75010.7501 1.0000 a2=corrcoef(x2,z)a2 = 1.0000 0.2920 0.2920 1.0000 a3=corrcoef(x3,z)a3 = 1.0000 0.2970 0.2970 1.0000 a4=corrcoef(x4,z)a4 = 1.0000 0.5318 0.5318 1.0000 a5=corrcoef(x5,z)a5 = 1.0000 0.2802 0.2802 1.0000 a6=corrcoef(x6,z)a6 = 1.0000 0.5167 0.5167 1.0000 a7=corrcoef(x7,z)a7 = 1.0000 0.20580.2058 1.0000即corrcoef(x1,z)0.7501，corrcoef(x2,z)0.2920，corrcoef(x3,z)0.2970，corrcoef(x4,z)0.5318，corrcoef(x5,z)0.2802，corrcoef(x6,z)0.5167，corrcoef(x7,z)0.2058，说明没有非常明显的单变量线性关系，其中因素x1、x4、x6与薪金的相关系数相对较大。其他因素与薪金的相关系数都在0.3以下，但所有因素对的影响都成线性关系，因此建立多元线性回归模型来解决问题一2建立模型 定义变量 表示回归系数，表示随机变量，可建立以下数学模型：用MATLAB求解此模型,直接在MATLAB中输入命令（结果显示见附录2） X=ones(90,1),x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7; b,bint,r,rint,stats=regress(z,X) stepwise(X,z)可得出下表参数参数估计值置信区间1127.6（1017.4，1237.8）2.7（2.3，3.1）40.9（-102.1，183.9）-13.5（-163.8，136.9）160.4（77.2，243.6）31.3（-88.5，148.2）76.9（-167.3，321.1）-1.3（-127.6，125.2）=1F=450P=03. 结果分析由上表可知= 1.0，- 检验值= 450 0，显著性概率 = 0.05可以知道薪金（）的78.98%可由模型确定， = 0远小于0.05，模型从整体上看是成立的，但是还可以看到一个问题，也就是说有些变量的置信区间是包含0点的，因此我们可以知道这些变量对因变量的影响是不显著的。在MATLAB中运行stepwise命令得到如下图：-1000100200300X1X2X3X4X5X6X7Coefficients with Error Bars Coeff. t-stat p-val 2.72413 14.4896 0.0000 45.058 0.8938 0.3739 16.5092 0.3122 0.7556 191.344 9.6984 0.0000 48.2003 0.9183 0.3610 95.0977 0.8012 0.4252 -12.0863 -0.2134 0.8316123200300400500Model HistoryRMSE模型评估参数分别为：=0.789883，修正的值，F检验值163.528，与显著性概率相关的 0 X=ones(90,1) x1,x4,x1.*x4,x1.2,x4.2; b,bint,r,rint,stats=regress(z,X) stepwise(X,z)在MATLAB中运行stepwise命令得到下图：在上述改进的模型中，通过数据我们可以看到明显地得到了提高，也就是说薪金的86.07%均可由模型确定。=0小于0.05，模型从整体上看是成立的。F超过F的临界值。现在进行残差分析，在MATLAB中运行命令： rcoplot(r,rint)我们可以得到残差分析图：在残差图中我们可以看到，除个别数据（在图中用红色表示）外，其他数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间都包含零点。这说明回归模型能较好地符合原始数据。 但是此时得到的数学模型中因素变量只有x1,x4。而在分析问题中，我们发现因素x6也与薪金的相关性较大，我尝试将x6引进方程，将它们的交互项和平方项加入其中，经过反复几次的尝试我们得到如下方程： 用MATLAB来解上式模型，在MATLAB中运行（得到数据见附录4） x=ones(90,1) x1,x4,x6,x1.*x4,x1.*x6,x4.*x6,x1.2,x4.2,x6.2; b,bint,r,rint,stats=regress(z,x) stepwise(x,z)在MATLAB中运行stepwise命令得到下图：在上述改进的模型中，通过数据我们可以看到明显地得到了提高，也就是说薪金的87.27%均可由模型确定。=0小于0.05，模型从整体上看是成立的。F超过F的临界值。现在进行残差分析，在MATLAB中运行命令： rcoplot(r,rint)我们可以得到残差分析图：除个别数据（在图中用红色表示）外，其他数据的残差离零点均较近，且残差的置信区间都包含零点。这说明回归模型能更好地符合原始数据。 4.模型的评价（1）模型优点：模型运用了逐步线性回归方法把对影响不显著的变量（）予以排除，运用残值分析法建立新的回归模型。精确值更高，模型更合理；该方案简单易行，原理清晰，依据可靠。（2）模型缺点：自变量与因变量之间的线性关系是通过拟合而得到的，存在一定的误差；模型的假设理想化，且未能把所有影响因变量的因素包含在模型内。问题二1. 分析问题在实际情况，教师的职称很大程度上受到学历和工作时间长短的影响，我们在这仅考虑这两种因素。为此，参考了一些关于2012年教师职称评定的文章，我们进行如下假设： 学历工作时间（年）职称专科（学历为0）0，10)初级教师10，20)二级教师20，30)一级教师30，)高级教师本科（学历为2 3）0，5)初级教师5，15)二级教师15，25)一级教师25，)高级教师硕士（学历为4）0，8)二级教师8，15)一级教师15，)高级教师博士（学历为5）0，2)二级教师2，5)一级教师5，)高级教师2. 模型的求解根据假设条件，我们可以以年为单位，用Excel算出90位教师的工作时间，并得出如下的职称表：工资工作时间/月学历工作时间/年教师职称1998700.583333333初级教师210151401.166666667初级教师310281801.5初级教师412501901.583333333初级教师510281901.583333333初级教师610281901.583333333初级教师710182702.25初级教师810723002.5初级教师912903002.5初级教师1012043002.5初级教师1113523122.583333333初级教师1212043102.583333333初级教师1311043803.166666667初级教师1411184103.416666667初级教师1511274203.5初级教师1612594203.5初级教师1711274203.5初级教师1811274203.5初级教师1910954703.916666667初级教师2011135204.333333333初级教师2114625224.333333333初级教师2211825404.5初级教师2314045404.5初级教师2411825404.5初级教师2515945524.583333333初级教师2614596605.5初级教师2712376705.583333333初级教师2812376705.583333333初级教师2914967506.25初级教师3014247806.5初级教师3114247906.583333333初级教师3213479107.583333333初级教师3313439207.666666667初级教师3413109407.833333333初级教师35181410328.583333333二级教师36153410308.583333333初级教师37143010308.583333333初级教师38143911109.25初级教师39194611439.5二级教师40221611449.5一级教师41183411449.5一级教师42141611709.75初级教师432052139011.58333333二级教师442087140211.66666667二级教师452264154212.83333333二级教师462201158413.16666667一级教师472992159513.25高级教师481695162013.5二级教师491792167013.91666667二级教师501690173014.41666667二级教师511827174014.5二级教师522604175214.58333333二级教师531720199016.58333333二级教师541720209017.41666667二级教师552159209417.41666667高级教师561852210017.5二级教师572104213017.75二级教师581852220018.33333333二级教师591852222018.5二级教师602210222018.5二级教师612266223018.58333333二级教师622027223018.58333333二级教师631852227018.91666667二级教师641852232019.33333333二级教师651995235019.58333333二级教师662616245320.41666667一级教师672324253021.08333333一级教师681852257021.41666667一级教师692054260021.66666667一级教师702617284323.66666667一级教师711948287023.91666667一级教师721720290024.16666667高级教师732604308225.66666667一级教师741852309025.75一级教师751942319026.58333333一级教师762027325027.08333333一级教师771942326027.16666667一级教师781720329027.41666667一级教师792048337028.08333333一级教师802334346228.83333333高级教师811720355029.58333333一级教师821942357029.75一级教师832117380031.66666667高级教师842742387232.25高级教师852740403233.58333333高级教师861942406033.83333333高级教师872266437036.41666667高级教师882436453037.75高级教师892067458038.16666667高级教师902000464238.66666667高级教师问题三1. 分析问题我们在问题一的数学模型中，因为性别对薪金影响不大而没有考虑这个因素，但为了设计一个相对公正、合理的工资体系，我们就不能忽略女性教师在薪金问题上受到不公平待遇。由模型一中的知道女性教师的薪金比男性教师的薪金要少发40.9元。修改优化得出新的工资模型为：其中 应用Matlab软件可以求解出在新的数学模型下教师薪金的变化，并用Excel格式得出新的薪金数据表如下：列1zx1x2x3x4x5x6x7z199870000001038.92101514110000101531028181101001028412501911000012505102819010100102861028190000001068.971018270000011058.981072300000001112.991290301100001290101204300100001204111352310120101352121204310001001244.9131104380000001144.9141118411100001118151127420000001167.9161259421101001259171127421100001127181127420001001167.9191095470000011135.9201113520000011153.9211462520120101462221182541100001182231404540001001444.9241182540000001222.9251594551121101594261459660001001499.9271237671101001237281237670101001237291496750100001496301424781101001424311424790100001424321347911101001347331343920000011383.9341310940001001350.93518141030021101854.93615341030000001574.9371430103110000143038143911111010014393919461141131101946402216114114110221641183411411411118344214161170000011456.943205213911010020524420871400021112127.94522641540021112304.946220115811401122014729921591151112992481695162010000169549179216711010017925016901730000011730.95118271740000011867.9522604175112110260453172019901000017205417202090000001760.95521592090141002159561852210010000185257210421311010021045818522200000011892.95918522220000001892.96022102221100002210612266223010000226662202722311000020276318522270001001892.96418522320000011892.96519952350000012035.96626162451131102616672324253110100232468185225701000118526920542600000002094.9702617284113110261771194828711000019487217202900100011720732604308112110260474185230911010118527519423190001001982.97620273251100002027771942326110100194278172032911010017207920483370000002088.980233434611211123348117203550000011760.9821942357110000194283211738011000121178427423871121112742852740403112111274086194240611010019428722664370100002266882436453010000243689206745801000020679020004641121102000该新模型进行残差分析可得数据中只有有7个异常，有很高的拟合度。五 模型的评价与推广1. 模型的优点：本文模型主要应用了多元线性回归方程对多种因素进行分析；排除了一些影响次要的因素，简化了模型，优化了数据的线性关系。应用到F值，R2 值和F值的概率P进行可行性分析。2. 模型的缺点：该模型只是对抽取的90名教师的数据进行回归分析，数据不够大，具有一定的局限性。进行模型拟合的因素考虑不全面。故模型拟合度不是很高。3. 模型的推广：本模型可以推广到分析工资和各种影响因素的关系，能为企业制定合理的工资制度提供了理论依据。本模型亦可应用与实际经济问题，分析收入与影响因素的关系。六 参考文献1. 刘卫国，MATLAB程序设计教程（第二版），北京：中国水利水电出版社 2010.2. 张志涌等，MATLAB教程，北京：北京航空航天大学出版社 2006.3. 网上资源， / 附录1编号ZX1X2X3X4X5X6X7199870000002101514110000310281811010041250191100005102819010100610281900000071018270000018107230000000912903011000010120430010000111352310120101212043100010013110438000000141118411100001511274200000016125942110100171127421100001811274200010019109547000001201113520000012114625201201022118254110000231404540001002411825400000025159455112110261459660001002712376711010028123767010100291496750100003014247811010031142479010000321347911101003313439200000134131094000100351814103002110361534103000000371430103110000381439111110100391946114113110402216114114110411834114114111421416117000001432052139110100442087140002111452264154002111462201158114011472992159115111481695162010000491792167110100501690173000001511827174000001522604175112110531720199010000541720209000000552159209014100561852210010000572104213110100581852220000001591852222000000602210222110000612266223010000622027223110000631852227000100641852232000001651995235000001662616245113110672324253110100681852257010001692054260000000702617284113110711948287110000721720290010001732604308112110741852309110101751942319000100762027325110000771942326110100781720329110100792048337000000802334346112111811720355000001821942357110000832117380110001842742387112111852740403112111861942406110100872266437010000882436453010000892067458010000902000464112110附录2 X=ones(90,1),x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7; b,bint,r,rint,stats=regress(z,X)b = 1.0e+003 * 1.1276 0.0027 0.0409 -0.0135 0.1604 0.0313 0.0769 -0.0012bint = 1.0e+003 * 1.0174 1.2378 0.0023 0.0031 -0.1021 0.1839 -0.1638 0.1369 0.0772 0.2436 -0.0855 0.1482 -0.1673 0.3211 -0.1276 0.1252r = -148.4880 -177.7981 -206.9315 43.7180 -168.7111 -150.8492 -181.2037 -136.5136 54.0536 8.9708 -243.4510 -38.5568 -126.0878 -147.6108 -113.8748 -40.6539 -141.3076 -145.2212 -158.1390 -153.6229 -190.0831 -118.6688 99.4176 -91.2360 -138.4370 122.0564 -130.0731 -89.1559 179.6164 27.2625 96.8293 -84.7955 -31.4935 -102.4530 -20.4490 128.6224 -2.8103 -46.7308 -105.9508 3.6446 -377.1357 -25.9127 490.7597 153.9903 293.2356 -97.4471 499.1052 143.9977 155.2503 97.0684 231.3717 547.9511 69.2174 28.7652 -191.7151 171.5529 343.1991 132.3204 125.7073 456.2745 550.4950 270.5777 80.8771 99.9592 234.8689 210.7729 455.3284 46.0245 225.2301 106.5990 18.9847 -174.9687 189.2812 -166.4709 -77.2254 -4.4924 -123.5355 -353.6258 11.5791 -181.9763 -363.7430 -175.7889 -61.5949 115.4563 70.3080 -339.2768 -26.6130 100.2388 -282.2451 -835.4143rint = 1.0e+003 * -0.5946 0.2977 -0.6198 0.2642 -0.6486 0.2347 -0.4002 0.4876 -0.5953 0.2579 -0.5973 0.2956 -0.6222 0.2598 -0.5835 0.3105 -0.3904 0.4985 -0.4327 0.4506 -0.6577 0.1707 -0.4820 0.4048 -0.5734 0.3213 -0.5916 0.2964 -0.5615 0.3337 -0.4860 0.4047 -0.5854 0.3028 -0.5878 0.2974 -0.6006 0.2843 -0.5964 0.2891 -0.6069 0.2267 -0.5637 0.3263 -0.3441 0.5430 -0.5393 0.3568 -0.5761 0.2993 -0.32