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数列教材分析及教学建议 大境中学 潘文俊一、源于生活数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用。如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等。特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用。例如在我国已颁布的供各种生产部门设计产品尺寸用的国家标准，就是按等比数列对产品尺寸进行分级的。二、地位作用数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列的极限作了铺垫。最后，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。三、教材编写特点数列从知识上看较为简单易学，这样可借助于其知识联系面广的特点对初中所学内容起到复习和深化的作用；（如：解方程、一次函数、二次函数、等比性质等）数列本身是一种特殊函数，让它紧接在第二章“函数”之后，有助于加深对函数概念的理解。四、具体特点(一)在启发学生思维上下功夫本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，因而在编写教材时注意充分利用这一点，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高。在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子。它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义。在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用。例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：1+2+3+.+100=?并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路。在例、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分。如P113页的例二在原来教材中本是一道证明题，而现教材将它改为：“已知数列的通项公式为an=pn十q，其中p、q是常数，且p0，那么这种数列是否一定是等差数列?如果是，其首项与公差是什么?”又如，将一个证明题改用了疑问形式表述:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性。增加了像“小结与复习”里例2那样的先猜想结论，然后证明结论的例题，以培养学生综合运用猜想证明等手段的能力。在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路。如对于上面提到的例题，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定an是不是等差数列，只要看是不是一个与n无关的常数就行了”。话虽不多，但突出了“从定义出发”这种最基本的证明方法。（二）注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘。上面几次提到教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决（在后面会有详细说明）；方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列。这类问题一般都要通过列出方程或方程组。然后求解；关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现，而且它已成为理解数学归纳法原理的必要观念；观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了较好地展示。（比如：给一个数列的有限项，让我们写出一个通项公式，这样的问题更具开放性的特点，更利于培养学生的探究意识，是一种真正意义上的数学学习，再此，教师应有意识的让学生感受这种学习方式的价值）五、教学建议1、数列概念的理解关于数列的概念，除了描述性定义，我们还应给出一个在映射、函数观点下的定义，即：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”。这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列。关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式， 可明确指出它就是相应函数的解析式。点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚了。建议：对于数列的定义，最好通过改造基本的函数如：正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数等基本函数得到与之对应的数列，在画出图像后，从定义域、解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性等几个角度对它们进行认识，从而初步体会“数列是特殊的函数”这一重要特性，进而也回顾了“函数”的相关知识，使得学生的知识体系得以自然的延伸。例1、 将以下函数改造为数列：例2、 （常数列）、（正偶数列）、（等差数列）、（单调性的应用在今后会常遇到）、（等差数列的和）、。（有周期的数列）有意识的利用数列的函数性质来解决相关问题。例3、 在数列中，其中均为正常数，则与的大小关系为_.（利用函数图像的变换确定单调性）例4、 若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可选遍前8项值的数列为（ ）（利用函数的周期性）A、 B、 C、 D、例5、 数列满足，则（只需证明周期为6）例6、 已知且。试确定m的取值范围使得对于一切大于1的自然数n，不等式恒成立。（单调性）例7、（01年上海理科22题）对任意可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：输入数据，经数列发生器输出 若则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去。现定义, 函数值即为数列的项a) 若输入则由数列发生器产生数列，请写出数列的所有项；（函数的代入求值）b) 若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；（解方程）c) 若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数n,均有，求的取值范围。（单调性）2、通项公式、递推公式正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展。递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，今后的数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”。在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的（斐波纳契数列），而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式。建议：对于数列的通项公式，建议执行以下标准：1、给出一个数列的有限项，能写出它的一个通项公式，并意识到数列的通项公式并不唯一（可能因为给出的项是有限的，从而导致通项不确定；也有可能即使已经知道某个数列有无穷多项而其通项公式也有可能是不唯一的）。1、 牢记以下几个常见数列：、2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）、（2）、（3）、-2，6，-12，20；（4）、5，55，555，5555。3、设是集合中所有的数从小到大排列成的数列，即将数列各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下三角形数表： 35 6 9 10 12_ _ _ _ _ _ _ _ (1)、写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；(2)、求.。4、（04. 上海春季高考）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第个图中有_个点.。 （1） （2） （3） （4） （5）2、利用求通项时学生最易忽视的情况，即：分类意识；另外，分成与两种情况求解后，学生也极易忽视求并集的意识，教师务必要让学生意识到分类的必然性即：中的是至少为1的整数，故必有和两种情况。注意：。1、 设数列的前n项和为（），则数列的通项公式为_;2、 设数列的前n项和为（），则数列的通项公式为_;3、关于递推关系式，应使学生明白当数列没有解析式时，有时也可以利用递推关系式来描述，而另一方面也应清楚;有时利用递推关系式是能够推导数列的通项公式的。（这一点在推导等差、等比数列时应再次强调，其实我们还会遇到一些将一般数列转化成等差、等比数列的情形，届时应再让学生进一步体会递推关系式的“发生器”作用），但是，这项内容也是极易膨胀的，考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了。至于从数列的递推关系式推导通项公式，应视学生接受能力而定，建议在章节复习时再让学生会利用一些简单的递推关系式求通项（尽可能不要涉及三项的情况）。或干脆等到高考复习时再加以拓展。一点感想：新知识的教学一定要戒急戒躁，不要急于一步到位，而应力求把应知应会的基本知识、基本方法、基本技能落到实处，再此提两个建议：一、 要下功夫把课本上的例、习题、复习题一道一道地让学生会做、做对；二、 尽可能在教学中利用变式题突破重、难点。例如：关于数列9，99，999，99991，11，111，11115，55，555，55550.9，0.99，0.999，0.99990.1，0.11，0.111，0.11110.5，0.55，0.555，0.55550.1，0.01，0.001，0.00010.9，0.09，0.009，0.00091、已知数列，写出该数列的前5项及它的一个通项公式。（感受由递推产生数列的过程）2、已知数列满足，写出该数列的前5项及它的一个通公式。（通过递推得到有限项，再由有限猜一个通项公式）3、已知数列满足（），求数列的通项公式。（迭加，为等差数列作准备）4、已知数列满足，求数列的通项公式。（进一步利用迭加法求通项）3、等差数列在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：例如从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)。在推导等差数列前n项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便。1、 判断一个数列是等差数列的直接依据就是定义。务必强调等差数列定义中“从第二项起”这一条件。 例1：数列中，数列是等差数列吗？例2、证明：在数列，判断该数列是否为等差数列？例3、“成等差数列”是“” 成立的_条件。（注意真数的要求）例4、命题甲：成等差数列，命题乙：，成等差数列。则命题乙是命题甲的_条件。（注意m取零的情况）2、()是等差数列，其中，。等差数列是一次函数，应该从函数的角度来理解等数列的性质并解决问题。如：d0时数列递减。例1：首项为-24的等差数列从第十项开始为非负数，则公差d的取值范围是_.例2：等差数列的公差是_;首项是_.3、关于等差数列前n项和公式的求法，在讲解书上的倒序相加的方法后，应该再一次利用m+n=p+q则的重要性质进行“配对”，即：找出的个数。（实际上它就是该等差数列的等差中项），具体做法是，先根据奇数项还是偶数项分成两种情况，当n=2k+1时，最中间的是等差中项，即：，另外还有k对，即2k个，此时（n个等差中项）；当n=2k时，假设存在一个对称中心，此项为等差中项，此时共有k对，即，综上可知，等差数列的前n项和等于n个等差中项的和。这一结论有助于我们采取整体法解题。例1、已知一个等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n项和为286，则项数n为_.例2、如果是等差数列的前n项和，若_.例3、已知等差数列满足，则有（ ）A、 B、 C、 D、例4、若为项数为2n-1的等差数列，则奇数项的和与偶数项的和之比=_,=_.若项数为2n呢？（=n）例7、 等差数列和的前n项和分别为，若，则_,_.4、等差数列是常数项为零的二次函数。其中，当时，图像开口向下有最大值，反之有最小值。例1、已知等差数列的前n项和，则的首项是_,公差是_.例2、等差数列中，已知则例3、等差数列中，该数列的前多少项的和最小？例4、设数列的前n项和 ，求数列的前n项和。例5、(2004年重庆卷）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ B ） A4005 B4006 C4007 D40085、等差数列的相关性质非常重要应该做一个系统的归纳，不但要让学生知道记住，还应尽可能让学生会自己独立推导证明这些结论。过程更重于结论。例题在等差、等比数列的类比中给出。4、等比数列在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系。这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握。等比数列的学习应有意识的与等差数列进行类比，这样可能会有事半功倍的效果。建议：1、 等比数列的定义中隐含着则行两个事实：任一项不能为零；公比不为零。2、 常数列是等差数列，但不一定为等比数列，如：零常数列。3、 必须强调从第二项起后一项与前一项的比为同一常数。4、 等比中项应有两个，如：2与4的等比中项是。5、 等比数列前n项和公式中应让学生深刻体会分类的必然性与必要性。例1、如果是等比数列的前n项和，例2、化简：例3、设数列的前n项和是，且 ，问数列 是否为等比数列，并说明理由。6、 对等比数列的另类理解： 等比性质：等比数列实际上是此性质的发展，因而由此可以推导。例1、设成等比数列，其公比为2，则7、 等比数列与等差数列的类比学习：差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项。具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等。因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列。等比数列实际上在运算上是等差数列的升级版减（差）加（和）乘（积）除（商）除（商）乘（积）乘方开方升级例1、如果是等差数列的前n项和，若例2、若等比数列的前n项和是，_.注意它们在运算方法上的对比。等比数列中似乎应该有一种前n项和与等差数列中的前n项和对应，这是一个很值得探究的问题，即：等差数列的，那么一个由正数组成的等比数列an的前n项积=_.在这根据等差与等比数列的类比学习自然可以联想到“等和数列与等积数列的问题”（2004年北京14题）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列an是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为 ，这个数列的前n项和Sn的计算公式为 。分析：等和数列实际上是一个摆动数列或常数列，在此即：2、3、2、3、2、3、故，而求需分类讨论。，知识体系对比表：知识体系等差数列等比数列定义如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列叫等差数列,d叫公差。如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数q，那么这个数列叫等比数列,q叫公比。）递推关系式 通项公式 （） ()广义通项公式 （） ()等差（比）中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a 与b的等差中项。如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a 与b的等比中项。关于角码和相等的重要性质等差数列中，若且m+n=p+q，则等比数列中，若且m+n=p+q，则aman=apaq.构造新等差（ 比 ）数列的方法1、把原数列倒序得到的新数列： ,是等差数列；2、an是等差数列，取下标为等差数列且公差为k的项（kN*），并按原来顺序排列得到的新数列是等差数列。1、把原数列倒序得到的新数列： ,是等比数列；2、an是等比数列，取下标为等差数列且公差为k的项（kN*），并按原来顺序排列得到的新数列 是等比数列。3、数列为等差数列，是常数，则数列、为等差数列。3、数列为等比数列，m、是常数，则数列、为等比数列。注意： 1、m不为02、当为既约分数，且为偶数时，不能为负数。知识体系对比表：方法体系等差数列等比数列类比一为等差数列，求.为等比数列，求.类比二等差数列共有50项，其前4项和为21，末4项和为67，求前50项和.等比数列共有50项，其前3项积为10，末3项积为100，求前50项积.类比三等差数列的公差为-2,如果，那么，在正数组成