江苏2018版高考数学复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示法教师用书文苏教版.docx

6.1 数列的概念与简单表示法1.数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1 an其中nN*递减数列an1 an常数列an1an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.【知识拓展】1.若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an2.在数列an中，若an最大，则若an最小，则3.数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达.()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(3)1,1,1,1，不能构成一个数列.()(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(5)如果数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有an1Sn1Sn.()1.(教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是 .(填序号)数列a，a，a，是无穷数列；数列0，1，2，3，不一定是递减数列；数列f(n)可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集1,2，n的函数值；已知数列an，则数列an1an也是一个数列.答案解析题中显然正确；对于，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；对于，数列可以看作是一个定义域为正整数N*或它的有限子集1,2，n的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以不正确.2.(教材改编)数列1,2，中的第26项为 .答案2解析a11，a22，a3，a4，a5，an，a262.3.(教材改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5 .答案解析a212，a311，a413，a51.4.(教材改编)已知数列an中，a1，an11(n2)，则a16 .答案解析由题意知a211，a312，a41，此数列是以3为周期的周期数列，a16a351a1.5.已知数列an的前n项和Snn21，则an .答案解析当n1时，a1S12，当n2时，anSnSn1n21(n1)212n1，故an题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)(2016南京模拟)数列1,3,6,10，的通项公式是 .(2)数列an的前4项是，1，则这个数列的通项公式是an .答案(1)an(2)解析(1)观察数列1,3,6,10，可以发现11，312，6123，101234，第n项为1234n.an.(2)数列an的前4项可变形为，故an.思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)，.解(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5).(2)数列变为，故an.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3.因此把第1项变为，原数列化为，故an(1)n.题型二由an与Sn的关系求通项公式例2(1)(2016南通模拟)若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式an .答案(2)n1解析由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又当n1时，S1a1a1，a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.(2)已知下列数列an的前n项和Sn，求an的通项公式.Sn2n23n；Sn3nb.解a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.a1S13b，当n2时，anSnSn1(3nb)(3n1b)23n1.当b1时，a1适合此等式；当b1时，a1不适合此等式.当b1时，an23n1；当b1时，an思维升华已知Sn，求an的步骤(1)当n1时，a1S1；(2)当n2时，anSnSn1；(3)对n1时的情况进行检验，若适合n2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.(1)已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式为 .(2)已知数列an的前n项和Snn29n，则其通项an ；若它的第k项满足5ak8，则k .答案(1)an(2)2n108解析(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn12n1，an(2)anan又8也适合an2n10，an2n10，nN*.由52k108，7.5k0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成立.因为an，所以，由于nN*，不难发现当n9或n10时，an最大.思维升华(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列.用作商比较法，根据(an0或an0)与1的大小关系进行判断.结合相应函数的图象直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.(1)(2016哈尔滨模拟)若数列an满足an1a1，则数列的第2 015项为 .(2)设an3n215n18，则数列an中的最大项的值是 .答案(1)(2)0解析(1)由已知可得，a221，a32，a42，a521，an为周期数列且T4，a2 015a50343a3.(2)an32，由二次函数性质，得当n2或3时，an最大，最大值为0.12.解决数列问题的函数思想典例(1)数列an的通项公式是an(n1)()n，则此数列的最大项是第 项.(2)若ann2kn4且对于nN*，都有an1an成立，则实数k的取值范围是 .思想方法指导(1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析.解析(1)an1an(n2)()n1(n1)()n()n，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，所以(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN*，所以k3.答案(1)9或10(2)(3，)1.数列，的第10项是 .答案解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列an的通项公式an(1)n1，故a10.2.(2016苏州模拟)已知函数yf(x)的定义域为R.当x1，且对任意的实数x，yR，等式f(x)f(y)f(xy)恒成立.若数列an满足a1f(0)，且f(an1) (nN*)，则a2 015的值为 .答案4 029解析根据题意，不妨设f(x)()x，则a1f(0)1，f(an1)，an1an2，数列an是以1为首项，2为公差的等差数列，an2n1，a2 0154 029.3.(2016无锡月考)已知数列an满足a11，an1则其前6项之和为 .答案33解析a22a12，a3a213，a42a36，a5a417，a62a514，所以前6项和S6123671433.4.若数列an满足a12，a23，an(n3且nN*)，则a2 018 .答案3解析由已知a3，a4，a5，a6，a72，a83，数列an具有周期性，T6，a2 018a33662a23.5.数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，则S21 .答案解析anan1，a22，anS2111102.6.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n21，则a3 .答案10解析a3S3S22321(2221)10.7.数列an中，已知a11，a22，an1anan2(nN*)，则a7 .答案1解析由已知an1anan2，a11，a22，能够计算出a31，a41，a52，a61，a71.8.已知数列an的前n项和为Sn，Sn2ann，则an .答案2n1解析当n1时，S1a12a11，得a11，当n2时，anSnSn12ann2an1(n1)，即an2an11，an12(an11)，数列an1是首项为a112，公比为2的等比数列，an122n12n，an2n1.9.(2016无锡期末)对于数列an，定义数列bn满足bnan1an(nN*)，且bn1bn1(nN*)，a31，a41，则a1 .答案8解析因为b3a4a3112，所以b2a3a2b313，所以b1a2a1b214，三式相加可得a4a19，所以a1a498.10.在一个数列中，如果nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，则a1a2a3a12 .答案28解析依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3a124(a1a2a3)4(124)28.11.已知数列an的前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性.解(1)a12，anSnSn12n1(n2).bn(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn0，cn是递减数列.12.已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Snaan(nN*).(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式.解(1)由Snaan (nN*)可得a1aa1，解得a11，S2a1a2aa2，解得a22，同理，a33，a44.(2)Sna，当n2时，Sn1a，得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an为首项为1，公差为1的等差数列，故