高中数学第1讲坐标系1平面直角坐标系学案新人教A版.docx

一平面直角坐标系1回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用2了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换(重点、难点)3能够建立适当的直角坐标系解决数学问题基础初探教材整理1平面直角坐标系阅读教材P2P4“探究”及以上部分，完成下列问题1平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合2坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系3坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论点P(1,2)关于点A(1，2)的对称点坐标为()A(3,6)B(3，6)C(2，4)D(2,4)【解析】设对称点的坐标为(x，y)，则x12，且y24，x3，且y6.【答案】B教材整理2平面直角坐标系中的伸缩变换阅读教材P4P8“习题”以上部分，完成下列问题设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换1将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()A椭圆B比原来大的圆C比原来小的圆D双曲线【解析】由伸缩变换的意义可得【答案】D2ycos x经过伸缩变换后，曲线方程变为()Ay3cosBy3cos 2xCycosDycos2x【解析】由，得，又ycos x，ycos，即y3cos.【答案】A质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型运用坐标法解决平面几何问题已知ABCD，求证：|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2). 【导学号：91060000】【思路探究】从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论【自主解答】法一(坐标法)以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则AC的中点E，由对称性知D(ba，c)，所以|AB|2a2，|AD|2(ba)2c2，|AC|2b2c2，|BD|2(b2a)2c2，|AC|2|BD|24a22b22c24ab2(2a2b2c22ab)，|AB|2|AD|22a2b2c22ab，|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2)法二(向量法)在ABCD中，两边平方得2|2222，同理得2|2222，以上两式相加，得|2|22(|2|2)2()2(|2|2)，即|AC|2|BD|22(|AB|2|AD|2)1本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和法一是运用代数方法，即用解析法实现几何结论的证明这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感2建立平面直角坐标系的方法步骤：(1)建系建立平面直角坐标系建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；(2)设点选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；(3)运算通过运算，得到所需要的结果再练一题1已知ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|CD|.求证：|AB|2|AC|22(|AD|2|BD|2)【证明】法一以A(O)为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.则A(0,0)，设B(a,0)，C(b，c)，则D，所以|AD|2|BD|2(a2b2c2)，|AB|2|AC|2a2b2c22(|AD|2|BD|2)法二延长AD到E，使DEAD，连接BE，CE，则四边形ABEC为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2|BC|22(|AB|2|AC|2)，即(2|AD|)2(2|BD|)22(|AB|2|AC|2)，所以|AB|2|AC|22(|AD|2|BD|2)用坐标法解决实际问题由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航某日，甲舰在乙舰正东6 km处，丙舰在乙舰北偏西30，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，C(5,2)|PB|PC|，点P在线段BC的垂直平分线上kBC，线段BC的中点D(4，)，直线PD的方程为y(x4)又|PB|PA|4，点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为1(x2)联立，解得P点坐标为(8,5)，kPA.因此甲舰行进的方位角为北偏东30.1由于A，B，C的相对位置一定，因此解决问题的关键是如何建系2运用坐标法解决实际问题的步骤：建系设点列关系式(或方程)求解数学结果回答实际问题再练一题2有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍，已知A、B两地距离为10千米，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是包括运费和价格的总费用最低，求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？ 【解】如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，设P点的坐标为(x，y)，P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/千米)当由P地到A、B两地购物费用相等时，有“价格A地运费价格B地运费”，3aa，化简整理，得y2.(1)当P点在以为圆心，为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等(2)当P点在上述圆内时，y2，9(x5)29y2(x5)2y28y20，30，0，1，1，xy0，即P(0,0)为所求【答案】(0,0)三、解答题9在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形(1)x2y21；(2)1.【解】由伸缩变换得(1)将代入x2y21得9x24y21，因此，经过伸缩变换后，双曲线x2y21变成双曲线9x24y21，如图甲所示(2)将代入1得x21，因此，经过伸缩变换后，椭圆1变成椭圆x21，如图乙所示10台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处求城市B处于危险区内的时间【解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40,0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x40)2y2302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区台风中心移动的轨迹为直线yx，与圆B相交于点M，N，点B到直线yx的距离d20.求得|MN|220(km)，故1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.能力提升1在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换后曲线C变为曲线2x28y20，则曲线C的方程为()A25x236y20B9x2100y20C10x24y0 D.x2y20【解析】将代入2x28y20，得：2(5x)28(3y)20，即：25x236y20.【答案】A2如图111，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点若点P(x，y)、点P(x，y)满足xx且yy，则称P优于P.如果中的点Q满足：不存在中的其他点优于点Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧()图111A. B. C. D. 【解析】如图，过任一点P作与坐标轴平行的直线，则两直线将平面分为，四部分，由题意，(包含边界)区域内的点优于P，在圆周上取点，易知只有P在上时，(含边界)内才不含内的点，故点Q的集合为.【答案】D3已知A(2，1)，B(1,1)，O为坐标原点，动点M满足mn，其中m，nR，且2m2n22，则M的轨迹方程为_【解析】设M(x，y)，则(x，y)m(2，1)n(1,1)(2mn，nm)，又2m2n22，消去m，n得y21.【答案】y214.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图112，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)，观测点A(4,0)，B(6,0)同时跟踪航天器图112(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测