高考复习建议——数列的复习.doc

数列高考备考复习实验中学 龚建兵一、 新课标高考大纲要求2007年高考大纲对数列这一章的考试内容及考试要求为：1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）；2、了解数列是自变量为正整数的一类函数；3、理解等差数列、等比数列的概念；4、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；5、能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；6、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。这与前几年高考数学考试说明对这部分内容的要求有所不同。旧大纲与课标大纲区别为：（1）对于数列的的概念，旧大纲要求是理解，课标大纲要求是了解，降低了要求。同时课标明确提出要通过实例来了解数列的概念。（2）旧大纲对数列通项公式的要求单独提出来，突出了通项公式，而课标大纲把数列的通项公式归为几种简单表示方法中的其中一种，与列表表示、图象表示放在同等的地位。（3）课标大纲要求了解数列是一 特殊的函数，旨在说明很多数列问题可以用函数的思想方法解决。（4）课标大纲在等差、等比数知识的应用方面，更加强调创设具体的问题情境，要求学生自己去发现等差、等比关系。在知识的应用方面，旧大纲要求能用等差数的知识解决简单的实际问题，而课标大纲则要求解决相应的问题，在知识的应用方面，课标除了加强外，应用问题的难度并没有作出具体明确的限制。（5）课标大纲对等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系明确提出来，要学生去体会它们的关系。二、数学高考中数列试题特点分析近年来全国高考及各省（市）数列试题，有几下鲜明特点：1、数列在试卷中占的比重约为10%左右，其中主观题几乎年年都有，并且经常放在倒数第二题或压轴题的位置；2、考查的重点是数列的概念、数列的通项公式、数列求和及其应用；数学思想方法上考查了函数与方程的思想、化归与转化的思想、分类讨论的思想、递推思想、不完全归纳法、待定系数法等；数学能力上考查的重点是运算能力、理解思维能力，进而考查学生的个性品质；3、从题型特点上看有以下两个特点：（1）客观题，以选择题和填空题为主。主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活”的特点，属中档题。（2）主观题，以数列为引线，与函数、方程、不等式、几何、导数、向量等知识编织综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质和学习潜力，属中等以上难度的题，有时甚至是压轴题。三、 高考命题展望1、高考对数列基本知识的考查侧重以下几个方面：（1）等差、等比数列的定义、性质与通项公式是考查的重点，这方面的考题多以选择题、填空题的形式出现，一般是中、低档难度题，但解题方法灵活多样，技巧性较强些。（2）数列的运算，即用有关公式和性质求解一些基本量的问题，特别是与的关系问题（易漏掉n=1时的情况）历来是考查的热点。(3)综合题型在数列中考查比较多，这类题多是数列与函数、数列与不等式、数列与解析几何等知识的交汇点，此类题难度大，综合性强，需要运用的数学思想方法较多。（4）应用题型在数列中近两年在高考中未出现，今年值得关注。以关注生活热点、贴近生活，抓住学生身边的重要素材，比如个人储蓄与养老保险问题、分期付款问题、住房改革与医疗改革问题、国土资源与人口发展问题等等，借助数列知识将实际问题抽象为数学问题。（5）探索性型在数列中考查比较多。解决探索性问题应具备较高的数学思维能力，这正是以能力立意的命题原则的生动体现，在今后的命题趋势中探索性题型仍将是一个热点。2、高考对数列基本思想方法的考查侧重以下几个方面：（1）分类讨论思想：如等比数列求和，分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和求通项，分n=1和两种情形等。(2)函数思想：将数列视为定义域为正整数集或其子集的函数。（3）数形结合的思想：如等差数列的通项公式和前n项和，可视为直线和抛物线方程。（4）转化思想：如将非等差数列、非等比数列转化为等差、等比数列。3、常见题型（1）客观题常见题型有：知三求二；灵活运用性质；数表等创新内容。（2）主观题常见题型有：基本量的计算问题；与函数、方程、不等式综合的问题；探索类问题（数学归纳法）；推理与证明；应用数列解决实际问题；与其它知识（如解析几何、概率、导数、向量、矩阵等）整合问题。四、 高考复习建议要复习掌握好数列这一板块，必须了解数列试题的能力考查特点，才能使复习抓好基础、对准重点、训练到位，就数列这一章的第一轮复习，提出如下建议：1、研究考纲，研究考题，关注新课程教材，把握复习方向：数列的复习重点是等差数列、等比数列的概念和性质，通项公式、前项和公式的应用；2、注重双基，降低难度，强化解题通性通法的复习与训练；3、注重数学课本中有关数列的阅读与思考和探究与发现学习材料；4、在后继章节的复习中关注与数列内容有关的综合应用问题.，注重数列综合题的训练，提高等价转化的能力及思维的灵活性，深刻领会函数思想和方程的思想，因为这是解决数列问题的关键；推理与证明高考备考复习建议推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法。本章的课标目标是，结合已学过的生活实例和数学实例，让学生了解合情推理和演绎推理的含义，以及它们之间的联系与差异，并利用合情推理去猜测和发现一些新的结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向，利用演绎推理去进行一些简单的推理，证明一些数学结论。一、考纲要求：（1） 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.（2） 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（4）了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.（5） 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.（6）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.二、高考命题展望推理证明是新课标中的新增章节，但在以往的高考中还是常常出现，主要考察方式有：（1）给定命题的证明问题高考试题中的推理证明一般不单独设题，而是将其综合在诸如立体几何、解析几何、函数、不等式等内容中考察，既有计算又有证明，因此对常常用字的证明方法一定要掌握，分类归纳数学思维方法，提高数学能力。给定命题的证明问题考过的证明方法有：综合法、分析法（或综合分析法）、数学归纳法（数学归纳法虽然是历年高考常考问题之一，但单独考查数学归纳法的情况少见，经常出现在与自然数有关的等式或不等式中，综合性强，分值大）、反证法（06年广东数学第20题）（2）类比型问题常见的是二维问题与三维问题的类比（2004广东卷15题）、同结构问题的类比（比如圆锥曲线内的类比、数列内的类比问题（2000年上海12题）等），较少对照不同结构的类比问题。（3）归纳、猜想、证明问题归纳、猜想、证明类型题目往属高考考查比较多，也是高考比较成熟的题目，如2006年全国卷II第22题。因此在复习备考中要把握考试的特点，注重落实。附一：典例剖析：（一）等差、等比：等差、等比数列一般从定义、通项公式、前项和公式、性质四方面研究。【例1】已知定义在上的函数和数列满足下列条件：，其中为常数， 为非零常数。（I）令，证明是等比数列（II）求数列的通项公式【评析】本题主要考查等比数列的定义和等比的求和公式，尤其要注意公比是否为1。【例2】设无穷等差数列的前项和为。（I）若首项公差，求满足的正整数（II）求所有的无穷等差数列，使得对一切正整数都有【评析】本题主要考查等差的求和公式，其中第2问属探索性问题，考查学生分析问题解决问题能力。（二）数列的递推【例3】已知数列前项和满足；求数列的通项公式【评析】是很常规的一阶线性递推，但增加了后就变的不寻常了，所以我们需要在常规的周围寻找一些不寻常。（三）数列求和数列求和的常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法、若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论。 【例4】已知数列的首项，前项和为，且，令，求函数在点的导数【评析】本题把错位相减法和求导联系，给人耳目一新的感觉。（四）数学归纳法【例5】（I）设函数，求的最小值（II）设正数满足，证明【评析】本题的难点是构造，从而把时需要证明的式子分两段解决。（五）数列应用题【例6】自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。用表示某鱼群在第年年初的总量，且。不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数；（I）求与的关系式（II）猜测当且仅当满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（III）设，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？证明你的结论。【评析】本题以捕鱼问题为背景考查了函数、数列的递推关系、不等式、数学归纳法以及一般与特殊的关系，考查了学生综合运用知识的能力。（六）数列与其他知识的交汇1与函数交汇【例7】已知数列满足，我们知道当取不同值时，得到不同的数列。如当时，得到无穷数列：当时，得到有穷数列：设数列满足，求证取数列中任一个数，都可以得到一个有穷数列【评析】与所对应的函数关系式互为反函数，本题是一个较为隐蔽的数列与反函数交汇的题目。2与不等式交汇【例8】已知函数，数列满足，且；（I）设，证明：（II）设（I）中的数列的前项和为，证明【评析】在数列与其他知识的联系中以不等式最为紧密，而利用不等式的性质进行推算论证具有较大的灵活性，因而不易把握。3与导数、解析几何交汇【例9】设点和抛物线，其中，由以下方法得到：，点在抛物线上，点到的距离是到上的点的最短距离点在抛物线上，点到的距离是到上的点的最短距离，证明是等差数列【评析】本题是数列与求导、解析几何综合的题目，考查学生综合运用知识分析问题解决问题能力，难度较高。4与三角交汇【例10】设函数；（I）证明（II）设为的一个极值点，证明（III）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明：【评析】本题考查应用导数、三角函数、数列等知识分析问题的能力。5与概率交汇【例11】甲乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，由对方接着掷。第一次由甲掷，求第次由甲掷的概率【评析】数列与概率结合是应用题的一种重要形式。6与高等数学的基础知识联系【例12】（2005湖北）已知不等式其中为大于2的整数，表示不超过的最大整数。设数列的各项为正，且满足（I）证明（II）试确定一个正整数，使得当时，对任意都有【评析】本题第三小题有点类似数列极限的“定义”，高考命题者大多为大学教授，故应引起重视。附二：2005年、2006年高考题数列题型及分值1.、2005年全国各地高考数学卷有关数列试题题型及分值情况（以理科为例）选择填空解答总分值考查内容全国I0分0分12+6分18分等比数列通项、前n项和、与函数联系考查数学归纳法、构造法全国II5分0分12分17分等差等比数列的性质、等差等比的通项、等比数列的定义、无穷等比数列求和北京卷0分5分12分17分不完全归纳、与奇偶有关的数列递推、等比的定义、无穷等比数列求和天津卷0分4分12+6分22分与奇偶有关的数列递推、等差求和公式、错位相减法、数列的极限，与导数、三角综合上海卷0分4分14+9分27分与等差有关的数表问题、考查等差求和与等比通项的数列应用题、与向量联系的综合题广东卷5分0分0分5分摆动数列的极限重庆卷0分4分12分16分数列的极限，数学归纳法、数列与不等式综合、放缩法、两边取对数、裂项相消山东卷0分0分12分12分线性递推、错位相减法、数学归纳法（或二项式展开）江苏卷5分0分14分19分等比的性质、待定系数、等差的定义、联系不等式的证明福建卷5分4分14分23分等差的通项、数列的极限、数列的递推、有穷数列、数列与不等式综合辽宁卷5分0分12分17分数列联系函数图象、数列的递推、数学归纳法、无穷等比数列求和江西卷0分0分12分12分二次函数形式递推、迭代湖北卷0分4分14分18分等比求和、等差中项、倒数再迭加、数列极限、类似数列定义湖南卷10分0分14分24分等差等比综合、无穷等比数列求和、周期数列、数列与函数综合的应用题、数学归纳法浙江卷5分0分14分19分等差求和、数列极限、数列与解析几何、导数综合、数学归纳法2、 2006年全国各地高考数学卷有关数列试题题型及分值情况（以理科为例）选择填空解答总分值考查内容全国I5分0分12分17分基本计算、裂项求和、与全国II10分0分12分22分等差数列的基本计算、数学归纳法北京卷5分0分14分19分等比数列求和、天津卷5分0分12分17分等差求和公式上海卷0分0分16分16分等比数列、数列与对数、不等式综合广东卷5分5分14分24分等差、等比求和、求通项、错位相减求和、数列的极限重庆卷5分4分12分21分等差数列求和、递推求通项、数列与函数的综合山东卷0分0分14分14分等比数列与函数、对数综合、数列求和江苏卷0分0分14分14分等差数列联系充要条件综合福建卷5分0分14分19分等差数列基本计算、数列与不等式综合辽宁卷5分0分12分17分数列求和、与导数的基本计算、函数的性质、绝对值不等式的综合江西卷5分0分14分19分等差数列、数列求和、递推求通项、数学归纳法湖北卷5分0分13分18分等差、等比、数列求和、数列与二次函数、不等式的综合湖南卷5分0分14分19分数列极限、数学归纳法、与函数的导数的综合浙江卷0分4分14分18分知三求二问题、与函数的导数、不等式综合附三： 知能训练一、选择题1、有限数列的前项和为，定义为的“凯森和”，如果有99项的数列的数列的“凯森和”为1000，那么有100项的数列的“凯森和”为（ C ）A1001 B999 C991 D9902已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （c ）A.5 B.4 C. 3 D.23、设，则等于 (D)A、B、C、D、4、已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ A ）A100 B. 101 C.200 D.2015、已知数列满足，则=（B ）A0BCD6、若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ B ） A4005 B4006 C4007 D40087、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数图象是（ A ） A B C D8、 令，给定，考察由定义的数列，其中使数列只取有限个不同的数值的实数的值有（ D ）A1个 B2个 C3个 D无数个二、填空题：9、 在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_216_10、已知等差数列中，的值是 15 、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设an是公比为q的无穷等比数列,下列an的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 、 组.(写出所有符合要求的组号) S1与S2; a2与S3; a1与an; q与an.其中n为大于1的整数, Sn为an的前n项和.、当成等差数列时，有；当成等差数列时，有，由此可归纳出当成等差数列时，有，如果成等比数列时，类比上述方法，归纳出的等式为 =1 13、函数f(x)的最小值为 、有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底