全国版高考数学第五章数列5.2等差数列及其前n项和课时提升作业理.docx

等差数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=15,则公差d等于()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.由题意可得,S3=15,解得a2=5,故公差d=a3-a2=6-5=1.2.(2016雅安模拟)若等差数列an的前n项和为Sn且S4=S18,则S22等于()A.0B.12C.-1D.-12【解析】选A.设等差数列的公差为d,由S4=S18得4a1+d=18a1+d,a1=-d,所以S22=22a1+d=22+22d=0.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选A.设Sn=An2+Bn,由题意知,16A+4B=324A+18B,解得B=-22A,所以S22=22(22A+B)=0.【加固训练】在等差数列an中,a9=a12+6,则数列an的前11项和S11=()A.24B.48C.66D.132【解析】选D.因a9=a12+6及等差数列通项公式得,2(a1+8d)=a1+11d+12,整理得a1+5d=12=a6,所以S11=1112=132.3.(2016厦门模拟)已知数列an中,a3=,a7=,且是等差数列,则a5=()A.B.C.D.【解析】选B.设等差数列的公差为d,则=+4d,所以=+4d,解得d=2.所以=+2d=10,解得a5=.4.(2016石家庄模拟)数列an的首项为3,bn为等差数列且bn=an+1-an(nN*).若b3=-2,b10=12,则a8=()A.0B.3C.8D.11【解析】选B.因为bn是等差数列,且b3=-2,b10=12,故公差d=2.于是b1=-6,且bn=2n-8(nN*),即an+1-an=2n-8.所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.5.数列an中相邻两项an与an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根,已知a10=-17,则b51等于()A.5 760B.5 840C.5 920D.6 000【解析】选B.由根与系数的关系可知an+an+1=-3n,anan+1=bn,由an+an+1=-3n,有an+1+an+2=-3(n+1),故an+2-an=-3,故a2n为等差数列,公差为d=-3,又a10=-17,故a2=-5,所以a2k=-5-3(k-1),故a52=-5-3(26-1)=-80,a51=-351-a52=80-153=-73,故b51=a51a52=-73(-80)=5840.6.(2016益阳模拟)设数列an是等差数列,且a4=-4,a9=4,Sn是数列an的前n项和,则()A.S50,a6+a90,即a70;而a6+a9=a7+a80,故a80,若a1+a2+a2015=2015am(mN*),则m=.【解析】因为数列an是等差数列,所以a1+a2+a2015=2015a1+d=2015(a1+1007d),am=a1+(m-1)d,根据题意得,2015(a1+1007d)=2015a1+(m-1)d,解得m=1008.答案:1008(20分钟40分)1.(5分)在等差数列中,已知a3+a8=6,则3a5+a7=()A.6B.12C.18D.24【解析】选B.由等差数列性质知3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6)=2(a3+a8)=12.2.(5分)(2016大同模拟)设等差数列的前n项和为Sn,等差数列的前n项和为Tn,若=,则+=.【解析】+=+=.答案:3.(5分)(2016长沙模拟)已知函数f(x)=cosx(x(0,2)有两个不同的零点x1,x2(x1x2),且方程f(x)=m有两个不同的实根x3,x4(x30和m0,则由余弦函数的图象知x3,x4构成等差数列,可得公差d=-=,则x3=-=-0,显然不可能;若m0,则由余弦函数的图象知,x3,x4,构成等差数列,可得3d=-,解得d=,所以x3=+=,m=cosx3=cos=-.答案:-4.(12分)(2016惠州模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=,an=-2SnSn-1(n2且nN*).(1)求证:数列是等差数列.(2)求Sn和an.【解析】(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以Sn(1+2Sn-1)=Sn-1.由上式知若Sn-10,则Sn0.因为S1=a10,由递推关系知Sn0(nN*),由式得-=2(n2).所以是等差数列,其中首项为=2,公差为2.(2)由(1)可得因为=+2(n-1)=2+2(n-1)=2n,所以Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-,当n=1时,a1=S1=不适合上式,所以an=5.(13分)(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设anan+1=Sn-1,得an+1an+2=Sn+1-1.两式相减得an+1(an+2-an)=an+1.由于an+10,所以an+2-an=.(2)由题设a1=1,a1a2=S1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故an+2-an=4,由此可得:a2n-1是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.因此存在=4,使得数列an为等差数列.【加固训练】(2016安庆模拟)已知数列an的通项公式an=pn2+qn(p,qR,且p,q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列?(2)求证:对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数列.【解析】(1)an+1-an=p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无