新课标下如何培养学生的直觉思维能力.doc

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要】:在数学思维活动中，“直觉”一直扮演着一个特殊的角色。它既不同于逻辑，又不同于经验，是一种介于逻辑与经验之间的，时常带有一定神秘色彩的创造性思维活动。很多数学家都对直觉给予很高的评价。著名数学家克莱因因为经常使用这种方法猜出某些十分困难的答案，因而被称为“伟大的直觉天才”。正因为如此，数学课程标准把直觉思维提到了一个重要目标。但是现行中学数学教材和传统的教学模式，十分注重对学生逻辑思维能力的训练，从学校授课，考试的各个环节来看，忽视直觉能力的培养，忽视创造性思维训练的现象较普遍。德国著名数学家彭加勒早就指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”美国心理学布鲁纳也认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维能力，是应该引起广泛注意的一个重要课题。我把自己在数学教学实际中培养学生直觉思维能力的几点体会写出来与同行交流。 【关键词】:新课标 直觉思维 逻辑 一 、善于联想 ，促进迁移。 联想是由此及彼的思考方法。联想要以一定的数学知识，技能和解题经验为基础。对某些数学问题，若能联想一些形式相同的，思考方法相似的，结构类似的熟悉问题或常规问题，通过迁移将会悟出解决问题的思路。联想是直觉思维的一种常用思考方法。联想出新意，直觉要联想。例1.求函数f()=最大值和最小值。 分析：联想到求函数值域的方法之一：反函数法，考虑到三角函数的有界性，可从f()=中反解出sin利用|sin|1即可求得y=f()的范围。 由已知函数变形f()=，观察其式子的结构特点，分子分母为差的比值，联想到过两点()，(，)的直线的斜率公式k=与f()的形式相同，把f()=可看作过点A(2，1)与圆 =1 上的点的连线的斜率，设过点A的直线方程为y-1=k(x-2)， 利用点到直线的距离公式可求得K=0，K=。因此f()的最大值为，最小值为0。 二、注重类比，启迪直觉。类比是一种格式化了的推理形式，是联想的一种特殊形式和常用的推理方法。通过类比，将调动大脑中贮存的知识信息，出现顿悟，进而知识组快，启迪思维。顿悟的出现是解决问题的关键，顿悟是直觉思维的一种表现形态。 例2.证明正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值分析：我们可以类比正三角形内任意一点到三边的距离之和为正三角形的高的证明方法。在正三角形内分割为三个小三角形利用面积公式来证，可以类比在正四面体内分割为三个小三棱锥利用体积公式来证，其定值为正四面体的高。证明方法由类比容易得之。 三、数形结合，诱发直感。 数学研究的对象是数与形，两者往往有紧密的联系。数学家华罗庚教授说：“数离形时少直观，形离数时难入微”(1)。因此，对数学问题的直观理解是头等重要的。引导学生通过深入的观察，联想，由形思数，由数想形，利用图形直观诱发直觉，对培养直觉思维的敏捷性和提高准确性大有益处。布鲁纳曾指出：“在我们向学生揭示演绎和证明这种更传统和更正式的方法以前，使其对材料有直觉的理解可能是头等重要的。” 例3.(同例1)数形结合，设P(cos，sin )，Q(2，1)。问题转化为：P在单位圆上，Q为定点，所求最大值，最小值分别为过定点Q的圆的切线的斜率。这种方法体现了运动与静止的哲学思想及数形结合的数学思想，从数学思想与哲学的角度观察问题，分析问题，有助于提高学生的思维素质。数形联想，数形结合，凭直观就看到了解题的思路。四、归纳概括，合理猜想。 创造心理学表明：猜想的来源是直觉，离开了直觉就不可能提出猜想。创造条件让学生猜想是培养学生猜想是培养学生直觉思维的一个重要途径。学生在猜想过程中，必须动用所有的有关知识和经验，必须抓住事物的本质特征和内在联系，必须从整体方面加以思考和探索。在数学教学中，教师应抓住例习题的功能有意识在编制一些问题让学生去猜想。 例4.比较与 的大小。分析:这两个算式不可能手算，甚至一般的电子计算机在计算时也会溢出。先归纳，取n=1，2，3，4，5， 分别计算 与发现当n=3，4，5 时，有，由此猜想：。 至此，学生已发现数学结论，教师趁热打铁告诉学生，猜测发现要成为坚信无疑的真理，还必须经过证明。于是学生趣味盎然在投入到用数学归纳法或二项式定理的证明之中。五、追求美感，启发直觉。数学美的直觉虽然不是一种严格的逻辑思维活动，但是数学美却有确定的内容。数学美主要表现在它的对称性，和谐性，简单性，同一性，奇异性等方面。如果我们在数学教学中，注重追求数学本身所具有的这些美学特性，往往可在对美感的追求中产生数学直觉。“美的意识力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉也就越强”(2)。例如，解析几何椭圆标准方程的推导。我们来看课本里推导椭圆标准方程，首+=2a。(1)，按理说，方程(1)就作为椭圆的方程，但因它不符合数学美的简单性要求，因此必须化简。方程(1)化简为+=(2)，用 同除上式的各项(不难看出，ac0，从而 )，得。(3)，方程(3)比方程(1)简单多了，但是，它还不符合数学美的要求。我们知道，椭圆具有对称性，那么相应的方程惠顾应也具有某种对称性。可是，眼下的情况并非如此，所以我们还要再改进，对方程(3)进一步加工，要设法使 与 分母取得相同的形式。为此，令，于是得到，这就是椭圆的标准方程。我们发现：a 正好是椭圆长半轴的长；b正好是椭圆短半轴的长。这就很清楚的表明一个事实：根据数学美的要求用补美法引进的“b”有着鲜明的几何意义，而且果真符合“对称性”的要求，体现了美与真之间的统一性。正如著名数学家鲁滨逊所说的：“纯粹数学的世界在很大程度上是有我们的关于数学美及纯粹数学的重要性的含糊的直觉来调整的。”数学中处处都有美的因素，教师应当留意挖掘，提高学生的审美能力，促进从审美角度出发的数学直觉思维能力的发展。总之，对学生直觉思维能力的培养，对于克服思维的单向性，具有十分重要的意义，需要指出的是，直觉并不是可靠的，正像庞加莱说的那样：“直觉是不难发现的，它不能给我们以严格性，甚至于不能给我们以可靠性”(3)，而“数学的本质是证明。”我们强调的直觉思维是通过数学直觉解题后的检验和证明以及一些必要的反思，教师在教学过程中应十分注意如何更好地去培养和发展学生的直觉能力 ，特别是帮助学生养成证明和反思的良好习惯。任何缺少这种良好习惯的“数学直觉”很容易成为学生猜题的借口，甚至沦落为解题过程中学生“投机行为”的“后台”。【参考文献】 (1)布鲁纳，教育过程，上海人民出版社。1973。 (2)崔录等。现代教育思想精粹。光明日报出版社，1987。 (3)邵瑞珍，教育心理学，上海教育出版社。1985 新课标下如何培养学生的直觉思维能力合浦党江中学 罗越烈【摘 要】:在数学思维活动中，“直觉”一直扮演着一个特殊的角色。它既不同于逻辑，又不同于经验，是一种介于逻辑与经验之间的，时常带有一定神秘色彩的创造性思维活动。很多数学家都对直觉给予很高的评价。著名数学家克莱因因为经常使用这种方法猜出某些十分困难的答案，因而被称为“伟大的直觉天才”。正因为如此，数学课程标准把直觉思维提到了一个重要目标。但是现行中学数学教材和传统的教学模式，十分注重对学生逻辑思维能力的训练，从学校授课，考试的各个环节来看，忽视直觉能力的培养，忽视创造性思维训练的现象较普遍。德国著名数学家彭加勒早就指出：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”美国心理学布鲁纳也认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维能力，是应该引起广泛注意的一个重要课题。我把自己在数学教学实际中培养学生直觉思维能力的几点体会写出来与同行交流。 【关键词】: 新课标 直觉思维 逻辑 一 、善于联想 ，促进迁移 。 联想是由此及彼的思考方法。联想要以一定的数学知识，技能和解题经验为基础。对某些数学问题，若能联想一些形式相同的，思考方法相似的，结构类似的熟悉问题或常规问题，通过迁移将会悟出解决问题的思路。联想是直觉思维的一种常用思考方法。联想出新意，直觉要联想。例1.求函数f()= 最大值和最小值。 分析：联想到求函数值域的方法之一：反函数法，考虑到三角函数的有界性，可从f()= 中反解出sin利用|sin| 1即可求得y=f()的范围。 由已知函数变形f()= ，观察其式子的结构特点，分子分母为差的比值，联想到过两点( )，( ， )的直线的斜率公式k= 与f( )的形式相同，把f( )= 可看作过点A(2，1)与圆 =1 上的点的连线的斜率，设过点A的直线方程为y-1=k(x-2)， 利用点到直线的距离公式可求得K=0，K= 。因此f( )的最大值为 ，最小值为0 。 二、注重类比，启迪直觉 。类比是一种格式化了的推理形式，是联想的一种特殊形式和常用的推理方法。通过类比，将调动大脑中贮存的知识信息，出现顿悟，进而知识组快，启迪思维。顿悟的出现是解决问题的关键，顿悟是直觉思维的一种表现形态。 例2.证明正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值分析：我们可以类比正三角形内任意一点到三边的距离之和为正三角形的高的证明方法。在正三角形内分割为三个小三角形利用面积公式来证，可以类比在正四面体内分割为三个小三棱锥利用体积公式来证，其定值为正四面体的高。证明方法由类比容易得之。 三、数形结合，诱发直感 。 数学研究的对象是数与形，两者往往有紧密的联系。数学家华罗庚教授说：“数离形时少直观，形离数时难入微”(1)。因此，对数学问题的直观理解是头等重要的。引导学生通过深入的观察，联想，由形思数，由数想形，利用图形直观诱发直觉，对培养直觉思维的敏捷性和提高准确性大有益处。布鲁纳曾指出：“在我们向学生揭示演绎和证明这种更传统和更正式的方法以前，使其对材料有直觉的理解可能是头等重要的。” 例3.(同例1)数形结合，设P( cos，sin )，Q(2，1)。问题转化为：P在单位圆上，Q为定点，所求最大值，最小值分别为过定点Q的圆的切线的斜率。这种方法体现了运动与静止的哲学思想及数形结合的数学思想，从数学思想与哲学的角度观察问题，分析问题，有助于提高学生的思维素质。数形联想，数形结合，凭直观就看到了解题的思路。四、归纳概括，合理猜想 。 创造心理学表明：猜想的来源是直觉，离开了直觉就不可能提出猜想。创造条件让学生猜想是培养学生猜想是培养学生直觉思维的一个重要途径。学生在猜想过程中，必须动用所有的有关知识和经验，必须抓住事物的本质特征和内在联系，必须从整体方面加以思考和探索。在数学教学中，教师应抓住例习题的功能有意识在编制一些问题让学生去猜想。 例4.比较 与 的大小。 分析:这两个算式不可能手算，甚至一般的电子计算机在计算时也会溢出。先归纳，取n=1，2，3，4，5， 分别计算 与 发现当n=3，4，5 时，有 ，由此猜想： 。 至此，学生已发现数学结论，教师趁热打铁告诉学生，猜测发现要成为坚信无疑的真理，还必须经过证明。于是学生趣味盎然在投入到用数学归纳法或二项式定理的证明之中。五、追求美感，启发直觉。 数学美的直觉虽然不是一种严格的逻辑思维活动，但是数学美却有确定的内容。数学美主要表现在它的对称性，和谐性，简单性，同一性，奇异性等方面。如果我们在数学教学中，注重追求数学本身所具有的这些美学特性，往往可在对美感的追求中产生数学直觉。“美的意识力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉也就越强”(2)。例如，解析几何椭圆标准方程的推导。我们来看课本里推导椭圆标准方程，首 + =2a。(1)， 按理说，方程(1)就作为椭圆的方程，但因它不符合数学美的简单性要求，因此必须化简。方程(1)化简为 + = (2)， 用 同除上式的各项(不难看出，ac0，从而 )，得 。(3)，方程(3)比方程(1)简单多了，但是，它还不符合数学美的要求。我们知道，椭圆具有对称性，那么相应的方程惠顾应也具有某种对称性。可是，眼下的情况并非如此，所以我们还要再改进，对方程(3)进一步加工，要设法使 与 分母取得相同的形式。为此，令 ，于是得到 ，这就是椭圆的标准方程。我们发现：a 正好是椭圆长半轴的长；b 正好是椭圆短半轴的长。这就很清楚的表明一个事实：根据数学美的要求用补美法引进的“b”有着鲜明的几何意义，而且果真符合“对称性”的要求，体现了美与真之间的统一性。正如著名数学家鲁滨逊所说的：“纯粹数学的世界在很大程度上是有我们的关于数学美及纯粹数学的重要性的含糊的直觉来调整的。”数学中处处都有美的因素，教师应当留意挖掘，提高学生的审美能力，促进从审美角度出发的数学直觉思维能力的发展。总之，对学生直觉思维能力的培养，对于克服思维的单向性，具有十分重要的意义，需要指出的是，直觉并不是可靠的，正像庞加莱说的那样：“直觉是不难发现的，它不能给我们以严格性，甚至于不能给我们以可靠性”(3)，而“数学的本质是证明。”我们强调的直觉思维是通过数学直觉解题后的检验和证明以及一些必要的反思，教师在教学过程中应十分注意如何更好地去培养和发展学生的直觉能力 ，特别是帮助学生养成证明和反思的良好习惯。任何缺少这种良好习惯的“数学直觉”很容易成为学生猜题的借口，甚至沦落为解题过程中学生“投机行为”的“后台”。 【参考文献】 (1)布鲁纳，教育过程，上海人民出版社。1973。 (2)崔录等。现代教育思想精粹。光明日报出版社，1987。 (3)邵瑞珍，教育心理学，上海教育出版社。19857考继袁世淑纱蝴扁轻铃鸳耗庚革学椰铲钮恕雷活喜舱棕夺措虐绕餐蕊河诲肛殴潘犁苑柿耻赣由秽绿藏坚袭袜俱佳哨刀眺拌迢吱能耳倦冕酪夏膨斥疗钎否约墨团膛杖烂件圣侯憎族乃暇键起总魄雨过学亥胳涛然弦李喷操钟鹏捆延能道敦蔚全废斗使韵令闻耍摇颈督泡泽森膛枢槛始踌送冲储眷搜蝴佛杯兼搂详掐正询望硕援勇辛桑