不动点原理及应用毕业论文.doc

不动点原理及应用院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 学生姓名： 学 号： 导师及职称： 200 年5月The Principle and Application of Immovable pointDepartment: Mathematics and Applied MathematicsGrade: Students Name: Student No.: Tutor: 摘要：介绍了banach不动点原理即压缩影射原理，及其在求一些数列极限、方程近似解中的应用；然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法；再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用；简述不动点原理在积分中值定理、隐函数存在定理方面的应用。关键词：Banach不动点原理；压缩影射；应用。The Principle and Application of Immovable point Abstract: The banach fixed point compression insinuate that the principle of principle, and for some of the series limit, equations approximate solution of and then on a fixed point in the principle of differential equations, integral equations of the existence of, and uniqueness of The important applications that successive approximation method; again on the fixed point of principle-the application of equations; briefly fixed point principle in the integral value theorem, the implicit function theorem the application. Key words: Banach fixed point principle; compression insinuate; application.目录第一章 引入 1 前言 2 预备知识第二章 不动点的应用 1“不动点原理”在数列极限中的应用 2“不动点原理”在求方程近似解中的应用 3“不动点原理”在积分方程的应用 4不动点定理在常微分方程中的应用 5不动点在解线性方程组方面的应用 6“不动点原理”在积分第一中值定理的应用7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用第三章 结论参考文献致谢第一章 引入1 前言我在这篇文章主要是归纳不动点原理的应用，别人做的只是用不动点原理在某一方面的应用，而我是在他们的基础上归纳综述。在现实中，我们要研究关于解的存在性问题都可以用不动点原理来求，因为在很多时候我们要求解时根本无法求出，除了简单的方程外，但是我们可以用不动点原理找到解存在。我主要做的是用不动点原理即压缩影射原理：求一些数列极限的应用。方程近似解中的应用。然后讲述了不动点原理在微分方程、积分方程解的存在性、和唯一性方面的重要应用即逐次逼近法。再讲述不动点原理在线性方程组方面的应用。简述不动点原理在积分中值定理方面的应用。隐函数存在定理方面的应用。2 预备知识定义1 给定（X，），如何对于影射T：XX，存在常数L，使得，则称T是一个压缩影射.定义2 给定度量空间及的影射T,如果存在使，则称影射T的不动点. 定义3 (基本列)给定,若对任取的,有自然数使对,都成立,则称序列是基本列. 定义4 (完备度量空间)距离空间,若X中任一基本列都收敛,则称它是完备的. 定理(Banach不动点原理-压缩影射原来)非空的完备度量空间,T是到其自身的一个压缩影射,则T在X中存在唯一的不动点.例1 设是定义在a,b上的函数(不恒为常数),且满足条件:在a,b内处处有导数,且;对,有,那么方程有唯一解.证明: 由在a,b内处处有导数,则对且0L1,那么是的一个压缩影射,根据定理1,这时方程有唯一解,即的不动点,为求出解,可以在内任取一点,做为迭代的初始值,然后令那么第二章 不动点原理的应用1 “不动点原理”在数列极限中的应用求数列极限的方法有很多种，比较典型的有单调有界原理和迫敛法，若能熟练掌握不动点原理，也能方便求出一些数列极限。为了应用方便，上述定理1可改为以下定理定理对数列,若存在常数r ,0r1,使的一切,有,则收敛. 证明:自然数n,p.所以为基本列(Cauchy列),从而收敛若递推公式由一元可微函数给出,则可通过的导数来考察,若存在实数r,使的,则应用微分中值定理,可知满足压缩影射的条件. 不过,这时必须验证,是否保持在成立的范围之内.例1 设 为常数，求。解：我们先来构造一个函数，显然在上连续可导，因为，当时又因为得到故由定理知道收敛设又连续，即有从而得到即上例我们是通过构造函数，得到一个压缩映射，利用“不动点原理”很快就能求出数列极限。这里需注意的是一些例题貌似压缩影射,其实不然,见下例.例2 设影射为自己,且 (3)任取,令(4)求证数列有极限,满足方程.注 由(3)、(4)式可得 (5)此式很像压缩影射的条件,但实际不然,因为(5)式相当于r=1,而非0r1.证明: (3)式表明是连续,只要证明了单调,自然有极限,在(4)式中取极限更知的极限满足,因为映为自身,所以当时,由式(4)知,既然,故一切n,恒有,剩下只需证明单调性.事实上,若,则,而任一n,若时,更有将带负号的项移到不等式的另一端,然后同除2,即得故单增.同理,若时,可证单减.例 证明 若在区间上可微,任取令,则,为方程的根(即为的不动点).证明:已知,令设则即,这就证明了一切.应用微分中值定理,在这表明是压缩影射,所以收敛.且,为的根. 若递推公式由给出,并已证明了存在,连续.则在中取极限,更得到了A应满足的方程,此方程表明A是的不动点,至于方程的根是否存在,需用其它方法进行讨论.以上介绍了用“不动点原理”求极限的方法.2“不动点原理”在求方程近似解中的应用实际应用中，常需要求方程的实根，但除了一些简单的方程外，一般是很不容易求得的。作为导数的应用，有一种求方程近似解的方法牛顿切线法，其实应用压缩映射原理来求方程近似解更方便、更简单。定理（微分中值定理）若函数满足如下条件在闭区间上连续；在开区间内可导，则在内至少存在一点使得。为了方便利用，我们可以把上述的定理1再改为以下定理定理若递推公式有一元可微函数给出，则可通过的导数来考察。若存在实数，使得，则应用微分中值定理，可知满足压缩映射条件不过这时必须验证是否持在成立的范围之内。例1 求方程的近似解 分析 若令则，但对任意，。故在的范围内，不是压缩映射，因此不能直接应用定理，然而我们可以改变一下迭代格式，使定理能够应用。为此我们引进一个叁数，可使例如取，则当时时于是我们可采用迭代格式3 “不动点原理”在积分方程的应用 下面应用不动点定理给出积分方程解的存在性和唯一性的证明.引理设，是定义在内的可测函数,满足记,那么,当时,必有唯一的适合线性积分方程 证明:在上定义影射由于,可知,因此是到的影射.只要证明是压缩影射即可证明方程解的存在、唯一性.对任意的, 记,由假设有,而,即是压缩影射,由定义1,存在唯一的满足,即 也就是说,当必有唯一的适合线性方程.例 给定积分方程 其中是上的已知连续函数，是上的已知连续函数。证明当足够小时（是常数）式在上存在唯一连续解。 证明：在内规定距离考虑映射，当充分小时，是的压缩映射，因为此处，故当时，是压缩算子，此时拒定理1知方程对任一 解存在唯一，任取初始逼近。令则是第次的近似是精确解4 不动点定理在常微分方程中的应用应用不动点定理证明常微分方程解的存在性和唯一性.例设是矩形上的二元连续函数.在这个矩形中,其中为一常数,又关于 满足Lipschitz条件,即存在常数,对任意的,有,那么方程有唯一的满足初始条件的连续函数解,其中.证明:设满足,按通常的距离是完备是距离空间,因此是完备的空间.令,则是的影射,事实上，对于,因,而在上二元连续,所以右端的积分有意义,它是积分上限的连续函数,由对于一切的.所以.事实上,由关于满足Lipschitz条件,故对任意两点,有令则且,所以是上的压缩影射.由定义1,存在唯一的使得.由于方程满足初始条件的解与的不动点一致,因此就得到了原方程的解的存在、唯一性.5 不动点在解线性方程组方面的应用例在维实向量中,采用范数其中则不难验证在范数下成为一个空间.在中讨论下列线性代数方程组在系数满足什么条件时,存在唯一的解.解:将写成下列向量形式,其中,是矩陈,.令,则又可以写成.显然是的一个影射.任取令而于是利用范数有由此可见,当然一切成立时,是上的压缩影射.从而有唯一不动点,即是方程组的唯一解.6 “不动点原理”在积分第一中值定理的应用定理4若连续函数在上单调递增，则在上存在唯一一点使得证明 不妨设在上单调递增，单调递减证法一样在空间中作映射是到自身的映射。事实上，由于， 在上严格单调递增，所以并且于是从而是到自身的映射，又对于，不妨设有：因为在上严格单调递增，所以，故必存在一个数，使得成立，所以有：从而是到自身的压缩映射，由不动点原理，存在唯一一点，使得，即从而7“不动点原理”在隐函数存在定理的应用 定理5设二元函数满足下列条件： 在区域上，及上连续； ； 则有以下结果，存在点的某个领域以及唯一的连续函数，它在内满足：证明：考察映射， 其中，这里表示定义在闭区间上取值在R上的连续函数空间，其距离规定为：先证映射T为压缩映射，因为在上连续，所以，存在，使得当时，记由微分中值定理对存在使得所以T为压缩映射。今取则在中是闭的，从而是完备的。下面证明映射取，注意到，由于的连续性，所以存在，当时（这里）所以当时此外还有：从而证明了映射。第三章 结论不难看出，利用压缩映射原理来处理一些问题，的确非常简单、方便参考文献1 刘炳初.泛函分析M.北京：科学出版社，1998. 2 张敏等.不动点原理及其应用.学术期刊第21卷第2期.20053 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M，北京：高等教育出版社