基于排队论对常州某超市收银系统的分析—以乐购超市为例--本专科-统计学毕业论文.doc

基于排队论对常州某超市收银系统的分析以乐购超市为例摘要排队论的理论和方法已经广泛应用于各种服务系统。收银系统作为超市、商场与顾客接触的前线，在超市管理中起着非常重要的作用。因此，利用排队论的知识对收银服务系统建立数学模型进行分析优化，从而使系统达到最佳的运营状态，具有十分重要的经济价值和实际意义。关键词：排队论；超市收银系统；乐购超市目 录摘要I1相关理论11.1排队论11.2极大似然法12超市收银管理系统研究与优化22.1超市收银管理系统描述22.1.1特征概述22.1.2系统模型的假设32.2超市收银管理系统的优化模型建立32.3优化的实例分析42.3.1数据收集与数据整理42.3.2服务对象到达分布研究102.3.3服务时间的服从分布研究122.3.4系统指标计算与优化过程143结语17参考文献18II1相关理论1.1排队论排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。排队论(queuing theory), 或称随机服务系统理论， 是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究，得出这些数量指标（等待时间、排队长度、忙期长短等）的统计规律，然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组织被服务对象，使得服务系统既能满足服务对象的需要，又能使机构的费用最经济或某些指标最优。它是数学运筹学的分支学科。也是研究服务系统中排队现象随机规律的学科。广泛应用于计算机网络, 生产, 运输, 库存等各项资源共享的随机服务系统。 排队论研究的内容有3个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1909年丹麦数学家、科学家，工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。1.2极大似然法一般地说，事件与参数有关，取值不同，则也不同若发生了，则认为此时的值就是的估计值这就是极大似然法看一例子：例1、设袋中装有许多黑、白球，不同颜色球的数量比为3:1，试设计一种方法，估计任取一球为黑球的概率分析：易知的值无非是1/4或3/4为估计的值，现从袋中有放回地任取3只球，用表示其中的黑球数，则按极大似然估计思想，对的取值进行估计解：对的不同取值，取的概率可列表如下:X0123故根据极大似然思想即知：在上面的例子中，是分布中的参数，它只能取两个值：1/4或3/4，需要通过抽样来决定分布中参数究竟是1/4还是3/4在给定了样本观测值后去计算该样本出现的概率，这一概率依赖于的值，为此需要用1/4、3/4分别去计算此概率，在相对比较之下，哪个概率大，则就最象那个2超市收银管理系统研究与优化2.1超市收银管理系统描述2.1.1特征概述做为服务行业的超市而言，在开放营业的各个时段，所有的光临顾客都是随机的，而购物离开交款的顾客也是随机的，收银服务人员对每一位顾客的服务时间更是随机的，由顾客的购物情况而定。因此，超市的收银管理服务系统就是一个随机的服务系统，它具有如下特征:(1)超市收银管理系统的服务对象是已选购完商品准备交费离开的顾客，所以可以确定顾客源是无限的。(2)顾客虽源源不断涌入超市，但他们互不影响，是相互独立的。顾客完成购物进入收银服务系统同样是随机的并且相互独立。(3)系统由多个服务台并联，服务时间随机、独立，能够同时工作。(4)顾客接受先到先服务，有时可能需要等待。(5)顾客到达收银服务区可按实际选取最短队列排队等候;等候中，可在不同队列间移动。综上，从排队论角度总结可得出超市收银管理服务系统是由多个服务台组成的遵从先到先服务制的动态排队系统。2.1.2系统模型的假设将实际问题抽象为数学模型可以简化我们的研究。针对排队系统三要素我们对超市收银管理服务系统的输入过程、排队规则和服务机构做以下假设:1.输入过程。顾客不断地光顾超市，他们的来源是无限的，他们的到达是随机的，独立的。假定所有顾客到达收银台都是单个的、随机的、相互独立的到达。2.排队规则:顾客到达系统，有空闲服务台时可立即接受服务;没有，则加入最短队列等待，直到有时被服务。等待过程中，可以根据实际情况在不同的队列间移动。3.服务机构:假定系统存在c(c1)个并联服务台独立地一对一服务。在各个时间段里服务能力一样，为一个恒定数值，且每个服务台服务能力相同，不随时间推移发生变化。若假设顾客到达服从Poisson流，而服务员对每位顾客消耗的服务时间服从负指数分布，则系统是排队系统。2.2超市收银管理系统的优化模型建立上述分析，我们得到超市收银管理服务排队系统是一个排队系统。我们已假定系统中含有c个并联的服务台同时工作，视系统容量为无穷大，每位顾客到达服从Poisson流，到达与服务视为彼此独立，服务员对每位顾客消耗的服务时间服从负指数分布。在该排队系统中，我们令，由系统的基础理论知识知，系统达到稳态，即1时，系统内顾客平均等待时间为 （2-1）平均等待队长为（2-2）其中，人们在超市等待被服务所能允许的最长等待时间与最长等待队长是因人而异，各不相同的。假设顾客所能允许的最长平均等待时间为TW，最长平均等待队长为，则所能允许的系统中的最长平均等待队长为c，则满足:的C的最小值则为最优服务台数，即由(3-1)和(3-2可知，在优化了的超市收银管理服务排队系统内，顾客的平均等待时间与平均等待队长分别是上述假设我们是按系统中含有C个并联的服务台同时工作，每位顾客到达服从Poisson流，而服务员对每位顾客消耗的服务时间服从负指数分布，这样的超市收银管理服务排队系统为例建立的优化模型。它的思想不仅表示适用于此类排队系统中，还适用于任何一个排队系统模型的优化模型建立。下面我们将对某一具体的超市收银管理服务排队系统运用优化模型优化。2.3优化的实例分析2.3.1数据收集与数据整理(1)顾客到达的情况调查哈市某大型超市，获得顾客到达率、收银服务员对顾客的服务能力和不同群体所能允许的最长等待时间与最长等待队长这三方面的优化模型所需数据。在数据的调查期间，该超市的营业时间是6:3021:30，收银员工作采用三班轮岗制，共设收银台36个。鉴于节假日与非节假日的强大客流差异和一天中每个时段的客流差异(如非节假日的8:00与18:00的客流差异就很大)，并根据实际调查收集数据显示的每个时段内顾客到达数相差不大，我们将非节假日和节假日分开讨论。把一天分割成15个时间段，我们把单位时间设定成10分钟。为得到每时段顾客的到达情况，在每时段内都随机调查二百个单位时间的顾客到达数，整理如表2-1至表2-6所示。表2-1非节假日单位时问顾客到达情况40以下40-4950-5960-6970-8080以上7:30-8:3047185201828:30-9:30610143183539:30-10:30070564523620:30-21:3006535442729表2-2非节假日单位时问顾客到达情况270以下70-7980-8990-99100-109110以上10:30-11:30519558233613:30-14:30628597825414:30-15:3012103966581515:30-16:30122134704617表2-3非节假日单位时问顾客到达情况390以下90-99100-109110-119120以上6:30-7:30111989621911:30-12:3015269560412:30-13:3018608238216:30-17:30216275222017:30-18:30152568692318:30-19:3083592501519:30-20:30633855422表2-4节假日单位时问顾客到达情况160以下60-6970-7980-8990-99100以上6:30-7:301891641510211:30-12:30246607281212:30-13:300254157423516:30-17:302247046382017:30-18:301574792336表2-5 节假日单位时问顾客到达情况2100以下100-109110-119120-129130139140以上10:30-11:304107664281813:30-14:303236759252314:30-15:30018857223219:30-20:300145890326表2-6节假日单位时问顾客到达情况3120以下120-129130-139140-149150-159160以上6:30-7:3015286980629:30-10:300133634962115:30-16:30823318254216:30-17:30517239749917:30-18:30062987522618:30-19:300316925039通过对原始数据的整理计算，得到表2 -7显示的非节假日和节假日期间单位时间内顾客的到达率。表2-7单位时问内顾客的平均到达率时间段非节假日节假日6:30-7:3087.52593.7207:30-8:3043.25561.6858:30-9:3039.71772.2309:30-10:30108.96125.5810:30-11:3096.969123.2111:30-12:3065.08273.33612:30-13:3088.76494.72513:30-14:3092.915110.1214:30-15:3098.804142.7615:30-16:30102.52141.3716:30-17:30111.35169.4717:30-18:30109.84161.9718:30-19:3095.882126.8819:30-20:3086.29275.48120:30-21:3052.46561.504表2-7中顾客平均到达率的数据是单位时间内的，我们需将其转化，转至每个时段内的。表2-8和表2-9表示的是每个时间段内顾客的到达率和开放的收银台的数目。表2-8顾客的平均到达率(非节假日)与超市开放的服务台数时间段平均到达率(人/小时)开放收银台数6:30-7:30439.020087:30-8:30286.750088:30-9:30243.250089:30-10:30627.86001410:30-11:30465.72001411:30-12:30564.49001412:30-13:30578.55001413:30-14:30523.51001414:30-15:30587.80001415:30-16:30612.17001416:30-17:30668.04001417:30-18:30649.04001418:30-19:30513.24001419:30-20:30432.7800820:30-21:30300.19008表2-9超市开放的收银台数与顾客的平均到达率(节假日)时间段平均到达率(人/小时)开放收银台数6:30-7:30447.520097:30-8:30403.670098:30-9:30415.450099:30-10:30745.32001610:30-11:30723.22001611:30-12:30496.93801612:30-13:30578.23001613:30-14:30603.75001614:30-15:30804.52001615:30-16:30895.63001616:30-17:30989.81001617:30-18:30969.82001618:30-19:30745.37001619:30-20:30496.8100820:30-21:30310.23008表中数据告诉我们，此超市收银台开放的数目并不符合之前的讨论，很不合理。像非节假日的6:30到7:30的时间段内，由于超市开放了“生鲜早市”，并开设了免费购物接送班车，致使很多喜欢逛早市的顾客进入超市，造成客流高峰，但该超市此时却只开放8个收银台;在10:30到11:30间，超市客流相对较少，但其却仍旧开放14个收银台。在节假日期间存在着类似的问题。因此，超市的管理经营者应该重视这个问题，根据实际情况动态增减开放的收银台数，提高效益。 (2)顾客被服务的时间表2-10表示的是该超市中被随机调查的400位顾客的被服务时间，这将为我们研究收银台管理服务系统中顾客被服务员服务的时间的概率分布提供帮助。表2-10顾客被服务员服务的时间(秒)服务时间0-3030-4545-6060-7575-9090-105105-120120-135135-150150-165165-180180以上频率313956254246291241392713(3)顾客所能允许的最长平均等待队长和时间我们在非节假日和节假日期间，分别对四百位不同顾客进行随机抽样调查，获得了顾客在等待被服务时可以允许的最长平均等待队长和最长平均等待时间，详见统计表2-11-表2-14。表2-11非节假日顾客所能允许的最长等待时问等待时间(分)4以下4-88-1212以上频数5221512112表2-12节假日顾客所能允许的最长等待时问等待时间(分)4以下4-88-1212以上频数410319598表2-13非节假日顾客所能允许的最长等待队长队长5以下5-1010以上频数8029624表2-14节假日顾客所能允许的最长等待队长队长5以下5-1010以上频数2530867由以上数据整理计算可知，在非节假日顾客所能允许的最长平均等待时间为7.5100分钟，最长平均等待队长为6.2786.节假日，顾客所能允许的最长平均等待时间是10.363分钟，最长平均等待队长是8.5300.2.3.2服务对象到达分布研究用2拟合检验法，检验原始数据是否服从Poisson分布。在Poisson分布中，因为参数兄是未知数，所以，先需对其进行估计，使用极大似然估计法。设总体X服从Poisson分布，参数为，即X1,X2,. X。是来自于总体X的样本，x1,x2, . . . x、为对应样本X1, X2,. Xn的一个样本值，则样本的极大似然函数为（2-3）对式(2-3)两边取对数，得令得到关于兄的最大似然估计值故的最大似然估计量是因各时段研究方法相同，故以非节假日7:308:30举例说明时段内的顾客到达情况。此时段单位时间内到达的顾客数的直方图如图2-1所示。其中系列一代表20至40人，系列二代表40至50人，系列三代表_50至60人，系列四代表60至70人，系列五代表70至80人，系列六代表80至90人。图2-1单位时问内到达的顾客数由表2-7的数据我们可知，此时段单位时间顾客的到达率。由拟合检验法我们可知，我们将X可能取值的全体分为六组，其中，ai-1是Ai组的下限，ai是Ai组的上限，记A1=0,39，A2=40,49，A3=50,59，A4=60,69，A5=70,79，A6=80,，则，i=1,2,6，理论频数，合并理论频数小于5的组，详见下表2-15表2-15顾客到达分布因为统计量是所以，=0.7102，分组合并得k=5.起初在计算概率时，我们估计了参数兄，知:=1，得x2的自由度为k-r-1=5-1-1=3.取=0.05，由知，所以，当显著性水平“= 0.05时可接受H0.可判定此时段单位时间内到达的顾客数服从参数的Poisson分布，即该时段顾客是按参数的Poisson流到来的。以此类推，可知节假日与非节假日期间的各时段，顾客到达都服从Poisson流。2.3.3服务时间的服从分布研究我们仍旧使用皮尔逊一检验法，依据原始数据，研究服务台的服务时间是不是符合负指数分布。估计负指数分布里的参数，仍然使用极大似然法。假设总体T服从负指数分布，即是取自总体T的样本，为对应于的一组样本值，则表示样本的似然函数，将其两端取对数，可得令得的最大似然估计值是 （2-4）则为的最大似然估计量。由服务员对每位顾客的服务时间的原始数据值，我们能算出服务员的平均服务时间为=74.12秒，由（2-4）知，人/秒=48.570人/时。同上依据拟合检验法，将T可能取值的全体。分为12组，记做A1=0,30，A2=(30, 45，A3=(45,60，A4 =(60,75，A5=(75,90，A6=(90,105，A7=(105,120，A8 =(120,135 ，A9=(135,150，A10=(150,165，A=(165,180，Ana一(180,00)如果H0为真，则T的分布函数的估计为表2-16服务时问分布AiFipinpiA1310.072130.012432.0201A2390.091137.027441.0777A3560.142954.624557.4101A4250.068128.754421.7358A5420.098439.457844.7060A6460.109743.972148.1214A7290.070229.012528.9875A8120.034612.936411.1314A9410.099843.997038.2072A10390.090143.011035.3630A11270.068728.102425.9408A12130.041113.687212.347340097.0483 由此可知顾客被收银台服务的时间服从参数刀的负指数分布。因为系统的统计量是,又k=12，=4.7562，而存计算概率时我们估计讨参数，r=1, 自由度是k -r-1=10,仍取= 0.05 ,由知，所以，当显著性水平。= 0.05时可接受H0。2.3.4系统指标计算与优化过程综上所述，我们可断定超市的收银管理服务排队系统是MlMlcl、排队系统。下面编程、计算各时段(非节假日与节假日)系统指标，详见表2-17与表2-18.表2-17各时段系统指标(非节假日)时段平均队长等待概率平均等待时间逗留时间7:30-8:305.81200.32760.19681.39878:30-9:307.10520.46230.30641.55779:30-10:306.80700.36680.27561.523011:30-12:3016.42970.68470.79512.204812:30-13:306.95170.44130.32531.524313:30-14:3016.23480.69010.76481.907614:30-15:3024.51630. 78271.87492.843915:30-16:3011.07870.59400.64571.669917:30-18:3030.64120.80462.01633.045218:30-19:3021.30140.71220.98202.325020:30 -21:3014.46410.61850.63371.8108表2-17并未体现非节假日期间6:30-7:30，10:3-11:30，16:3017:30和19:30-20:30这四个时段的每项系统指标，因为这四个时段中系统未达到平衡。如6:30-7:30之间，此超市开放了“生鲜早市”，大量顾客进入超市购物，这种现象在寒冷的季节特别突出。但其却只开放8个收银台。根据2.4节的知识，知，这说明等待队伍不断增长，系统相当拥挤。若想使系统达到平衡，应为，说明在6:30-7:30时段内，超市收银管理服务系统至少应开放9个收银款台才能使系统达到平衡。节假日期间每个时段的系统指标见表2-18.表2-18各时段系统指标(节假日)时间段平均队长等待概率平均等待时间逗留时间6:307:3026.84140.73351.90252.50847:308:3024.51630.70151.87492.34398:309:3037.10520.83642.36313.06819:3010:3046.95170.89013.25234.042313:3014:3057.85190.90414. 36815.200114:3015:3060.21700.93644. 92805.946015:3016:3036.23480.82012.22482.986718:3019:3025.81200.72761. 96812.438720:3021:3011.07870.59400.74571. 9956同样，表2-18并未体现节假日期间11:30-12:30，12:30-13:30，16:30-17:30，17:3018:30和19:3020:30这五个时段的每项系统指标，也是因为这五个时段中系统未达到平衡。表2-18所是显示的数据中，以14:30-15:30为例，能够看出系统的空闲量相对很小，进入收银管理服务系统等待交款的顾客要经历长时间排队等待，远超出他们所能承受的范围。下面我们尝试将系统优化。现在，我们从顾客所允许承受的最长等待队长和最长等待时间出发，寻求系统优化的解决办法。服务台数c的最小值c称为最优的。由优化模型与MlMlc/二排队系统的相关理论知识，应用Matlab编程，寻求非节假口和节假口期间的每个时段应开放多少收银台才能使超市收银管理服务系统达到最优化，结果见表2-19与表2-20。顾客是上帝。超市类经营场所，要想提高收益，就应对症下药，从满足顾客需求角度出发，最大限度地降低自身经营成本。从表2-19与表2-20的系统优化结果能够得出，之前超市在各时段开放的收银台数相对较少，而在节假口此类情况还甚为严重。要想保证客源，消除或降低顾客不必要的不满，超市应根据一天中各个时段的客流量动态开放收银台数。表2-19优化结果(非节假日)时间段实际开放个数优化后开放个数优化后平均逗留时间（分）优化后平均队长6:307:30892.897613.58297:308:30872.587712.89978:309:30872.06108.80799:3010:3014125.656776.552810:3011:3014135.061118.964911:3012:3014144.908935.734112:3013:3014156.409242.421813:3014:3014113.983921.652314:3015:3014113.859017.627915:3016:3014134.810621.961616:3017:3014144.402024.940117:3018:3014167.146053.834218:3019:3014167.152848.964119:3020:308124.303714.151820:3021:30881.672610.9482表2-20 优化结果（节假日）时间段实际开放个数优化后开放个数优化后平均逗留时间（分）优化后平均队长6:307:309102.96767.92797:308:30971.58776.04878:309:30971.06208.80799:3010:3016157.465768.972810:3011:3016177.871160.571911:3012:3016176.868967.451212:3013:3016145.348952.963813:3014:3016176.373938.476314:3015:3016187.145044.341915:3016:3016187.851641.965616:3017:3016185.810056.235017:3018:3016157.132062.857218:3019:3016164.252837.654119:3020:308103.343725.741820:3021:30882.748510.75573结语排队论作为较成熟的理论体系，在提高经济收益而研究系统的相关最优设计、运行管理等方面应用十分广泛。在分析排队系统性能和求解排队系统相关数值时经常使用的行之有效的方法便是计算机模拟。这两者的结合是大势所趋。本文大背景是超市收银管理服务排队系统，以根据不同时段客流动态开放收银台数目而提高顾客满