专题三函数方程思想.doc

专题三 三个“二次”关系在高考中的应用陈燕春三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.锦囊妙计1.二次函数的基本性质(1)二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n.(2)当a0,f(x)在区间p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q).若p,则f(p)=m,f(q)=M;若px0,则f()=m,f(q)=M;若x0q,则f(p)=M,f()=m;若q,则f(p)=M,f(q)=m.2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r (3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.(5)方程f(x)=0两根的一根大于p,另一根小于q(pq).3.二次不等式转化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是：(,),+a0时，f()f() |+|+|,当a0时，f()|+|;(3)当a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立难点训练1.已知二次函数f(x)=4x22(p2)x2p2p+1,若在区间1，1内至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是_.解析：只需f(1)=2p23p+90或f(1)=2p2+p+10即3p或p1.p(3, ).答案：(3，）2.二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2x),若f(12x2)0，即又对任意的成立.特别地，取时，成立，得m0.则又所以函数在的最大值为0.于是当m0时，对任意的，恒成立.综上，m的取值范围是（）.5.浙江文设函数，（）求的单调区间；（）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。 （）解：因为，所以 由于，所以的增区间为，减区间为 （）证明：由题意得，由（）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得6.（2011年高考全国卷文科21)已知函数()证明：曲线（）若求a的取值范围。【解析】()，故x=0处切线斜率，又即，当故曲线（），令，故7.(2011年高考天津卷文科19)（本小题满分14分）已知函数其中.（）当时,求曲线在点处的切线方程;()当时,求的单调区间;()证明:对任意,在区间(0,1)内均在零点.【解析】（）当时, ,所以曲线在点处的切线方程为.() 令,解得或,因为,以下分两种情况讨论:(1)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:+-+所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.+-+ (2)若,则.当变化时, ,的变化情况如下表:所以的单调递增区间是,;的单调递减区间是.所以在内存在零点.若,所以在内存在零点,所以,对任意,在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意,在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.8（本小题满分分）已知函数，其中（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若在区间上，恒成立，求的取值范围【解】（）当时，所以曲线在点处的切线方程为，即（）令，解得或针对区间，需分两种情况讨论：(1) 若,则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减所以在区间上的最小值在区间的端点得到因此在区间上，恒成立，等价于即解得，又因为，所以(2) 若，则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减极小值增所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到因此在区间上，恒成立，等价于即解得或，又因为，所以综合(1),(2), 的取值范围为.9.已知函数（I）讨论的单调性；（II）设，证明：当时，；（III）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）0解：（I） （i）若单调增加.