冲刺金牌奥林匹克竞赛辅导.doc

膅蒂蚅蚆袅芅薁蚅羇蒁蒇蚄腿芃蒃蚃节膆螁蚂羁莂蚇蚂肄膅薃蚁膆莀葿蚀袆膃莅蝿羈莈蚄螈肀膁薀螇芃莇薆螆羂艿蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚆螄袆蒃薂袃罿芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄螃袀羃肇虿袀肅莃薅衿膈膅蒁袈袇莁莇袇羀膄蚆羆肂荿薂羅膄膂蒈羄袄莇莃羄肆膀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒂蚅蚆袅芅薁蚅羇蒁蒇蚄腿芃蒃蚃节膆螁蚂羁莂蚇蚂肄膅薃蚁膆莀葿蚀袆膃莅蝿羈莈蚄螈肀膁薀螇芃莇薆螆羂艿蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚆螄袆蒃薂袃罿芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄螃袀羃肇虿袀肅莃薅衿膈膅蒁袈袇莁莇袇羀膄蚆羆肂荿薂羅膄膂蒈羄袄莇莃羄肆膀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒂蚅蚆袅芅薁蚅羇蒁蒇蚄腿芃蒃蚃节膆螁蚂羁莂蚇蚂肄膅薃蚁膆莀葿蚀袆膃莅蝿羈莈蚄螈肀膁薀螇芃莇薆螆羂艿蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚆螄袆蒃薂袃罿芆蒈袂肁蒁莄袁膃芄螃袀羃肇虿袀肅莃薅衿膈膅蒁袈袇莁莇袇羀膄蚆羆肂荿薂羅膄膂蒈羄袄莇莃羄肆膀螂羃腿蒆蚈羂芁艿薄羁羁蒄蒀薈肃芇莆薇膅蒂蚅蚆袅芅薁蚅羇蒁蒇蚄腿芃蒃蚃节膆螁蚂羁莂蚇蚂肄膅薃蚁膆莀葿蚀袆膃莅蝿羈莈蚄螈肀膁薀螇芃莇薆螆羂艿蒂螆肅蒅莈螅膇芈蚆螄袆蒃薂袃罿 冲刺金牌奥林匹克竞赛辅导第三讲 整式纵观各类竞赛试题，有关整式问题，主要有以下几类：1、 整式的加、减、乘、除混合运算。2、 化简求值。3、 借助多项式解决有关“数字问题”应用题。4、 借助整式的运算律编程序。5、 借助整式的运算比较大小。6、 借助整式问题猜想。7、 借助整式问题证明恒等式。8、 借用整式证明定值问题。整式以及相关的一系列问题既是中考的基础与要点，又是数学竞赛的重点与要点，整式问题与几何中的三角形、四边形、相似形、圆、代数中的分式、因式分解、一元二次方程、二次函数等各部分息息相关，是学好各部分内容的基础，把这部分知识掌握好，将是应试的好助手，而且整式问题也是在竞赛中必考的重点。因此，整式问题在未来的竞赛中比重将会有所增大。要掌握好整式问题，要求参赛者除了要有良好的数学素质外，还要掌握一些特有的规律和方法，以下作一简单介绍：一、 常见的公式1、 平方差公式：(a+b)(a-b)=2、 完全平方和公式：3、 完全平方差公式：4、 立方和公式：5、 立方差公式：由以上公式得到以下公式：;。二、 常见的公式推导出来的其他公式;。三、 补充的重要定理1、余数定理：多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。例如：求除以x+1所得余数。解：x+1=x-(-1)=1。所求的余数是1。2、因式定理：若=0，则多项式一定能被x-a整除，称x-a为的一个因式。例如：试确定a,b,使能被x-1,x+2整除。解：能被x-1,x+2整除,由因式定理，知=0，=0。即解得：a=-6,b=3在有了以上基本公式、基本定理的前提下，我们遇到这部分题时，要注意联想，把它们运用到实际做题中去，那么如何想到应用这部分知识点呢？下面列举了各种竞赛中的关于整式部分的题型。题1（1998年河北初中数学竞赛试题）已知n为大于100的自然数，若能被n+10整除，则满足条件的n的个数为_。精析：由整体整除通过多项式除法化为部分整除，再利用枚举法是常见题型之一。全解：由多项式除法，得=。由题设，知n+10整除900。n=890，440,290,215,170,140共6个n的个数为6题2（1998年全国初中数学竞赛试题）设抛物线y=的图象与x轴只有一个交点。（1）求a的值；（2）求的值。精析：（1）利用函数与一元二次方程的结合点：抛物线与x轴只有一个交点等价于=0；（2）先利用了韦达定理，再利用了公式：，接下来用了立方和公式，提公因式，用来表示。这种各种公式共同应用的题比较常见。全解：（1）抛物线y=的图象与x轴只有一个交点，=0解得：a=(2) a=a是方程=0的根。=0a0=1=+2=3=-2=7=-2=47=()(-1)=7(47-1)=322=()+=()+=322+=322()=()(-1)=3(7-1)=18322()=32218=5796题3有理数a,b,c在数轴上对应的点如图3-1所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|的结果是（ ）A、2b-2c B、2c-2b c、2b D、-2c精析：数轴与绝对值结合题：做题的关键是去绝对值符号，当绝对值内值为正时，绝对值直接去掉，为负时，去绝对值加负号。全解：由图3-1，知cb0a,-b0,a+c0,c-b0错误！链接无效。a0错误！链接无效。原方程化为又=1+4=5错误！链接无效。=全解2：前面与全解1相同。原方程可化为即错误！链接无效。=a0错误！链接无效。a=错误！链接无效。=+=+=题5（1999年全国初中数学竞赛试题）已知：x=,y=,那么的值为_。精析：（1）分母有理化；（2）利用完全平方公式：,。全解：x=, y=,错误！链接无效。=+=10题6（1999年全国初中数学竞赛试题）有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）。每次做加法，将上次的运算结果加2或加3；每次做乘法，将上次的运算结果乘2或乘3。例如，30可以这样得到：。（1） 证明：可以得到22；（2） 证明：可以得到。精析：（1）由前向后不断乘以2，再加2，得到或的形式。（2）由后向前不断除以2再减2，得到：，再除以3而后加3，从而得到。（3） 用（1）（2）将两边联立起来即得证。证明：（1）或（2）题7（2000年河北初中数学竞赛试题）已知，则代数式的值是（ ）A、2001 B、2002 C、2003 D、2004-10-6精析：多项式除法中，还夹入一定的技巧，主要是与已知条件联系起来，技巧在于一部分先做除法，另一部分先合并再作除法。全解：=0=2000+4=2004故选D。题8（2001年河北初中数学竞赛试题）已知数据的平均数为的平均数为b，则数据的平均数为（ ）A、2a+3b B、 C、6a+9b D、2a+b精析：利用平均数的定义解题。全解：由已知，可得,=b，则的平均数为=2a+3b。故选A。题9（2001年河北初中数学竞赛试题）设的整数部分是a，小数部分是b,则的值是_。精析：（1）先将原式化为一个整数加一个不能直接找到其整数部分的和。（2）再讨论后一部分及小数部分。全解：=2+230b B、a=b C、a0ab题13（2001年全国初中数学竞赛试题）已知x=,y=，那么=_。精析：（1）化简时利用了分母有理化知识。（2）利用了完全平方差公式。（3）利用了立方和公式。（4）利用了这个重要公式。全解：x=5-2y=5+2x+y=10,xy=1=970题14（2001年全国初中数学竞赛试题）已知=14, =28,则x+y的值为_。精析：（1）两方程相加后与原方程为同解方程。（2）通过相加可以利用完全平方和公式。（3）十字相乘法。全解：14+28=()+()=-42=0=0x+y=-7或x+y=6题15如果x+y=, x-y=,那么xy的值是（ ）A、 B、 C、 d、精析：（1）通过平方去掉根号是常见题型。（2）利用了4xy=这个重要公式。全解：=,=4xy=-=12()xy=题16如果与是同类项，那么的值是（ ）A、0 B、1 C、-1 D、精析：同类项要求：（1）单项式所含字母相同；（2）相同字母的次数也相同。全解：与是同类项， 解得：=-1题17计算：=_。精析：循环数的特点：提出公因数后进行约分，从而简化计算。全解：=题18若=0，则的值是_。精析：（1）利用因式分解解出a的值。（2）将a值代入分别求原式的值。（3）利用提公因式及ab乘积中，只要有一个为0，则ab=0，巧妙地与已知条件=0相结合。全解：=0a(a+1)=0a=0或a=-1当a=0时，=12当a=-1时，=12题19已知关于x的三次多项式f(x)除以时，余式是2x-3，除以时，余式是-3x-4时，求这个三次多项式。精析：（1）用待定系数法，设出分解公式。（2）用特值法列出方程组，从而确定a,b,c,d这4个系数。全解：设,除以，时，商式分别为ax+m,ax+n,则=()(ax+m)+2x-5 =()(ax+n)-3x+4 在式中分别取x=1,-1时，a+b+c+d=-3 -a+b-c+d=-7 在式中分别取x=2,-2时，8a+4b+2c+d=-2 -8a+4b-2c+d=10 联立，解得：所以所求的三次多项式为=题20(2002年全国初中数学竞赛试题)设ab0，,则的值为（ ）A、 B、 C、2 D、3精析（1）利用已知条件与完全平方公式的联系，找到与所求比值的关系。（2）逆用一下公式。（3）必须做到每一步都有理有据，逻辑严密。全解： /,得=ab0,a+b0,a-b0x,y,z中，至少有一个大于0题22满足=1的整数n有_个。精析：（1）本题结合了两个知识点：1的任何次幂都等于1，除0外的任何数的零次幂都等于1。（2）注意要考虑周全：一是知识点不漏，二是题目中蕴涵的所的条件。全解：=1，(n+2为任意数，n为整数)或n+2=0(，n为整数)解得：n=2,n=-1,n=-2共有3个题23（2002年全国初中数学竞赛湖北赛区预赛试题）已知a是正数，且=1,则等于（ ）A、5 B、3 C、1 D、-3精析：由已知条件求字母a的值，再据条件，确定a只能为一个值，再求代数式的值。全解：=1,且a是正数=0解得a=2,a=-1(舍去)=3题24（2002年湖北初中数学竞赛试题）已知,则=_。精析：拆添项灵活思考是解决整式求值的重要方法之一。全解：=题25（2002年全国竞赛压轴题）如果对一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a,2b,c都是整数；（2）a,b,c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成文，是否对一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数？精析：解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法。证明：（1）对一切x的整数值，x的二次三项式的值都是平方数令x=0，=cc是整数且是平方数令x=1,-1时，是平方数可设=c=(均为整数)-得：2b=- 2b为整数(整数相减为依然为整数)由得：2a=2-2b-2c2a为整数2a,2b,c都是整数；（2）(1)中已证c是整数且是平方数，令x=2,-2时，可设=c=(均为整数)-得：4b=-=（+）（-）=2（2b）2b为整数2（2b）为偶数，则-为偶数（+），（-）同奇同偶则可设（+）=2m,（-）=2n(m,n均为整数)4b=2m2n=4mnb=mnb为整数（4） 令x=1,a=1,b=1,c=1，则=3，而3不是平方数。不一定成立题26（2002年江苏初中数学竞赛试题）如果有理数a,b,c满足ab0c,那么代数式的值（ ）A、必为正数 B、必为负数 C、可正可负 D、可能为0精析：几个有理数相乘除，若有奇数个负数，则为负，有偶数个负数，则为正。全解：=又ab00, 0,a02 B、x2 C、x2 D、x2精析：绝对值的定义是初中的重要概念，此题中考查了负数的绝对值是它的相反数这一条。全解：|x-2|+x-2=0|x-2|=2-x2-x0x2题30（2002年江苏初中数学竞赛试题）已知a,b,c三个数中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果S=(a+n+1)(b+2n+2)(c+2n+3)，那么（ ）A、S是偶数 B、S是奇数 C、S的奇偶性与n的奇偶性相同 D、S的奇偶性不能确定精析：只要S的三个因式(a+n+1),(b+2n+2),(c+2n+3)中有一个偶数，则S就是偶数。全解：a,b,c三个数中有两个奇数、一个偶数，n是整数当a,b为奇数，c为偶数，n为奇数时，S是奇数；当a,c为奇数，b为偶数，n为奇数时，S是偶数；其他情况类同，不必再作讨论，应选D。 蒄蚆肀艿虿蚂聿蒁薂羁肈膁莅袇肈芃薁螃肇莆莃虿肆肅蕿薅膅膈莂袄膄芀薇蝿膃蒂莀螅膂膂蚅蚁膂芄蒈羀膁莇蚄袆膀葿蒇螂腿膈蚂蚈袆芁蒅薄袅莃蚀袃袄肃蒃衿袃芅蝿螅袂莇薁蚁袁蒀莄罿袀腿薀袅袀节莃螁罿莄薈蚇羈肄莁薃羇膆薆羂羆莈荿袈羅蒁蚅螄羄膀蒇蚀羄节蚃薆羃莅蒆袄肂肄蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿蚂聿蒁薂羁肈膁莅袇肈芃薁螃肇莆莃虿肆肅蕿薅膅膈莂袄膄芀薇蝿膃蒂莀螅膂膂蚅蚁膂芄蒈羀膁莇蚄袆膀葿蒇螂腿膈蚂蚈