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瓦里斯问题的解法及其引申陕西省商洛市商南县初级中学 石贵旺（726300）17世纪英国数学家瓦里斯提出一个问题：周长相等的所有矩形中，以正方形的面积最大，证明这个问题的方法很多，这里我们采用二次函数的最大值的方法来解。设矩形的周长为2a， 一边长为x，则另一边长为ax，故矩形面积为Sx(ax)x2ax(x)2可见，当x =时，S最大=此时，另一边长ax=a=. 该矩形是正方形. 这就是说:“周长一定的矩形中，以正方开的面积最大.”利用二次函数把瓦里斯问题层层引申,可得到许多有趣的数学问题.一、靠墙围矩形问题用一定长度的篱笆，靠墙围成一个矩形，问怎样围法才能使面积最大？如图1，设篱笆总长为a，一边长为x，则与墙平行的一边长为a2x，那么矩形面积为S=x(a2x) =2x2+ax=2(x)2+.图1故当x=时，S最大=此时，平行于墙一边的长为 a2x= a2=. 这说明当平行于墙的一边的长度是另一边长度的二倍时，矩形的面积最大.二、三角形内接矩形问题在一个锐角三角形中作一个内接矩形，问怎样才能使内接矩形的面积最大？如图2，设ABC的底边为a，高为h，设DE= x,则AQ=h x.由DG/BC知 ADGABC，=,DG=(hx), 内接矩形DEHG面积为 图2S=x(hx) = x2 +ax=( x)2+,故当x=时，S最大=.由于ABC的面积为ah，上述计算结果表明：当把垂直于底边的矩形的一边取为三角形高的一半时，内接矩形有最大面积，最大面积恰好等于三角形面积的一半。三、圆内接矩形问题在圆内求作一个面积最大的内接矩形，该怎样作呢？如图3，设已知圆的半径为R，内接矩形的一条边长为x，则由勾股定理知另一边长BC= 。那么内接矩形面积为 S=x，则 S2=x2(4R2x2)=(x22R2)24R4. 当x22R2, 即x=R时，S2最大=4R4，即S最大=2R2.此时，另一边长BC= =R，即AB=BC.所以，当内接矩形为一内接正方形时，面积最大为2R2.四、半圆中的矩形问题在半圆内，作一个内接矩形，怎样才能使其面积最大？ 如图4，设半圆半径为R，AB=x，则AO=，那么内接矩形面积为 S=2x,则S2=4x2(R2-x2)S2=4（x2）2+ R4当x2=，即x= R时，S2最大= R4，即S最大= R2.而此时BC=2AO=2=R，它恰好是另一边长的二倍，所以当平行于直径的一边是另一边长度的二倍时，半圆内接矩形面积最大.作者单位：陕西商洛市商南县初级中学.邮编：726300邮箱：shiguiwa
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