向量总复习及相关例题.doc

2003年2004年度第二学期高一数学期末复习资料（第五章向量知识点总结）膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁肈肁蚈螇肇膃蒀蚃肇莆蚆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈袀膁芆薄螆膀葿莆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇膇莃蚀袃膆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂芇蒁薀袁莀蚇衿袀聿蒀袅衿芁螅螁衿莄薈蚇袈蒆莁羆袇膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁肈肁蚈螇肇膃蒀蚃肇莆蚆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈袀膁芆薄螆膀葿莆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇膇莃蚀袃膆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂芇蒁薀袁莀蚇衿袀聿蒀袅衿芁螅螁衿莄薈蚇袈蒆莁羆袇膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁肈肁蚈螇肇膃蒀蚃肇莆蚆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃肄芀薇蝿肃莂莀蚅膂肂薅薁膁膄莈袀膁芆薄螆膀葿莆螂腿膈蚂蚈膈芁蒅羇膇莃蚀袃膆蒅蒃蝿芅膅蚈蚄袂芇蒁薀袁莀蚇衿袀聿蒀袅衿芁螅螁衿莄薈蚇袈蒆莁羆袇膆薆袂袆芈荿螈羅莀薄蚄羄肀莇薀羃节薃羈羃莅蒆袄羂蒇蚁螀羁膇蒄蚆羀艿虿薂罿莁蒂袁肈肁蚈螇肇膃蒀蚃肇莆蚆虿肆蒈蕿羇肅膇莂袃肄芀薇蝿肃莂 向量总复习及相关例题第一节 向量【知识点】：一、向量概念：1、 向量：既有方向，又有大小的量叫做向量；注意向量与数量的区别。2、 零向量：长度为零的向量叫零向量；记作；注意零向量的方向是任意的。3、 单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。，为两个互相垂直的单位向量。4、 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量，相等，记作。二、共线向量： 共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等则一定共线。【相关例题】：1、 下列各量中哪些是向量？哪些不是向量？说明理由（1）、密度 （2）、湿度 （3）、浮力 （4）、价格2、下列命题中不正确的是（ ）A、没有方向B、只与相等C、的模为0 D、与任何向量共线3、下列命题：（1）、向量就是有向线段；（2）、单位向量都相等；（3）四边形ABCD中，是ABCD为平行四边形的充要条件；（4）、若，则；其中正确的命题序号是4、如图：D、E、F分别是正的边AB、BC、CA的中点，则BACDEF1）、与相等的向量有2）、与共线的向量有3）、与模相等但不平行的向量有第二节 向量的加法与减法【知识点】：一、向量的加法：若，则；其几何意义如下表示：，不共线时，反向时，同向时注意：1、; 2、;二、向量的减法：若，则；其几何意义如下表示：，不共线时，同向时，反向时 注意：1、； 2、； 3、;三、向量加减法的运算律：1、交换率： ； 2、结合律： DC四、向量加减法的平行四边形法则：若，则，,；其几何意义如下表示： BA【相关例题】：1、化简下列各式： 1、 2、 3、 4、 5、 6、DC2、如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行的速度和方向；BABACD3、如图，点B是平行四边形ACDE外一点，且，用，表示向量和。E4、 一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的和.5、 飞机从甲地按北偏西的方向飞行到达乙地，再从乙地按南偏东的方向飞行到达丙地，那么丙地在甲地地什么方向？丙地距甲地多远？6、 已知，是非零向量，那么与一定相等吗？为什么？第三节 实数与向量的积【知识点】：一、实数与向量的积： 实数与向量的积是一个向量，记做；它的长度和方向规定如下：1、长度（模）：；2、当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当 时，。二、实数与向量积的运算律： 1、结合律：；2、分配律：；（以上）；三、向量共线定理：利用这些知识可以解决点共线或者线共点的问题定理： ；推广：存在实数，使；四、平面向量的基本定理：定理：如果是同一个平面内的两个不共线的向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得成立；这时我们称不共线向量为这一平面内所有向量的一组基底。注意：在一个平面内基底不唯一，但当基底确定后每一向量都被这个基底唯一表示；【相关例题】：1、化简下列各式： 1)、 2)、2、设两个非零向量和不共线 1)、如果，求证：A、C、D三点共线； 2)、如果，且A、C、D三点共线，求值；FCB3、如图，平行四边形ABCD中，,MH、M是AD，CD的中点，F为BC上一点，且，HAD用、表示，（N为AM与HF交点)；4、 已知，求，和；A5、如图，NM 求证：CBA6、中，,且与边AC相交于点E，的中线AM与DE相交于点N，设，用向量，分别表示向量,.ENDCBM第四节 平面向量的坐标运算【知识点】：一、向量的两种表示：若（基底表示），那么（坐标表示）注：，为两个互相垂直的单位向量。二、向量的坐标运算：1、; 2、； 3、； 4、;三、平行向量的坐标表示：且；【相关例题】：1、 已知，求：（1）、，（2）、，（3）、；2、（1）、已知，求；（2）、已知，求N点坐标；（3）、已知，求M点坐标；NMA3、如图，已知， ，FM、N分别是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与DCBAD交于F，求；4、（1）、已知，且，求的值；（2）、向量，若向量与共线，求的最小值；（3）、已知的方向与的方向相同，且15，求；5、 已知平行四边形ABCD的顶点，求顶点D的坐标。6、 已知点,及，求当，-2，2时，其对应点P的坐标，并在坐标平面内画出这些点。7、证明下列各组点共线（1）、, （2）、,（3）、8 已知,，与是否共线？第五节 线段的定比分点【知识点】：一、线段的定比分点1、设P分的比为，则，其中叫做P分的比，P为的定比分点；2、当时，P在的线段上；此时P为的内分点； 当时，P在的延长线上；此时P为的左外分点； 当时，P在的延长线上；此时P为的右外分点；二、定比分点的坐标公式 设,因为，所以：注意：根据这个公式可以在三个量中，知道两个求第三个；三、中点坐标公式和三角形重心坐标公式：1、中点坐标公式：若，且P为的中点：则 ； 2、三角形重心坐标公式：若的三个顶点坐标为：，为的重心：则； 注意：重心分的中线为2：1的性质；【相关例题】：1、已知，若p在线段上，且，则点的坐标为 A.(0,3) B.(3,0) C.(-3,0) D.(0,-3)2、点p分有向线段的比是3：1，则点分有向线段的比为： A. B. C. D. 3、分的比为，分的比为，则分的比为4、若一次函数的图象与过的直线交于点P，求P分所成的比。5、 已知，求线段和轴交点M的坐标；6、 已知，若点P在直线OA上，且，又P是OB的中点，求点B坐标；7、 已知的边BC、CA、AB的中点分别为，求A、B、C的坐标；8、已知点，点M分有向线段的比为，求点M的坐标 （1）、 （2）、 （3）、8、 已知两点，求点分有向线段的比为及的值。10、一条线段的两个端点的坐标如下，求这条线段的两个三等分的点的坐标： （1）、 （2）、11、已知，求适合下列条件的点P 的坐标；（1）、,点P在线段上；（2）、,点P在线段的延长线上；（3）、,点P在线段的延长线上；第六节 向量的数量积及运算律【知识点】：一、平面向量的数量积： 1、向量与的夹角为，夹角的取值范围是；注：两个向量的夹角要共起点。 2、向量 与的数量积为（也称为点乘）： ； 注意：1、两个向量的数量积为一个实数；2、零向量与任一向量的数量积为0；3、向量数量积的几何意义；注：表示在上的投影；表示在上的投影；二、平面向量数量积的性质： 1、； 2、；（用于判断两向量垂直）； 3、； 注：1）、与同向；与反向； 2）、若则与的夹角为钝角；若则与的夹角为锐角； 4、； 5、；三、平面向量数量积的运算律： 1、交换律：； 2、数乘结合律：； 3、分配律：； （注：平面向量没有结合律）；【相关例题】：1.已知、是三个向量,下列命题中:若=且，则=；若=0，则=或=;若,则=0；向量在的方向上的投影是一模等于|cos|（是与的夹角），方向与相同或相反的一个向量.其中正确命题是 A.1 B.2 C.3 D.42.已知，且（）与垂直，则与的夹角是 A.60o B.30o C.135o D.45o3.在中,0,则的形状是 4.已知向量与的夹角为300,且|=,|=1,求向量=+与=-夹角的余弦.5、已知，与的夹角是，计算： （1）、 （2）、6 已知，且且也互相垂直，求的值；7、 已知向量与的夹角是，且，求向量与的夹角；8、已知, ，求;第七节 向量的数量积的坐标表示【知识点】：一、平面向量数量积的坐标表示： 若；二、向量的长度和两点间距离公式： 1、向量的长度（模）：，则，； 2、若；注：重要结论：1）、 ； 2）、 ；【相关例题】：1、设向量，则下列命题中错误的是 A. B. C. D. 2、已知|=4，|=5，|+|=，求 与 的夹角.3、已知，；求：（1）、，； （2）、， （3）、与的夹角大小；4、已知，当为何值时（1）、与垂直； （2）、 与平行？平行时它们是同向还是反向？第八节 平移【知识点】：一、平移和平移公式： 1、平移的概念； 2、点的平移公式：设是旧点，它按平移后的新点是，则它们的坐标有如下关系： ； 注：应用这个公式可以对新旧点和平移向量三个量中，解决知二求一的问题；二、图形的平移：1、知道新旧两个图象的表达式，可以通过新旧图象上的两个对应点的平移求解平移向量； 2、知道新旧两个图象的表达式，可以运用待定系数法求解平移向量；【相关例题】：1、设点A(a,b),B(c,d)，若径平移得A(2a,2b)，那么B点之新坐标为 A. (2c,2d) B. (a+c,b+d) C. (a+2c,b+2d) D. (2a+c,2b+d)2、若P按平移后得到点，则点P的坐标为 A.（0，0） B.（1，1） C.（3，-3） D.（-3，3）3、已知函数按向量平移后得到函数，那么求函数按向量平移后得到的函数的解析式。第九节 正弦定理、余弦定理【知识点】：一、正弦定理：形式一：；形式二：；（角到边的转换）形式三：，；（边到角的转换）形式四：；（求三角形的面积）解决以下两类问题： 1）、已知两角和任一边，求其他两边和一角；（唯一解） 2）、已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。 若给出那么解的个数为：无解（）；一解（）；两解（）；二、余弦定理：形式一：，形式二：，（角到边的转换）解决以下两类问题：1）、已知三边，求三个角；（唯一解）2）、已知两边和它们得夹角，求第三边和其他两个角；（唯一解）三、角平分线定理： ；其中BD为角B的角平分线。 【相关例题】：1、在ABC中，已知a=5，c=10，A=300，则B等于 A.1050 B.600 C.150 D.1050或150 2、在ABC中，sinAsinB是AB的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3、在ABC中，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc，并且sinA=2sinBcosC,那么ABC是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形4、在ABC中，B=1350,C=150,a=5，则此三角形的最大边长为 ；5、在ABC中，ABC=123，则abc= ；6、在ABC中，已知cos2B+cos2C=1+cos2A，且sinA=2sinBcosC， cosC=sinB.求证：b=c且A=900.60021DCBA7、如图，在四边形ABCD中，AC平分DAB，ABC=600，AC=7，AD=6， SADC=，求AB的长.第十节 解斜三角形的应用举例【知识点】：一、正弦定理、余弦定理在解实际问题中的应用；二、了解实际问题中的一些专用名词： 仰角、视角，俯角，方位角等等三、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决。【相关例题】：BA1、 如图，隔河看两个目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C、D两点，并测得，,，DC，（A、B、C、D在同一个平面内），求两目标A、B之间的距离。POA2、 地面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，且AB20米，在A处测得P点的仰角，在B处测得，又测得,求旗杆的高度h。B北3、 如图，货轮在海上以35n mile/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时B针转到目标方向线的水平角）为的方向航行。为了确定船位，在B点观测灯塔A的方位角，航行半小时后到达C点，观测灯塔A的北方位角是，求货轮达到C点时与灯塔A的距离（精确到1n mile）ACyC4、 如图，我缉私艇在一个岛南偏西的方向，距A小岛12海里的B处，E发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西方向行驶，测得其A速度为每小时10海里，向我缉私艇用多大的速度朝着什么方向航行才能xDB恰在两小时后截获走私船。 膅蒁羈袇莁莇羇罿膃蚅羆膂荿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肂芁芈薄肁羀蒄蒀蚇肃芇莆蚆芅蒂螄蚆羅莅蚀蚅肇薀薆蚄腿莃蒂蚃芁膆螁蚂羁莁蚇螁肃膄薃螀膆莀葿螀袅膃蒅蝿肈蒈螄螈膀芁蚀螇节蒆薆螆羂艿蒂螅肄蒅莇袄膇芇蚆袄袆蒃薂袃聿芆薈袂膁薁蒄袁芃莄螃袀羃膇虿衿肅莂薅羈膇膅蒁羈袇莁莇羇罿膃蚅羆膂荿蚁羅芄节薇羄羄蒇蒃羃肆芀螂羂膈蒅蚈肂芁芈薄肁羀蒄蒀蚇肃芇莆蚆芅蒂螄蚆羅莅蚀蚅肇薀薆蚄