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基本不等式在求最值中的应用与完善杨亚军函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关,而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会.只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。一、 基本不等式的内容及使用要点1、 二元基本不等式：a，bR时，a2+b22ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；a，b0时，a+b2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab ，ab 。对不等式ab ，还有更一般的表达式：|ab| 。由数列知识可知， 称为a，b的等差中项， 称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。2.三元基本不等式：当a，b，c0时，a+b+c ，当且仅当a=b=c时，等号成立，乃至n元基本不等式；当ai0（i=1，2，n）时，a1+a2+an 。二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a0，b0时， 2，a+ 2等。当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a1，0b1，求证：logab+logba-2。解题思路分析：由对数函数可知： ，logba0，因此由 的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。 logab0 2 =2 logab+ -2即 logab+logba-2当且仅当 ，loga2b=1，logab=-1时，等号成立，此时ab=1。例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)2。解题思路分析：这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式：y(x+y+z)+xz=2 =2 =2当且仅当 时等号成立例3、（1）已知x1，求3x+ +1的最小值； （2）已知x，y为正实数，且 =1，求 的最大值； （3）已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W 的最值； （4）已知x0，求函数f(x)=4x+ 的最小值； （5）已知ab0，求函数y=a+ 的最小值； （6）求函数y=x(10-x)(14-3x)的最大值； （7）求函数y=sin2cos，的最值。解题思路分析：这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。（1） 在分式的位置凑出分母x-1，在3x后面施加互逆运算：3原式=(3x-3)+3+ +1=3(x-1)+ +42 =4 +4（2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab 。同时还应化简 中y2前面的系数为 下将x， 分别看成两个因式 （3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单 否则，这样思考：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W2=3x+2y+2 =10+(3x+2y)=20 W （4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。f(x)=2x+2x+ （5）本题思路同（1）：y=(a-b)+b+ （6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消y= (4x)(10-x)(14-3x) = （7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到 =1为常数，应对解析式平方。y0，y2= y 例4、已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y= 的最小值。解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、法一： ， 由a0得，0b15令t=b=1，1t1时，m= 。解题思路分析：分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。令 ，则t ， 2，当且仅当t=1时等号成立 当c1时， 1，t=1在函数定义域（ ，+）内，ymin=2当c1时， 1，1 ,+)，等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。易证函数 在 ，）上递增t= ，x=0时，ymin= 结论：求函数 （a0，b0，xc，+），c0）的最小值时，有下列结论（1） 若c ，当且仅当x= 时， ；（2）若c ，当且仅当x=c时， 。例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。解题思路分析：这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。若设污水池长为x米，则宽为 （米）水池外圈周壁长： （米）中间隔墙长： （米）池底面积：200（米2）目标函数： 例7：求下列函数的最值 （1）,求的最小值，若呢？ 解：，当且仅当即时, 。 若，当且仅当即时, 。 （2）当，求的最小值。 分析：， 当，则，等号取不到。使用基本不等式来求最值，是有条件的，回忆一下，基本不等式有哪些？须满足什么条件？ 答：，当且仅当时等号成立。 ，当且仅当时等号成立。 我们应用基本不等式求最值，通常用（）或它的变形，利用基本不等式求最值须满足三个条件：非负数；和（或积）为定值；等号要成立。例8. 形如的最值问题分析：可令，则，。 可从图象上观察，我们来看它的大致图形： 渐近线为直线和轴，当时,有最低点（2，4）。对和的单调性,我们可加以证明。 解：设，则，在（0，2上单调递减。（0，1是（0，2 的子区间，在（0，1上单调递减。当，即，时，。 总结：当利用基本不等式求解困难时，可利用函数的单调性来求最值。例9.求：的最小值，。 解： 当时，在上单调递减，而当时，在上单调递增。当时，当时，。 例10.求的最小值，。 解：，分类讨论为 当时，在上单调递减，时，； 当时，利用基本不等式，时，； 当时，在上单调递增，时，。例11. 求的最小值，。 解：，分类讨论为： 当时，