《高等数学》问题大类及公式汇总(解答)(2012-12-01).doc

高等数学微积分部分问题汇总及公式知 识 概 要一、函数1、函数的定义域2、简单函数关系的建立3、函数式的变形二、极限1、简单函数的极限计算2、型、型、型3、型三、函数连续1、函数连续的定义式2、初等函数间断点的寻找四、导数与微分及其应用1、几个基本初等函数导数公式2、函数的加、减、乘、除式的求导公式3、复合函数的求导公式4、参数式求导公式5、函数微分的计算方法6、单调性的判定与极值的求法7、求应用问题的最大值或最小值8、曲线凹凸性的判定与求拐点9、曲线的切线与法线方程五、不定积分1、原函数的概念2、不定积分的意义3、函数加、减式的不定积分 4、复合函数的不定积分（第一换元积分法）5、无理函数不定积分（第二换元积分法）6、函数乘积的不定积分（分部积分法）六、定积分及其应用1、定积分与平面图形面积的关系2、积分上限函数的导数公式3、定积分的计算公式（牛顿莱布尼茨公式）4、用定积分计算平面图形的面积典 型 问 题一、函数1、函数的定义域（1）、，必须满足；（2）、，必须满足；（3），必须满足。问题1： 求函数的定义域。，问题2： 求函数的定义域。，2、简单函数关系的建立会计算圆的面积，计算圆的周长，计算长方体的体积，计算圆柱体的体积，计算圆柱体的表面积。3、函数式的变形问题1：已知，求的表达式。 问题2：已知，求的表达式。二、极限1、简单函数的极限计算对简单函数的极限，一般是直接代入计算，或者是直接判断函数的变化趋势。问题1：计算问题2：计算2、型、型、型对这两种类型的问题，不能直接得到结果，但是有一个很好用的方法可以计算其极限，就是“罗比达”法则。问题1：； ； 问题2： ；问题3: ； 3、型 ， 已知结果 问题1： ； 问题2：三、函数连续1、函数连续的定义式 ， 连续满足的数学条件问题1：已知函数在处连续，求k的值。问题2：已知函数在处连续，求k的值。2、初等函数间断点的寻找， 已知初等函数在定义区间内处处连续。问题1：求函数的间断点。，问题2：求函数的连续区间。，3、连续函数的性质问题1：试证明方程在区间内至少有一个实数根。，区间，说明（1）（初等函数），在区间上连续（2）由定理可得结论问题2：试证明方程在区间内有唯一的实数根。，区间，说明（1）（初等函数），在区间上连续（2）（3），在内单调。由定理可得结论四、导数与微分及其应用1、几个基本初等函数导数公式， ， ， ， ， ， ， ， 。2、函数的加、减、乘、除式的求导公式 ， ， ， 问题1：设，求导数。问题2：设，求导数。，问题3：设，求导数。3、复合函数的求导公式 ， 问题1：设，求导数。问题2：设，求导数。问题3：求下列函数的导数；（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）4、参数式求导公式 ， 已知，则导数。问题1：已知，求导数 。问题2：已知，求导数 。5、函数微分的计算方法 ， 已知，则微分。问题1：已知，求微分 。问题2：求下列函数的微分；（1）;（2）;（3） 。（1）;（2）;（3） 。6、单调性的判定与极值的求法记住用导数符号判断单调性的方法，上升，下降的判断方法： ；问题： 求函数的单调区间和极值，驻点7、求应用问题的最大值或最小值问题1： 要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。解：如图所示：设底半径为，高为，则体积，建造费用令，得唯一驻点 所以当底半径为米，此时高为米时，建造费用价最低。问题2：在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。 解：如下图所示（自己要在图上补充必要的字母） 设长方形的面积为S则由题意得：，令，解得（唯一），又根据分析，面积确有最大值。所以要使内接一个长方形的面积最大，长方形的底长为和高。 问题3：要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。解：由于是同种材料，所用材料最省相当于表面积最小。如图所示：设底半径为，高为，则体积表面积 令，得唯一驻点 所以当底半径为米，此时高为米时所用材料最省。问题4：在半径为8的圆内内接一个长方形，为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。 解：如右图所示（自己要在图上补充必要的字母）设长方形的面积为S则由题意得：， 令，解得（唯一），又根据分析面积确有最大值。所以要使内接一个长方形的面积最大，长方形的底长为和高。8、曲线的凹凸性与拐点曲线凹与凸判断方法： 问题： 求曲线的凹凸区间和拐点。，得拐点（0,1）（1，3） 9、平面曲线的切线方程与法线方程问题1：求曲线在处的切线方程问题2：求曲线在点处的法线方程五、不定积分1、原函数的概念问题1：已知的原函数为，则 问题2：已知，= 2、不定积分的意义函数的不定积分是的所有原函数，记为记住几个简单函数的不定积分公式：， ， ， ，3、函数加、减式的不定积分 ， ， 问题1：计算问题2：求下列不定积分（1）；（2）；（3）。（1）；（2）；（3）。4、复合函数的不定积分（第一换元积分法）如果被积函数是复合函数，就应该考虑用还原积分方法问题1：问题2：问题3：问题4：问题5：5、无理函数积分法（第二换元积分法）问题1：令，问题2：令，6、函数乘积的不定积分（分部积分法），常用凑微分公式 ， ， ， 问题1：问题2：问题3：问题4：六、定积分及其应用1、积分上限函数的导数公式 ， 问题1：已知，求，。，问题2：已知，求。问题3：计算极限问题4：计算极限2、定积分的计算公式（牛顿莱布尼茨公式） 问题1：计算定积分问题2：计算定积分问题3：设，计算问题4：计算下列定积分：（1）；（2）；（3）（4）；（5）（1）；（2）；（3）（4）；（5）3、用