北京市中学2015-2016学年度第一学期八年级数学第十二.doc

北京市西城区重点中学2015-2016学年度第一学期 八年级数学第十二章 全等三角形 教材分析 一、本章地位中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式，以及掌握证明几何命题的一般过程由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础二、课程学习目标（1）理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质（2）经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实（“边边边”“边角边”和“角边角”）和定理（“角角边”），能判定两个三角形全等（3）能利用三角形全等证明一些结论（4）探索并证明角平分线的性质定理，能运用角的平分线的性质三、本章知识结构图四、课时安排：共安排11课时（仅供参考）121 全等三角形 1课时122 三角形全等的判定 6课时123 角的平分线的性质 2课时数学活动小结 2课时五、教学建议1 用研究几何图形的基本思想和方法贯穿本章的教学学生在前面的几何学习中研究了相交线与平行线、三角形等几何图形，对于研究几何图形的基本问题、思路和方法形成了一定的认识，本章在教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的思想方法，用几何思想贯穿全章的教学2 让学生充分经历探究过程本章在编排判定三角形全等的内容时构建了一个完整的探究活动，包括探究的目标、探究的思路和分阶段的探究活动教学中可以让学生充分经历这个探究过程，在明确探究目标、形成探究思路的前提下，按计划逐步探索两个三角形全等的条件本章在编排中将画图与探究三角形的全等条件结合起来，既有用尺规画一个三角形与已知三角形全等，又有用技术手段根据已知数据画三角形教学中要充分利用探索画图方法的过程对形成结论的价值，让学生自主探索画图的步骤、创设多种画法、解释作图依据等，在活动中发现结论 3 重视对学生推理论证能力的培养本章是初中阶段培养逻辑推理能力的重要内容，主要包括证明两个三角形全等，通过证明三角形全等从而证明两条线段或两个角相等教学中要在学生已有推理论证经验的基础上，利用三角形全等的证明，进一步培养学生推理论证的能力按照整套教科书对推理能力培养的循序渐进的目标，本章的教学重点是引导学生分析条件与结论的关系，书写严谨的证明格式，对于以文字形式给出的几何命题，从具体问题的证明中总结出证明的一般步骤六、具体内容121 全等三角形【教学重点】1理解全等三角形的概念；2能识别全等三角形中的对应边、对应角； 3初步掌握并能运用全等三角形的性质【教学难点】 在全等三角形中正确地找出对应边、对应角第一课时：全等三角形【参考例题】1下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角2如图1，ADCAEB，求的大小3如图2，EFGNMH，F和M是对应角，在EFG中，FG是最长边，在NMH中，MH是最长边，EF=2.1，EH=1.1，HN=3.3求线段MN及线段HG的长度4如图3，把ABC绕点C顺时针旋转35度，得到ABC，AB交AC于点D，已知ADC=90，则A= 图1图2图3练习:1全等用符号 表示，读作： 2若ABCDEF，则B= ，BAC= ，BC= ， AC= 3判断题1）全等三角形的对应边相等，对应角相等（ ） 2）全等三角形的周长相等（ ） 3）全等三角形的面积不相等（ ） 4找一找 若AOCBOD，AC=_ A_ 若ABDACE，BD BDA若ABCCDA，AB= BAC_5拼一拼请你利用两个全等三角形画出有公共顶点或公共边或公共角的图形有公共边： 有公共点：6如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果PQONMO，则只需测出其长度的线段是APO BPQ CMO DMQ 7如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD=7cm，DM=5cm，DAM=39，则ABC EFD AN=_cm， NM=_cm， NAB=_8ABCFED（1）写出图中相等的线段，相等的角；（2）图中线段除相等外，还有什么关系吗 122 三角形全等的判定【教学重点】1探索判定三角形全等的条件；2利用三角形全等进行简单的证明【教学难点】利用三角形全等的判定方法进行推理论证第二课时：三角形全等的判定SSS (一)【参考例题】1如图，ABAC，BDCD，BHCH，图中有几组全等的三角形它们全等的条件是什么2如图，已知AB=CD，BC=DA你能说明ABC与CDA全等吗你能说明ABCD，ADBC吗为什么练习：1如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD求证：B=D2如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使ABCDEF，还需要添加一个条件是ABCDEFA.BCA=F B. AD=CF C.BCEF D. A=EDF3如图，等腰梯形ABCD中，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为A22 B24 C26 D28 4. （2015广西玉林）根据图中尺规作图的痕迹，先判断得出结论： ，然后证明你的结论（不要求写已知、求证）第三课时：三角形全等的判定SAS (二)【课堂练习】练习一 ：在下列图中找出全等三角形，并把它们用线连起来308 cm9 cm308 cm8 cm8 cm5 cm308 cm5 cm3xm8 cm8 cm5 cm308 cm9 cm308 cm8 cm【例题】1如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断C=D吗说明理由2如图，有池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CDCA，连接BC并延长到E，使CECB连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么ABCD练习：1如图CE=CB，CD=CA，DCA=ECB，求证：DE=AB2如图，AB=AE，AD=AC，BAD=EAC，BC、 DE交于点O 求证：ABC=AED HDFOE OEDCBA3如图，在ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上求证：（1）ABDACD，（2）BE=CE4小明用六根竹签做了一个如图所示的风筝，其中ED=FD，HE=HF小明不测量就能知道EO=FO你知道小明是怎样想的5. (2015杭州)如图，在ABC中，已知AB=AC，AD平分BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM=2MB，AN=2NC，求证：DM=DN 6.（2015燕山毕业）如图，点E，F在线段AC上，ABCD，ABCD，AECF求证：BEDF7. （2015丰台一模）已知：如图，点B，F，C，E在 一条直线上，BFCE，ACDF，且ACDF.求证：B=E. 8. （2015平谷一模）如图，AB=AD，AC=AE，CAD=EAB求证：BC=DE第四课时：三角形全等的判定ASA，AAS (三)【参考例题】1已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，B=C， 求证：BD=CE 2在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm3如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BCDF，C=F，求证：AC=EF练习：1如图，在AEC和DFB中，E=F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：AEDF，AB=CD，CE=BF（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，那么”） ，（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由2如图，在ABC中，点D是AB边上一点， 且，过点作MEBC，交AB于点E求证：ABCMED3. （2015永州）如图，在ABC中，已知1=2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 4. （2015通辽）如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中BAE=BCE=ACD=90，且BC=CE，求证：ABC与DEC全等5.（2015海淀一模）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，A=F，EBC=FCB 求证： BE=CD6. （2015门头沟一模）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，BEDF，A=F，AB=FD求证：AE=FC7. 如图，点O是直线l上一点，点A、B位于直线l的两侧，且AOB=90，OA=OB，分别过A、B两点作ACl，交直线l于点C，BDl，交直线l于点D求证：AC=OD8. （2015西城一模）如图，C=E，EAC=DAB，AB=AD求证：BC=DE 9. （2015昌平二模）如图，求证：10. （2015海淀二模）如图，已知BAC=BCA，BAE=BCD=90，BE=BD求证：E=D11. （2015朝阳二模）已知：如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，BECE于点E，ADCE于点D.求证：BE=CD第五课时 ： 全等三角形的判定（四）HL 【参考例题】练习：1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗请说明你的理由2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水 平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角ABC和DFE的大小有什么关系3求证：有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等4如图6，A，F和B三点在一条直线上，CFAB于 F， AFFH， CFFB求证： BEAC第六课时：全等三角形的习题课【复习小结】全等的常见图形判定两个三角形全等的方法有：_.【练习】1如图，在ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF添加一个条件，使得BDFCDE，并加以证明你添加的条件是 （不添加辅助线）2在RtABC中，ACB=90，BC=2cm，CDAB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EFAC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，求AE3如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，B=C求证：BE=CD4.如图，点B在射线AE上，CAE=DAE，CBE=DBE求证：AC=AD5如图，点A、B、D、E在同一直线上，AD=EB，BCDF，C=F求证：AC=EF6. （2015宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：ACBD；AO=CO=AC；ABDCBD，其中正确的结论有（） A0个B1个C2个D3个123 角的平分线的性质（一）【教学重点】1探索并证明角的平分线的性质定理及其逆定理；2能用角的平分线的性质解决简单问题【教学难点】 利用角的平分线的性质定理解题【参考例题】图1图21如图1，AB=AC，BD=CD，DEAB于E，DFAC于F 求证：DE=DF2如图2，D、E、F分别是ABC的三边上的点，CE=BF，DCE和DBF的面积相等 求证：AD平分BAC练习：1已知ABC中，A=80，B和C的角平分线交于O点，则BOC= 2如图，已知相交直线AB和CD，及另一直线EF如果要在EF上找出与AB、CD距离相等的点，方法是 ，这样的点至少有 个，最多有 个3.如图所示，已知ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB，交BC于点D，DEAB于点E，且AB=6 cm,则DEB的周长为A.9 cmB.5 cmC.6 cmD.不能确定4.如图，AB/CD，CE平分ACD，若1=250，那么2的度数 是 .OBAP5如图，OP平分，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是A B平分C D垂直平分6. （2015永州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得SPAB=SPCD，则满足此条件的点P（）A有且只有1个B有且只有2个C组成E的角平分线D组成E的角平分线所在的直线（E点除外）角平分线的性质（二）【复习】 1如图所示，在ABC中，A90，BD平分ABC，AD2 cm，则点D到BC的距离为_cm 2如图，在ABC中，C900，BC40，AD是BAC的平分线交BC于D，且DCDB35，则点D到AB的距离是 3如图，已知BD是ABC的内角平分线，CD是ACB的外角平分线，由D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线DE、DF和DG，垂足分别为E、F、G，则DE、DF、DG的关系是 4.AD是BAC的角平分线，自D向AB、AC两边作垂线，垂足为E、F，那么下列结论中错误的是 ADE=DF BAE=AFCBD=CDDADE=ADF5如图，已知ABCD，O为A、C的角平分线的交点，OEAC 于E，且OE=2，则两平行线间AB、CD的距离等于 6到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A三条中线的交点B三条高的交点C三条边的垂直平分线的交点D三条角平分线的交点【例题】1如图，已知ACBD、EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗请说明理由2在ABC中，B=60，A，C的角平分线AE，CF相交于点O，（1）如图1，若AB=BC，求证：OE=OF；（2）如图2，若ABBC，试判断线段OE与OF是否相等，并说明理由练习：1.如图，已知BDAE于B，DCAF于C，且DBDC，BAC40o，ADG130o，则DGF_ (1题图) （2题图） （3题图）2如图，在ABC中，C90o，AM是CAB的平分线，CM20cm，那么M到AB的距离为 3.如图，BC90o，M是BC上一点，且AMD90o，DM平分ADC，求证：AM平分DAB4.如图，BDCD，BFAC，CEAB求证：D在BAC的角平分线上 （4题图） （5题图） （6题图）5.已知：如图，RtABC中，C90o，ACBC，AD为BAC的平分线，AEBC，DEAB垂足为E，求证DBE的周长等于AB6.如图，已知PAON于A，PBOM于B，且PAPBMON50o，OPC30o，求PCA的大小专题练习1：常见辅助线1.倍长中线法【例1】如图，ABC中，AD为中线(1)求证：AB+AC2AD；(2)若AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_【例2】如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点试比较BE+CF与EF的大小练习：1.已知：如图，AD是ABC的中线，AB=AE，AC=AF，BAE=FAC=90. 试探究线段AD与EF数量和位置关系. 提示： 2如图，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E， 提示：交AD于F，且AE=EF求证：AC=BFABCDEFG2. 截长补短法【例1】如图，ADBC，EA，EB分别平分DAB，ABC，CD过点E求证：ABAD+BC【例2】如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADCD，BD平分，求证： 练习：1. 已知: 如图，在ABC中，AB = AC，D为ABC外一点， ABD = 60， ADB = 90 -BDC. ABCD ABCDE求证: AB = BD + DC 提示：3.借助角平分线造全等【例1】如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD，CE相交于点O，求证：OE=OD【例2】如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1） 说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.练习：1.已知ABC中，B=2A，AB=2BC求证：ABC是直角三角形.ABC 提示： 4.三垂直问题基本图形：ABCFDE【例1】如图，ABC90，ABBC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F， 求证：ABECBFACEDB练习：如图，已知ACAB，D