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常青藤家教网/-免费找家教第一章 集合第1 节 集合与集合的运算知识点精讲一、集合有关概念1某些指定对象的部分或全体就成为一个集合构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他对象2 集合元素的特征(1)确定性：集合的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合的元素(2)互异性：集合中任何两个元素都是不相同的，即同一个元素在同一个集合中不能重复出现(3)无序性：集合与组成它的元素的顺序无关二、集合与集合的关系l 元素和集合之间的关系有属于“”和不属于“”两种集合与集合之间的关系( l )包含关系子集：如果aA aB ，则集合A 是集合B 的子集记为AB 或BA 显然AA ，A ( 2 )相等关系对于两个集合A 与B 如果A B 同时BA ，那么集合A 与B 相等记作A =B(3) 真子集关系对于两个集合A 与B ，若AB 且AB 则集合A 是集合B 的真子集记作AB三、集合的运算1交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作AB， 即2并集 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的并集记作AB， 即3补集已知全集I，集合A 由I中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在集合I中的补集记作A 四、集合运算中常用的结论1集合中的逻辑关系设全集U，空集是(1)空集的性质( 2)交集的运算性质，；( 3 )并集的运算性质；(4)补集的运算性质(5)分配律、结合律A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)(6)反演律(摩根法则)，口诀：交之补等于补之并，并之补等于补之交2 由n个元素组成的集合，其子集个数为2n个，非空子集个数有2nl 个，真子集个数有2n1个非空真子集个数有2n2个五、求解集合命题应注意事项( 1 )对于集合问题首先要确定属于哪类集合(数集，点集或某类图形)然后再确定处理此类问题的方法( 2 )关于集合的运算应把各参与运算的集合化简整理，然后进行运算( 3 )空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集，在解题中应特别注意(4)建立数形结合的解题意识题型归纳及思路提示题型1 集合的基本概念【例ll1】己知A =，1 ，求实数A的值【分析】由1A 可得分别求出a并进行检验确定a的值【详解】由于1A，所以a+2=1，或(a+1)2=1或a2+3a+3=1(1)若a+2=1，则a=1，代入原集合检验，不合(2)若(a+1)2=1，则a=0或a=2，代入原集合检验知， a=0(合题意)，a=2(不合题意)( 3 )若a2+3a+3 =1 ，则a=1 或a=2 由(1)(2)知a =1或a=2都不符合题意，所以a的值为0【评注】 求解过程中，每类得出的a都必须检验是否满足集合元素的互异性，这一点易被忽略【变式1】若A=1，3，x，B=x2，1，且=A，则这样的x的不同取值的个数有( )A2 B3 C4 D5【详解】由已知得，所以则知(检验合题意)综上知，共有三个值，所以选B【评注】求解过程中一定要考虑全面，同时注意集合元素的互异性【变式2】 已知集合，若，则的值是 【分析】要求的值，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同以及集合元素的确定性、互异性、无序性建立关系式【详解】分两种情况进行讨论(1)若 消去b得：，当时，集合中的三个元素的均为零，与集合元素互异矛盾，解得，这时集合中三个元素又相同，(2)若由(1)知解得【点评】集合元素的三性是集合概念的重要组成部分，特别是元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题失败这需要养成解题后检验的习惯，以修正问题的结论【变式3】 设集合A=，B=，则AB的子集的个数是( )A 4 B3 C2 D1【详解】由题意知AB中有两个元素，所以AB的子集的个数是4个，故选A【变式4】 以集合U=的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：(1)a、b都要选出；(2)对选出的任意两个子集A和B，必有，那么共有 种不同的选法【答案】36【变式5】 设是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= 【详解】 考查等价转化能力和分析问题的能力，等比数列的通项有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= 9【变式6】已知集合M=0，1，2，3，4，N=1，3，5，P=M，则P的子集共有（ ）（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个答案:B【变式7】已知全集U=R，集合，那么(A)() (B)() (C)（-1，1) (D)【解析】：，故选D题型2 集合的基本运算思路提示：判断集合的关系常有两种方法，一是化简集合，从表达式中寻找两集合的关系二是用列举法来表示各集合，从元素中寻找关系 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常用数轴，Venn图【例131】设A=x|x28x+15=0 B=x|ax1=0，(1) 若，试判断集合A 与集合B的关系(2)若BA 求实数A组成的集合C 【分析】(1)先解出集合A ，由a=1/5确定集合B， 进而确定A 与B 的关系(2)解方程ax1=0，建立a的关系式，求出a的值，从而确定集合C 【详解】(1)由x28x+15=0解得，A=3，5若a=，由ax1=0，可得x=5，所以B=5，可见(2)由A=3，5及，若B=，可得a=0若B，则a0，由ax1=0，得，所以或，即或故C=0，【评注】含参的一元一次分程ax=b的解的确定：当a0时，方程有唯一实数根x=a/b；当a=b=0时，方程有无穷多解，任意实数都是它的根；当a0 且b0时方程无实根【变式1】 设，函数若的解集为A，求实数a的取值范围【详解】当时，由得这时由得易得(i)当时，有或解得(ii)当时，综上分析得解得综上分析，使成立的a的取值范围是【变式2】已知集合，若，求实数的取值范围 【详解】，由，得解得的取值范围是或【变式3】 设集合A，B若，则实数必满足( )(A) (B) (C) (D)【答案】D【详解】由题意可得：，对集合B有 或，因为，所以有或，解得或，即，选D【例121】设集合则之间的关系是( )A B C D 【分析】判断集合间的关系，要从元素入手，对元素的结构特征进行分析，寻找异同【详解】解法一：列举法：，选B解法二：比较法：，是奇数，而仍是一个整数，选B解法三：数形结合法：把中的元素看成是以弧度为单位的角的集合，将其终边的平面直角系中的位置画出来，直观地看到的关系(如图1)选B(图中蓝色的部分为集合所包含的元素)【评注】三种解法在把握集合元素特征上体现了不同的思维方法方法一是采用列举法，使元素明朗化，方法二是从结构上的异同入手，分析整数的奇偶性，方法三是换一个角度看待元素，同时利用了数形结合的数学思想，直观明了【变式1】 设集合，集合，则集合A、B的关系是 【分析】反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的，因此，在判断集合间关系时，应回到元素与集合的关系中去【详解】任取，又任取，由上分析得出【变式2】 Ax | x4n，nZ，Sx | x2n，nZ，求S A【详解】一个偶数可能是4的倍数，也可能是被4除余2的数，SA x | x 4n2，nZ【变式3】 P x | x2n1，nZQ x | x4k1，kZ，则 A PQ B PQ C PQ D PQ【详解】解法一：一个整数被4除有4种情况，4n，4n1，4n2，4n3，PQ选C解法二：P 5，3，1，1，3，5 ， Q 5，3，1，1，3，5 PQ【变式4】已知则满足的关系是( ) ()()()【详解】对于集合：，对于集合：对于集合由于所以，故选B.【变式5】 已知全集U=R，集合M=x|x1|2，则( )(A)x|1x3 (B)x|1x3 (C)x|x3 (D)x|x1或x3【详解】因为集合，全集，所以，故选C【变式6】 设集合A，B若，则实数必满足( )(A) (B) (C) (D)【详解】由题意可得：，对集合B有 或，因为，所以有或，解得或，即，选D【变式7】 集合，则=( )(A) 1，2 (B) 0，1，2 (C)x|0x3 (D) x|0x3【详解】因为，所以=0，1，2，故选B【变式8】 已知A，B均为集合U=1，3，5，7，9的子集，且AB=3，(BA=9，则A=( )(A)1，3 (B)3，7，9 (C)3，5，9 (D)3，9【详解】作出Venn图，可见选D题型3 集合的运算【例131】设集合M=(x，y)|x2+y2=1，xR，yR， N=(x，y)|x2y=0，xR，yR，则集合中的元素个数为( )【详解】如图， 集合M表示以原点为圆心，以1 为半径的圆，集合N 表示顶点为原点开口向上的抛物线故MN 为两个交点故选B 【变式1】已知集合，则( )A (0，1)，(1，2) B C D 【分析】集合A、B是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对，因此分别表示函数的值域，求即求两个函数值域的交集【详解】集合，所以选C【评注】本题易错选B，这是由于在集合概念理解上，仅注意了构成集合元素的共同特性，而忽视了集合元素是什么事实上A、B的元素是数而不是点，因此A、B是两个数集而不是点集集合是由元素构成的，所以，认识集合要从认识元素开始看下面集合，有何不同？【变式2】已知集合，若，求实数、的值【详解】由得，或，又，且，和是方程的根，由韦达定理得：，【变式3】已知集合A(x，y)|ax+y=1，B=(x，y)|x+ay=1，C=(x，y)|，试问：(1)当a取何值时，为含有两个元素的集合？(2)当a取何值时，为含有三个元素的集合？【详解】由于(AB)C=(AC)(AB)，而AC为方程组(1)的解集；BC为方程组(2)的解集方程组(1)的解集为(0，1)，,方程组(2)的解集为(1，0)，.(1)若中恰有两个元素，只有两种可能：或解得a=0或a=1(2) 若恰有三个元素，只有，a=【例l32】设集合A=x|2x13， B=x|3x2，则等于( )Ax|3x1 Bx|1x3 Dx|x1【分析】凡是遇到集合为数集时，集合间的运算多用数轴解决【详解】集合A，B在数轴上表示为故选A【评注】对于集合的运算利用数形结合的方法解题较为方便【变式1】 设集合则( )A B C D 【详解】选B【变式2】 已知集合则( )A B C D 【详解】依对数函数的单调性得：用数轴表示得选D【例l33】已知集合则=( )A B C D 【分析】集合M、N均是坐标形式的向量集合，两个集合中的并非同一个值，两个集合的代表元素均是有序实数对【详解】由(1，2)+(3，4)(2，2)+2 (4，5)得方程组 则选C【评注】本题的两个集合实际上是以向量形式给出的两条直线上的点的集合如集合M中，如设，则有 消掉得，我们所求的就是两条直线的交点坐标【变式1】 设函数的集合 平面上点的集合则在同一直角坐标系中，中函数的图像恰好经过Q中两个点的函数的个数是( ) (A)4 (B) 6 (C)8 (D)10【答案】B【例134】设A=(x，y)|y2x1=0，B=(x，y)|4x2+2x2y+5=0，C=(x，y)|y=kx+b，是否存在k、bN，使得(AB)C=，证明此结论 【分析】由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、kN，进而可得b、k的值 【详解】(AB)C=，AC=且BC=, k2x2+(2bk1)x+b21=0.AC=,1=(2bk1)24k2(b21)0. 4k24bk+10，即 b214x2+(22k)x+(5+2b)=0, BC=，2=(1k)24(52b)0,k22k+8b190， 从而8b20，即 b2 5 由及bN，得b=2代入由10和20知，方程只有负根，不符合要求 当m1时，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在区间(0，1内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 故所求m的取值范围是m1 题型4 集合的创新型问题【例141】设S为复数集C的非空子集若对任意，都有，则称S为封闭集下列命题：集合Sabi|(为整数，为虚数单位)为封闭集；若S为封闭集，则一定有；封闭集一定是无限集；若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集 w_w w k#s5_uc o*m其中真命题是 (写出所有真命题的序号)【详解】直接验证可知正确当S为封闭集时，因为xyS，取xy，得0S，正确对于集合S0，显然满足素有条件，但S是有限集，错误取S0，T0，1，满足，但由于011T，故T不是封闭集，错误【答案】【变式1】设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为MP=x|x，则M(MP)= ( )AP B C D【详解】画出Venn图，可以看出选B【变式2】定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为( )A0 B2 C3 D6【分析】本题为一个新定义题目，要依据题中给出的的定义，求出集合，再进一步求解【详解】当时，故选D【评注】近年来，新定义问题已成为高考命题的一大亮点，此类问题一般难度不大，需严格根据题中的新定义求解即可，关键是读懂题目，切忌同脑海中已有的概念或定义相混淆【变式3】 设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )A三角形区域 B四边形区域 C五边形区域 D六边形区域【答案】D【详解】如图，A、B、C、D、E、F为各边三等分点，答案是集合S为六边形ABCDEF，其中，即点P可以是点A【评注】 本题主要考查集合与平面几何基础知识本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学习潜力，考查分析问题和解决问题的能力 属于创新题型【变式4】 设A是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是A的一个“孤立元”，给定，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个【答案】6【详解】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力 属于创新题型 什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与相邻的元素故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：共6个故应填6【例142】已知集合A=(k)，其中()，由A中的元素构成两个相应的集合，其中(a，b)是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m，n若对于任意，总有一，则称集合A具有性质P(I)检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；(II)对任何具有性质的集合，证明：；(III)判断和的大小关系，并证明你的结论【详解】(I)解：集合不具有性质集合具有性质，其相应的集合和是，(II)证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个因为，所以；又因为当时，时，所以当时，从而，集合中元素的个数最多为，即(III)解：，证明如下：(1)对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，(2)对于，根据定义，且，从而如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由(1)(2)可知，【变式1】已知集合对于，定义A与B的差为A与B之间的距离为()证明：，且;()证明：三个数中至少有一个是偶数() 设P，P中有m(m2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：(P).【详解】证明：(I)设，因为，所以, 从而又由题意知，.当时，;当时，所以(II)设，.记，由(I)可知所以中1的个数为，的1的个数为.设是使成立的的个数，则由此可知，三个数不可能都是奇数，即,三个数中至少有一个是偶数.(III),其中表示中所有两个元素间距离的总和，设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则=, 由于, 所以从而.【变式2】 函数，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)=y|y=f(x)，xP， f(M)=y|y=f(x)，xM给出下列四个判断，其中正确判断有 ( )若PM=，则f(P)f(M)= 若PM，则f(P)f(M)若PM=R，则f(P)f(M)=R 若PMR，则f(P)f(M)R(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B【详解】方法一：取P=(0,+ ),M=(,0),此时有PM=空集,而f(P)f(M)=(0,+)不等于空集,所以不正确.但PM不等于空集,则由函数的定义可得PM=0,此时f(P)f(M)不等于空集.所以正确.同理可取取P=0, +),M=(,0),此时有f(P)f(M)=0, +)不等于R集,所以不正确.对于可以用逆否命题验证.若f(P)f(M)=R,则P=(,0)且M=0, +),或P=(,0且M=(0, +),或P=(,0且M=0, +),都有PM=R,所以正确.方法二：若P=l,2,3,M=3，2，1，则f(P）f(M),所以f（P）f(M)，不正确；PM，则由函数定义知，PM只有一个公共元素0，则f（P）、f(M)都含有0，所以正确；由PM=R知，若P=(，a),M=a,），则f（P）(a,）,f（M）|a|,），所以f（P）f(M)(a,），所以错误； 正确，用反证法，假设f(P)f（M）R；由PMR知，存在xPM，即xP且x M，则xf(P）且xf（M），由假设得xf（M），xf（P），由定义得xM，xP，则xPM，由函数的定义知x0,x0，则0 f（P）且0 f（M）,即O f（P）f(M)这与f（P）f(M)R矛盾，假设不成立，原命题成立。答案：【评注】这是2004年北京卷第8题，既考察基本概念,更考察理解学习能力,分析判断能力，是难得的好题。【例143】对于函数y = f (x)，若f (x) = x，则称x为函数y = f (x)的“不动点”；对于函数y = f (x)，若f f (x) = x，则称x为函数y = f (x)的“稳定点” 记函数y = f (x)为“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B；即A = x| f (x) = x，B = x| f f (x) = x(1)求证AB；(2)若f (x) = ax2 1 (aR，xR)，且A = B，求实数a的取值范围【分析】问题实质是方程问题，关键是利用方程理论借助集合思想分析求解，同时注意空集情况讨论【详解】(1)若A =，则AB显然成立若A，设tA，则f (t) = t，因此f f (t) = f (t) = t，则tB，从而AB(2)A中元素是方程f (x) = x，即ax2 1 = x的实根，由A知a = 0或，则a而B中元素是方程f f (x) = x，即a (ax21)2 1 = x，整理得a3x4 2a2x2 x + a 1 = 0的实根由AB，知上述方程左边含有因式ax2 x 1 则方程可化为：(ax2x1)(a2x2+axa+1) = 0，因此，要A = B即要方程a2x2+axa+1=0 要么没有实根，要么实根是方程ax2 x 1 = 0的根若没有实根，则= a2 4a2(1 a)0得a若有实根，且是的根，则由有ax2 = x + 1代入得a (x + 1) + ax a + 1 = 0即2ax + 1 = 0，x =代入得=0，a =故a的取值范围是【评注】判断两集合之间的关系，常用的方法有：一是将集合中的元素都一一列举出来，或者用描述法(统一形式)表示出来，再来探寻两集合的元素属性之间的关系，二是借助韦恩图，数轴或坐标平面来探寻两集合之间的关系理解集合语言，明确集合元素的基本属性，运用集合思想是转化、化归集合综合问题的关键和问题解决的切入点集合问题常用转化结论有：AB = AB A，AB = AA B【变式1】对于集合，及它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数如：集合的“交替和”是96+42+16，集合的“交替和”是5当集合时，其所有非空子集为，则它的“交替和”的总和是，请你尝试对于的情况，计算它们的“交替和”的总和 ， 【分析】认真阅读题目，理解“交替和”的定义，同时还要准确地写出集合的所有非空子集【详解】当时，其非空子集有同理可求【变式2】记实数中的最大数为，最小数为min已知的三边边长为、()，定义它的倾斜度为则“t=1”是“为等边三解形”的( )A，充分布不必要的条件B必要而不充分的条件C充要条件D既不充分也不必要的条件【答案】B【详解】若ABC为等边三角形时，即a=b=c，则则l=1；若ABC为等腰三角形，如a=2，b=2，c=3