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啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊解决数学问题的过程是一个复杂的思维过程,所以一题多解的根源也是多方面的,归纳起来有以下四个方面,即:观察题目的角度不同,解题的思维方式不同,解题过程的局部变更.啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊论一题多解的根源啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊论一题多解的根源东北师范大学附属实验学校金钟植文章摘要:一题多解是数学解题过程中普遍存在的思维现象,所以对这种思维现象产生的根源的研究将促进我们对数学能力培养方面的研究。本文从四个方面论述了产生一题多解的根源,即:观察题目的角度不同,解题的思维方式不同,解题过程的局部变更和题目的形式不同。关键词:根源;思维;观察;结构;信息;变更。在解决数学问题的过程中,一题多解是普遍存在的思维活动,这不仅能激发学生的学习兴趣,调动学习的积极性,而且对培养学生的数学能力有独到的好处,所以产生这种思维活动的根源的研究对数学能力的研究起促进作用。本文就产生一题多解的根源,略谈拙见。解决数学问题的过程是一个复杂的思维过程,所以一题多解的根源也是多方面的,归纳起来有以下四个方面,即:观察题目的角度不同,解题的思维方式不同,解题过程的局部变更和题目的形式不同。需要说明的是:以上4个方面也不是独立的,但为了研究的方便,暂时把各自独立起来。1 观察题目的角度不同从解题的思维过程看,观察题目是思维启动的开始,所以对有些题目,从不同的角度去观察其结构,会产生不同的解法,其中主要有:对题目相关的知识观察的角度不同和对题目的结构特征观察的角度不同。11 观察题目相关知识角度的不同 对同一个数学题,可运用不同的知识去解决,选择运用哪些知识去解决,取决于观察题目相关知识的不同角度,这说明了数学知识之间的相互联系,这种联系能使我们运用不同的数学知识解决同一个问题。111 同一知识块的知识同一知识块之间存在着联系,在分析题目时,由于这种联系,观察到的相关知识可以随观察的角度不同而不同,进而产生一题多解。例1 在中,求证:观察这个题目的已知和结论后,由观察到的相关知识:正弦定理或余弦定理,可联想到:(1) 运用正弦定理把边(已知)转化为角(结论)(2) 运用余弦定理把角(结论)转化为边(已知)(3) 同时运用两个定理把角(结论)转化为边(已知)三种证法略述如下:证法(一):由已知和运用正弦定理得运用三角形内角和定理和三角公式将等式可化为。*运用余弦定理和差角公式展开两边并整理得证法(二):易知都是锐角,所以由正切半角公式得运用余弦定理将左边中的角化为边并化简得又: 证法(三):由正切的半角公式得 运用正弦定理和余弦定理把右边的角转化为边并整理得 余下步骤与证法(二)相同112 不同知识块的知识在数学知识中,不属于相同知识块之间也存在着联系。在分析题目时,由于这种联系,观察到的相关知识可以不同,产生一题多解。平面几何知识、三角知识和代数知识之间的联系属这种联系。例2已知平面内并列的三个相同的正方形。123求证: 观察这个题目后,观察到的相关知识因观察的角度不同,可能是平面几何知识(相似)、三角知识(和角公式)或代数知识(复数)。证明部分从略。12 观察题目结构特征的不同 解题思路的获得的前提是观察题目的结构特征,从这个结构特征中捕捉有用的信息,即可引起联想的信息。如果观察同一题目结构特征的角度不同,捕捉到有用的信息就不同,进而产生一题多解。121 结构的外形特征有些题目因观察其结构的外形特征的角度不同,产生一题多解,例3 求证:观察这个题目的外形结构特征可有如下的不同角度:1 左边结构(1) 从代数结构角度(化积): (2) 从幂的结构角度(降幂): 2 右边结构(1) 从角的和差结构角度: (2) 从积的结构角度:由于以上4种不同的观察角度相应地有4种证法(证明过程从略)122 结构的内在特征有些题目虽不能多方位地观察到其结构的外形特征,但通过观察和联想,可挖掘出不同结构的内在特征,进而产生一题多解。例4 已知: 求:按不同角度观察其结构的内在特征,并转化为以下不同的外形特征:(1) 已知:求:(2) 已知:求:(3) 已知:一个菱形的边长为1,一条对角线长也为1。求:这个菱形的另一条对角线长(4) 已知:求的值2。解题思维方式的不同在1。2中提到的捕捉到有用的信息与大脑中原有的信息的有效结合形成解题思维。在这种有效结合过程中,由于结合的方式不同,产生一题多解,既解题思维方式的不同产生一题多解。例如:例1的证法(一)和后两种证法的思维方式是不同的,证法(一)运用的是综合法,后两种运用的是分析法。一些代数不等式的证明问题,虽然观察到的是相同的结构,但可以分别运用比较法、综合法、分析法和反证法证明。例5(1983年高考题)已知椭圆长轴,焦距,过椭圆焦点作一直线,交椭圆于两点,设,当取何值时,等于椭圆的短轴长?观察这个题目后,可形成如下的三种不同的解题思维方式:思维方式(一):直角坐标法;思维方式(二):参数法;思维方式(三):极坐标法。3解题过程局部的变更一题多解的思维过程体现了解题的灵活性和多向性。由于思维的个性差异、解题过程的复杂性,在灵活性和多向性的背后存在着以下事实:(1) 一个题目的多种解法中,有些解法的主题思路一致,但由于局部过程选择的知识和方法的不同,出现解题过程局部的变更。(2) 解题后的再思考引起局部过程变更。其中(1)属无意识变更,(2)属有意识变更(二者有时不能严格区分)。由以上的两种变更必然会引起一题多解。下面由本文中的例题来列举说明:列举1:例5的解法(一):在得到关于的一元二次方程后,过程(一):解方程的,过程(二):不解方程,利用韦达定理。列举2:例1的证法(一)的步骤*中,可运用合分比性质变更局部过程。列举3:例1的证法(三)是证法(二)的过程的局部变更的结果。4。题型的不同目前数学题型共有三种:选择题、填空题和解答题。其中有些选择题和填空题除了它们作为解答题的一般方法之外,根据其形式的特殊性,有其特殊的解法,笔者认为这也应该是一题多解的根源之一。这两种形式的有些题目之所以有其特殊的解法是因为其解题的思维过程可以简缩。例6 在 中,则解法(一):可令则原式其他解法略。例7 (1997年高考题) 满足 的的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)解法(一):可排除(A)、(B),又不是原不等式的解,排除(C)。故选(D)。 数学解题就是解题者在数学思想和方法指导下,运用数学基础知识和基本技能分析,解决数学问题的过程。笔者认为,数学思想和方法的一个主要方面是转化,一题多解是在选择不同的转化依据和转化途径解决同一个数学题目的结果。其中主要的转化依据和转化途径正是本文所浅述的“一题多解的根源”。主要参考文献:1杨述文:谈谈数学解题的教与学问题,数学通报,1995(九)2罗增儒:数学的领悟,河南科学技术出版社,1997。(本文曾公开发表于数学通报,1998年9月的第九期)啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊论一题多解的根源啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊解决数学问题的过程是一个复杂的思维过程,所以一题多解的根源也是多方面的,归纳起来有以下四个方面,即:观察题目的角度不同,解题的思维方式不同,解题过程的局部变更.啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊

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