新课标人教A版数学必修4全套教案.doc

第一章 三角函数4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入 同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。二、新课1回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0360角的概念，它是如何定义的呢？B O A 图1生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫的顶点。 师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转说明旋转第二周、第三周，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法2.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角。其中射线OA叫角的始边，射线OB叫角的终边，O叫角的顶点。3正角、负角、零角概念师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。师：如图3，以OA为始边的角=-1500，=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为. 4.象限角师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？ 生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。答：1.不行，始边包括端点（原点）；2端点在原点上；3不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；师：（2）锐角就是小于900的角吗？生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；师：（3）锐角就是00900的角吗？ 生：锐角：|00900；00900的角：|00900.学生练习（口答）已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？（1）4200；（2）-750；（3）8550；（4）-5100.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.终边相同的角的表示法师：观察下列角你有什么发现? 390 -330 30 1470 -1770生:终边重合.师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=23600+300；-6900=-23600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：33600+300-33600+30043600+300-43600+300，由此，我们可以用S=|=k3600+300，kZ来表示所有与300角终边相同的角的集合。师：那好，对于任意一个角，与它终边相同的角的集合应如何表示？生：S=|=+k3600，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。6.例题讲评例1 设， ，那么有（D ）ABC（ ）D 例2用集合表示：（1）各象限的角组成的集合（2）终边落在 轴右侧的角的集合解：(1) 第一象限角：|k360ok360o+90o,kZ第二象限角：|k360o+90ok360o+180o,kZ第三象限角：|k360o+180ok360o+270o,kZ第四象限角：|k360o+270ok360o+360o ,kZ（2）在 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠例3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是_|k360o+120o ,kZ ；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_45o,225o_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是_|k360o45ok360o+120o ,kZ练习： （1）请用集合表示下列各角 间的角 第一象限角 锐角 小于 角解答（1） ； ； ； （2）分别写出：终边落在 轴负半轴上的角的集合；终边落在 轴上的角的集合；终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；终边落在四象限角平分线上的角的集合解答（2） ； ； ； 说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 例4在 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角（1） ；（2） ；（3） 解：（1） 与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；（2） 与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；（3） 所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角 总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值练习： （1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_（2）集合M=k，kZ中，各角的终边都在（C ）A轴正半轴上，B轴正半轴上，C 轴或 轴上，D 轴正半轴或 轴正半轴上（3）设 ， C|= k180o+45o ,kZ ， 则相等的角集合为_BD，CE_三.本课小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法四.作业:4-1.1.1任意角（2）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、复习师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。生：略师：上节课我们还学习了所有与角终边相同的角的集合的表示法，板书S=|=+k3600，kZ这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。二、例题选讲例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-36007200的元素写出来：（1）600；（2）-210；（3）363014，解：（1）S=|=600+k3600，kZS中适合-36007200的元素是600+（-1）3600=-3000600+03600=600600+13600=4200.（2）S=|=-210+k3600，kZ S中适合-36007200的元素是-210+03600=-210-210+13600=3390-210+23600=6990说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。（3）S=|=363014，+k3600，kZS中适合-36007200的元素是363014，+（-2）3600=-356046，363014，+（-1）3600=3014，363014，+03600=363014，说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。例2写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即，然后在后面加上k3600即可。解：（1）在0360间，终边在x轴负半轴上的角为1800，终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是|=1800+k3600，kZ （2）在0360间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，与900角终边相同的角构成的集合是S1=|=900+k3600，kZ 同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2=|=2700+k3600，kZ 提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：S1=|=900+k3600，kZ =|=900+2k1800，kZ （1）S2=|=2700+k3600，kZ =|=900+1800+2k1800，kZ =|=900+（2k+1）1800，kZ （2）师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n1800（nZ），故终边在y轴上的角的集合为S= S1S2 =|=900+2k1800，kZ |=900+（2k+1）1800，kZ =|=900+n1800，nZ 处理：师生讨论，教师板演。提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？（思考后）答：|=k1800，kZ ,|=k900，kZ 进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？答：|=450+n1800，nZ 推广：|=+k1800，kZ ，有何关系？（图形表示）处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。例1 若是第二象限角，则，分别是第几象限的角？师：是第二象限角，如何表示？解：（1）是第二象限角，900+k36001800+k3600（kZ） 1800+k720020,试指出所在的象限，并用图形表示出的取值范围. 4、求证角为第三象限角的充分必要条件是证明：必要性：是第三象限角，充分性：sin0，是第三或第四象限角或终边在轴的非正半轴上tan0，是第一或第三象限角.sin0，tan0都成立.为第三象限角.5 求值：sin(-1320)cos1110+cos(-1020)sin750+tan495三、 巩固与练习1 求函数的值域2 设a是第二象限的角，且的范围.四、小 结： 五、课后作业：1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：(1) sincos; (2) |sin|cos| .2、3、角的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称，角的终边上的点Q与A关于直线y=x对称.求sinesc+tancot+seccsc的值.六、板书设计：4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）教学目的：知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式； 2.掌握三种基本关系式之间的联系；3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。能力目标： （1）牢固掌握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1任意角的三角函数定义：设角是一个任意角，终边上任意一点，它与原点的距离为，那么：，2当角分别在不同的象限时，sin、cos、tg、ctg的符号分别是怎样的？3背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；4问题：由于的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角的六个三角函数之间有什么关系？二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）倒数关系：（2）商数关系：（3）平方关系：2. 给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平方关系。（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。说明：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等。3例题分析：例1（1）已知，并且是第二象限角，求（2）已知，求解：（1），又是第二象限角，即有，从而， （2）， ，又， 在第二或三象限角。当在第二象限时，即有，从而，；当在第四象限时，即有，从而，总结：1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。例2已知为非零实数，用表示解：，即有，又为非零实数，为象限角。当在第一、四象限时，即有，从而， ；当在第二、三象限时，即有，从而， 例3已知（），求解： ， 即，又，即，又，为象限角。当在第一、四象限时，即有，；当在第二、三象限时，即有，4总结解题的一般步骤：确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；根据同角三角函数的关系式求值。三、巩固与练习第27页 练习1，2，3，4四、小 结：本节课学习了以下内容：1同角三角函数基本关系式及成立的条件；2根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；3在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。五、课后作业：六、板书设计：4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）教学目的：知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1同角三角函数的基本关系式。（1）倒数关系：，（2）商数关系：，（3）平方关系：，（练习）已知，求2tancos= ，cotsec= ，（sec+tan）（ ）=1二、讲解新课： 例1化简解：原式例2化简解：原式 例3、已知，求解： 强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 2“化1法” 例4、已知，求解：将 两边平方，得： 例5、已知解：由题设： ()例6、已知，求 解：1 由 由 联立： 2 例7、已知 求解：sin2a + cos2a = 1 化简，整理得：当m = 0时，当m = 8时，三、巩固与练习1：已知12 sin+5 cos=0，求sin、cos的值. 解：12 sin+5 cos=0 sin= cos，又则（ cos）2+=1，即=cos= 2.已知，求（1）；原式=（2）；原式=说明：（1）为了直接利用，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；（2）可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；34.已知sectg=5，求sin。解1：sectg=5=51=5（sec2tg2）=5（sec+tg）（sectg），故 sec+tg=1/5， 则sec=13/5，tg=12/5；sin=tgcos=解2：由已知：则5.已知，求值；解：可求分析：本题关键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=四、小 结：本节课学习了以下内容：1运用同角三角函数关系式化简、证明。2常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。五、课后作业：习题 第5，7，8题思考:已知sin=2sin，tan=3tan，求的值. 解：sin= tan=又1+ tan2=，1+即8六、板书设计：4-1.2.2同角三角函数的基本关系（3）教学目的：知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力； 德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；教学重点：同角三角函数的基本关系式教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1同角三角函数的基本关系式。（1）倒数关系：，（2）商数关系：，（3）平方关系：，（练习）已知，求2tancos= ，cotsec= ，（sec+tan）（ ）=1二、讲解新课： 例8已知，试确定使等式成立的角的集合。 解：=又， 即得或所以，角的集合为：或例9化简解：原式= 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：（1）所含三角函数的种类最少；（2）能求值（指准确值）尽量求值；（3）不含特殊角的三角函数值。例10求证：证法一：由题义知，所以左边=右边原式成立证法二：由题义知，所以又，证法三：由题义知，所以