线性方程组（小结）.doc

薀袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿薀蒂罿芁莂螁羈羁薈蚇羈膃莁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈节螄羄膀蒇蚀肃节芀薆肂羂蒅蒂肂肄芈袀肁芇蒄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿薅螂膇莁蒁螁莀薇衿螀聿蒀螅螀膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆螇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芁蒅薄袄肀芇薀袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿薀蒂罿芁莂螁羈羁薈蚇羈膃莁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈节螄羄膀蒇蚀肃节芀薆肂羂蒅蒂肂肄芈袀肁芇蒄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿薅螂膇莁蒁螁莀薇衿螀聿蒀螅螀膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆螇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芁蒅薄袄肀芇薀袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿薀蒂罿芁莂螁羈羁薈蚇羈膃莁蚃羇芆蚆蕿羆莈葿袈羅肈节螄羄膀蒇蚀肃节芀薆肂羂蒅蒂肂肄芈袀肁芇蒄螆肀荿莇蚂聿聿薂薈肈膁莅袇肇芃薀螃膇莅莃虿膆肅蕿薅螂膇莁蒁螁莀薇衿螀聿蒀螅螀膂蚅蚁蝿芄蒈薇螈莆芁袆螇肆蒆螂袆膈艿蚈袅芁蒅薄袄肀芇薀袄膃薃袈袃芅莆螄袂莇薁蚀袁肇莄薆羀腿薀蒂罿芁莂螁羈羁薈蚇羈膃莁蚃羇芆 第三章 线性方程组(小结)一. 向量的线性关系1基本概念：维向量，向量的线性运算，线性组合，线性表出，线性相关，线性无关，极大线性无关组，向量组的秩，向量组等价，向量组的秩.2 主要结论：1) 向量组线性相关的充要条件是其中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出.2）设向量组线性无关，而向量组线性相关，那么可由线性表出，而且表示法唯一.3) 设向量组中每一个向量都是向量组的线性组合，而且，那么向量组必线性相关.4)若向量组可由向量组的线性表出,则R()R().5) n维向量空间Pn的任意n+1个向量必线性相关.3. 向量组线性相关的判定：1）根据定义；2) 计算以向量组为行(列)的矩阵的秩；二、矩阵的秩1. 矩阵的秩矩阵的秩=矩阵行(列)向量组的秩，即矩阵的行(列)秩.=不为零的子式的最大级数.2. 矩阵的初等变换1) 初等变换不改变矩阵的秩；2) 用初等变换计算矩阵的秩；三、线性方程组的解的情形1. 线性方程组有解的判定： (1)有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.2. 线性方程组的解的个数：1) 当秩()=秩()=，方程组(1)有唯一解；2）当秩()=秩()=,方程组(1)有无穷多解.3齐次线性方程组的解的情形： (2)总是有解.1) 当秩()=，方程组(2)只有零解；2) 当秩()=,方程组(2)有非零解.四、线性方程组的解的结构1) 齐次线性方程组的基础解系.2) 当秩()=,方程组(2)的任意个线性无关的解向量，都是它的基础解系，(2)的全部解可表示为,其中是任意的数.3) 当秩()=秩()=时，如果是线性方程组(1)的一个特解，是(1)的相应导出组(2)的基础解系，那么线性方程组(1)的任一个解都可以表成,其中是任意数.五. 需要理解的几点:1. 方程组的解与线性相关性一个非齐次线性方程组 (1)的系数矩阵为, 增广矩阵为, 其中是A的列向量, b是线性方程组的常数项所作成的列向量).线性方程组有解b可由线性表出向量组与,b等价.1)方程组的每一个解就是使得线性关系 成立的一组系数. 全部解就是使得这个关系式成立的全部可能的系数.2) 求解方程组的过程就是对增广矩阵作初等行变换的过程, 这样的行变换把一个方程组变到与它同解的方程组, 所以设, 则由于两个方程组同解,所以向量组有相同的线性关系. 即: 设是方程组的一个解, 则有且.2. 矩阵的秩与行列式的值(子式的值)1) 对于n阶矩阵Ann, 设A的列向量为, 则R(A)=n |A|0 线性无关.(等价命题: R(A)n |A|=0 线性相关)2) 若一个sn矩阵有一个r阶子式非零, 则R(A) r.证明: 事实上, 由(1), 这个r阶子式的r个行向量线性无关, 把这r个向量的每一个都增加n-r个分量使之成为A的r个行向量, 则A的这r个行向量仍线性无关, 再由于矩阵的秩等于其行向量组的秩, 所以R(A) r.3) 若一个sn矩阵所有的r+1阶子式都为零, 则R(A) r.证明: 任取矩阵A的r+1行作成矩阵B, 则必有R(B)r+1, 因为若不然, 如果R(B)=r+1 (矩阵B只有r+1行, 所以R(B) r+1), 矩阵B的秩等于其行秩也等于其列秩, 所以B的列向量必有r+1个线性无关, 取出这r+1个向量, 构成一个r+1阶行列式(为A的r+1阶子式), 则该子式非零, 与条件矛盾. 所以必有R(B)r+1. 袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂节莈蚅袈芁蒀蒈螃芀膀蚃蝿芀莂蒆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芆螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁袇莄芃螇袃羀蒅虿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄葿肄肅芄蚄羀肄莆蒇羆肃蕿螃袂肂芈薅螈肂莁螁肆肁蒃薄羂肀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螇蚀膇蕿薀聿膆艿袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂节莈蚅袈芁蒀蒈螃芀膀蚃蝿芀莂蒆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芆螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁袇莄芃螇袃羀蒅虿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羈莀袃衿羇蒂蚆螅肆薄葿肄肅芄蚄羀肄莆蒇羆肃蕿螃袂肂芈薅螈肂莁螁肆肁蒃薄羂肀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螇蚀膇蕿薀聿膆艿袆羅膆莁虿袁膅蒄袄螇膄薆蚇肆膃芆蒀羂节莈蚅袈芁蒀蒈螃芀膀蚃蝿芀莂蒆肈艿蒅螂羄芈薇薅袀芇芆螀螆芆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁袇