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文档简介

二次型对解极值问题的应用下面介绍二次型在研究多变量实函数极值问题时的应用设n元实函数在点的一个邻域中连续，且有足够高阶的连续偏导数，的Taylor展开式，将其简写为，其中，由数学分析知道，函数在点取极大值或极小值的必要条件是j 为零向量，即反之，若这条件成立，则 (1)于是，当(i=1，2，n)足够小时，上式右端的正负号完全由二次型决定因此有定理1 在上述假设条件下函数在点近旁有性质：1)若正定，则为极小点；2)若负定，则为极大点；3)若不定，则非极大或极小点；4)其余情形时，f在点性质有待研究余项R的性质来确定特别当f是二次函数时，R=0，只要半正(负)定，则为极小(大)点证 仅证3)，记, 设不定，则存在不全为0的, 使 (2)对任意给定的，取，则令, 则点在点的邻域中，由(2)式有同样可证在点的任何邻域中存在点，使因而由(1)式知道，无论的邻域如何小，此邻域中总既有点使 ，又有点使，故点不是f的极大极小点 ?为简便计，下面记，例1 求函数的极值解 ，解方程组易得， (符号任意搭配)，令，经计算得：正定；：负定；:不定(或考察,取,，,取,，故不定)故在，点Z不取极值；在，Z极小，；在，Z极大，例2 求函数的最大值和最小值解,解方程组，得又，令，考察其顺序主子式，此矩阵负定因此在(1，1，1，)处W极大，易见在(1，- 1，- 1)，(- 1，1，- 1)及(- 1，- 1，1)处W同样取极大值1而，定理1告诉我们待进一步研究，但经计算得因此，W在(1 ，1，1)，(1，- 1，- 1)，(- 1，1，- 1)及(- 1，- 1，1)四点上取极大
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