实验01讲评、参考答案-建立数学模型(4学时).docVIP

实验01讲评、参考答案讲 评未交实验报告的同学名单数学：01边清水，09龚昱霏，14黄浦，34谭世韬信科：批改情况：不批改，同学们自己对照参考答案。附参考答案：数学建模实验王平实验01 建立数学模型（4学时）（第1章 建立数学模型）教材中给出原始数据，结合模型，得到结果。但如何求得结果这一过程没有给出，实际上要用MATLAB软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。考虑到同学们刚学习MATLAB语言，编程能力不强，所以有关的程序给出来供同学们进行验证。要求同学们要读懂程序。1.（求解，编程）如何施救药物中毒p1011人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：其中，x(t)为t时刻胃肠道中的药量，y(t)为t时刻血液系统中的药量，t=0为服药时刻。1.1（求解）模型求解p1011要求： 用MATLAB求解微分方程函数dsolve求解该微分方程（符号运算）。 用MATLAB的化简函数simplify化简所得结果。提示：dsolve和simplify的用法可用help查询。建议在命令窗口中操作。 求解的语句及运行结果（比较11式(3)、(4)）： x,y= dsolve(Dx=-a*x,Dy=a*x-b*y,x(0)=1100,y(0)=0); disp(x,y) 1100*exp(-a*t), exp(-a*t)*exp(-b*t)*(1100*a*exp(a*t)/(a - b) - (1100*a*exp(b*t)/(a - b) disp(simplify(x,y); 1100*exp(-a*t), (1100*a*exp(-t*(a + b)*(exp(a*t) - exp(b*t)/(a - b)1.2（编程）结果分析p11已知=0.1386, =0.1155，将上题中得到x(t)和y(t)两条曲线画在同一个图形窗口内（见11图1）。提示：MATLAB命令：plot, fplot, hold on/off, grid on/off, xlabel, ylabel, text。 编写的程序和运行结果（比较11图1）：程序1：用plotclc;clear;a=0.1386; b=0.1155;t=0:0.01:25;x=1100./exp(a*t);y=-(1100*a*(1./exp(a*t) -1./exp(b*t)/(a - b);plot(t,x,t,y);grid on;xlabel(itt /h); ylabel(itx,ity /mg);text(2,1100/exp(a*2), itx(itt);text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)/(a - b), ity(itt);程序2：用fplot和匿名函数clc;clear;a=0.1386; b=0.1155;fplot(t)1100/exp(a*t),-(1100*a*(1/exp(a*t) - 1/exp(b*t)/(a - b),0 25);grid on;xlabel(itt /h); ylabel(itx,ity /mg);text(2,1100/exp(a*2), itx(itt);text(3,-(1100*a*(1/exp(a*3) - 1/exp(b*3)/(a - b), ity(itt);2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p89三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。商人们怎样才能安全渡河呢？模型构成决策： 每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。要求：在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。xk第k次渡河前此岸的商人数yk第k次渡河前此岸的随从数 xk , yk=0,1,2,3; k=1,2,过程的状态sk=(xk , yk)允许状态集合S=(x, y)| x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2uk第k次渡船上的商人数vk第k次渡船上的随从数 uk , vk=0,1,2; k=1,2,决策dk=(uk , vk)允许决策集合D=(u , v)| u+v =1, 2状态转移律sk+1=sk+(-1)kdk多步决策问题求dkD(k=1, 2, , n), 使skS, 并按转移律由 s1=(3,3) 到达sn+1=(0,0)。2.1（编程）求允许决策集合D和允许状态集合SD是2行多列矩阵，每一列是一个决策。S是2行多列矩阵，每一列是一种状态。要求： 编写一个命令文件的程序求D和S，并输出。 S的第一列是3,3，最后一列是0,0 。 编写的程序和运行结果：程序：clear; clc;%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数) = ( 3, 3 )，末列为( 0, 0 )D, S运行结果：2.2（验证）给出一个商人们安全过河的方案程序（输入时，不必把注释也输入）：程序运行结果：要求： 读懂以上程序。 将题2.1的程序放到上面的程序中（去掉最后多余的输出语句），运行程序。对照答案，如不一致，请检查程序。 给出运行的完整程序和运行结果（参考9图1）：程序：function river()D,S1=DS(); S2=S1; SS=;%初始允许状态集合S1,S2s1=S1(:,1); S1(:,1)=;%始发状态s1=3;3，用过的状态移出i=1; SS(:,i)=s1;%SS存放有效状态转移的路径k=true;%k=true时，从此岸到彼岸；否则从彼岸到此岸while isempty(S2)%目标状态集合非空 s2,S2=fun(s1,S2,k,D); if k&s2(1)=0&s2(2)=0%有解 SS(:,i+1)=s2; disp(1:i+1;SS(:,1:i+1); return; end if s2(1)=-1%新状态s2无效 if i=1%不能再回退 disp(无解！); return; end i=i-1;%回退 s1=SS(:,i); else i=i+1; SS(:,i)=s2;%s1进入路径 s1=s2; end S=S1;S1=S2;S2=S; k=k;enddisp(无解！);end function s2,S2=fun(s1,S2,k,D)%k=true时，从此岸到彼岸；否则从彼岸到此岸for u=D %决策遍历 s2=s1+(-1)k*u; %状态转移s1-s2 for i=1:size(S2,2) if s2=S2(:,i)%是否新允许状态 S2(:,i)=; return; end endends2=-1;-1;%从s1走不通end function D,S=DS()%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数) = ( 3, 3 )，末列为( 0, 0 )end给出程序的运行结果：3.（求解）商人们怎样安全过河（修改）p9对第2题的问题改动，用类似的方法求解。3.1 在第2题中修改商人数和随从数有四名商人各带一个随从，其它同第2题。修改第2题中的程序求解。 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）：%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=4:-1:0 for y=4:-1:0 if x=0|x=4|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 (商人数, 仆从数) = ( 4, 4 )，末列为( 0, 0 )3.2 在3.1题中修改船容纳的人数船能容纳3人。修改3.1题中的程序求解。 修改的程序部分和完整程序的运行结果（安全过河的方案）：%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:3 for v=0:3 if u+v=1 & u+v=0) & all(s10& any(s00)%栈未空且s0中至少有一个元素0s0=st(sp,1,2); ss=st(sp,3);%当前状态，ss=-1/1小船停靠此岸/彼岸d=st(sp,4);%之前用过的决策，该决策失败sp=sp-1;%出栈 d=d+1;%试探下一个决策 while d0)s1=s0+ss*D(d,:);%下一个状态，不包括小船停靠状态i=s1(1)+1;j=s1(2)+1;%状态转换为下标if all(s1=0) & all(s1=0&y=0&y0 Snum(k+1)=0;%第k+1次渡河前的状态总数初始化 k1=size(s,2)-Snum(k)+1;k2=size(s,2); for i=k1:k2 xk=s(1,i); yk=s(2,i); for d=D xk1=xk+(-1)k*d(1); yk1=yk+(-1)k*d(2); if (-1)k=1 for j=1:size(SB,2) if xk1=SB(1,j)&yk1=SB(2,j) s=s,SB(:,j); SB(:,j)=; Snum(k+1)=Snum(k+1)+1; break; end end else for j=1:size(SA,2) if xk1=SA(1,j)&yk1=SA(2,j) s=s,SA(:,j); SA(:,j)=; Snum(k+1)=Snum(k+1)+1; break; end end end end end k=k+1;endSnums(:,1:Snum(1)m=Snum(1);for k=1:11 disp(s(:,m+1:m+Snum(k+1); m=m+Snum(k+1);end解4i=1;S=;D=;S(:,i)=3;3;%开始S(:,1)=3,3while S(1,i)=0|S(2,i)=0%当s(:,i)=0,0完成 D(:,i)=round(2*rand(2,1);%随机取0,1,2给决策D(:,i) d=D(:,i); if d(1)+d(2)=1&d(1)+d(2)=2%成立则不是允许决策 continue;%重新选取决策 end S(:,i+1)=S(:,i)+(-1)i*D(:,i);%得到下一个状态S(:,i+1) s=S(:,i+1); if (s(1)=1&s(2)=1)|(s(1)=2&s(2)=2)|(s(1)3|s(1)3|s(2)0)%成立则不是允许状态 continue;%重新选取决策 end i=i+1; if i=105%等于此循环次数判无解 disp(无解);return; endendfor i=1:size(S,2)%添加状态的第3行元素，-1为船在此岸，1时在彼岸 SS(:,i)=S(:,i);(-1)i;end%区分过程中的不同状态for i=1:size(SS,2)-1%去掉状态转移过程中多余的状态 a=0; for j=i+1:size(SS,2)%找出与第i状态相同的最后一个状态 if any(SS(:,i)-SS(:,j)=0 a=j; end end if i=ss(j,:)%保证总人数多的状态每个分量都要大 a(i,j)=2+(-1)k; a(j,i)=(-1)k; end end endenda(1,2)=0;%当第一次由(3,3)变到(3,2)时，下一次必为(3,2) 变到(3,3)，避免无用功k=1;dd=1;s0=ss(1,:);%初始状态S=ss(1,:);%储存总的状态转移方案D=;%每一步的决策集合while any(s0)&k1&length(m)=2 m(find(m=dd(k-1)=;%避免走回头路 end ignore,p=sort(rand(1,length(m);%在剩下的状态中随机找一个可行状态 s0=ss(m(p(1),:); k=k+1; dd=dd;m(p(1);S=S;s0;D=D;abs(S(k,:)-S(k-1,:);endSD解6clear; clc;%求允许决策集合D（2n1，n1种决策）D=;for u=0:2 for v=0:2 if u+v=1|u+v=2 D=D,u;v; end endend%求允许状态集合S（2n2，n2种状态）S=;for x=3:-1:0 for y=3:-1:0 if x=0|x=3|x=y S=S,x;y; end endend%首列状态 ( 商人数, 仆从数) = ( 3, 3 )，末列为( 0, 0 )%动态允许状态集合SS（3n3，n3种状态）%-1，从此岸渡河前此岸的允许状态%1，从彼岸渡河前此岸的允许状态SS=S;-ones(1,size(S,2),S;ones(1,size(S,2);SSnum=size(SS,2);%状态总数，SS中的列下标对应状态的编号%SS(:,1)=3,3,-1（起点），SS(:,end)=0,0,1（终点）%状态转移矩阵A，A(i,j)=1表示存在决策使状态i转到j，其它为0A=zeros(SSnum);for i=1:SSnum for j=1:SSnum for d=D%顺序取D的每一列给d s=SS(1:2,i)+SS(3,i)*d;-SS(3,i); if all(s=SS(:,j)%所有元素不为0时为真 A(i,j)=1; break; end end endend%SK为多行SSnum列的矩阵，第i列对应SS的第i列的状态。%第i行表示第i次渡河前有那些状态，1表示有对应下标列号的状态，0则无。%第i+1行是第i行状态转移过来的状态%当第SSnum状态出现时停止，表示有解。%或者新行的元素全0时停止，表示无解。%新行不允许出现之前出现过的状态。s=1,zeros(1,SSnum-1);%从状态3,3,-1开始SK=s;while any(s) & s(SSnum)=1 k=find(s);%求最后一行为1的列下标 s=any(A(k,:),1);%得到新行，元素值为1或0 s=s&any(SK,1);%去掉新行中之前出现的状态 SK=SK;s;%新行加入，作为SK的末行end%多步决策，直到找到目标。有难度！if any(s)=0 %新行全0disp(无解！); return;end%最后一行的第SSnum状态(j)开始往回找转换到它的状态(i)，直到状态1。%得到一个状态号的顺序sk（行向量），为一个解。sk=zeros(1,size(SK,1);sk(1)=1; sk(1,end)=SSnum; j=SSnum;for k=size(SK,1)-1:-1:2 for i=find(SK(k,:) if A(i,j)=1 sk(k)=i; j=i; break; end endenddisp(1:length(sk);SS(1:2,sk);%输出结果44附1：实验提示第2.2题MATLAB函数all的用法：对于向量v，all(v)当v的所有元素都非0时，返回true（值为1）；否则返回false（值为0）。（类似v的所有元素“与”）对于矩阵X，all(X)返回一个行向量，每一个元素值为all作用于X对应列的结果。all(X, 1)作用于列（同all(X)），all(X, 2)作用于行。第2.3题MATLAB函数any的用法：对于向量v，any(v)当v中有元素非0时，返回true（值为1）；否则返回false（值为0）。（类似v的所有元素“或”）对于矩阵X，any(X)返回一个行向量，每一个元素值为any作用于X对应列的结果。any(X, 1)作用于列（同any(X)），any(X, 2)作用于行。第3题要给出安全过河的方案。第4题在设计允许状态集合和允许决策集合时，要把“人”考虑进去附2：第1章 建立数学模型11.1 从现实对象到数学模型41.2 数学建模的重要意义61.3 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗8