陕西省2016年中考《圆》专题复习训练有答案.doc

复习说明：圆这部分内容在陕西省中考试卷中是必考内容之一。每年中考试题圆的考点为填空题 3 分，解答题 8 分，共 11 分。2016 年考试说明中三套样题中选择题部分增加了对圆知识的 3 分考查，但是填空题 均未出现与圆有关的题型，而是改为以四边形为背景 来进行考查，第 23 题解答题 8 分依然存在。在这部 分的复习中，应重视学生逻辑思维能力的培养和书写 的规范性。与圆有关的解答题多是以证明、解答题出 现，学生在这部分最容易逻辑混乱，次序颠倒，甚至 书写随意。在复习中要注意随时纠正。圆专题复习一.选择题1(2015湖南株洲,第 6 题 3 分)如图，圆 O 是ABC 的外接圆，A68，则OBC 的大 小是 ( )A22 B26 C32 D68【试题分析】本题考点为：通过圆心角BOC2A136，再利用等腰三角形 AOC 求出OBC 的度数 答案为：A2、（2015湖南省常德市，第 6 题 3 分）如图，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，已知BOD100，则BCD 的度数为：A、50B、80C、100D、130【解答与分析】圆周角与圆心角的关系，及圆内接四边形的对角互补：答案为 D3, （2015四川南充,第 8 题 3 分）如图，PA 和 PB 是O 的切线，点 A 和 B 是切点，AC 是O 的直径，已知P40，则ACB 的大小是（）（A）60（B）65（C）70（D）75【答案】C考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.4、（2015四川自贡,第 9 题 4 分）如图， AB 是O 的直径，弦ECD AB,CDB = 30 o，CD = 2 3 ,则阴影部分的面积为（）A. 2pB.pC. pD. 2p33考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等. 分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对 称图形和垂径定理，利用题中条件可知 E 是弦 CD 的中点, B 是弧 CD 的中点；此时解法有三： 解法一，在弓形 CBD 中，被 EB 分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的， 所以阴影部分的面积之和转化到扇形 COB 来求；解法二，连接 OD,易证ODE OCE ， 所以阴影部分的面积之和转化到扇形 BOD 来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形 COD 的面积的一半.略解： AB 是O 的直径， AB CD E 是弦 CD 的中点, B 是弧 CD 的中点（垂径定理）在弓形 CBD 中，被 EB 分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质)阴影部分的面积之和等于扇形 COB 的面积. E 是弦 CD 的中点， CD = 2 3 CE = 1 CD = 1 2 3 = 322 AB CD OEC = 90o5. （2015浙江滨州,第 11 题 3 分） 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆 半径的长为()A. B. C. D.1【答案】B【解析】试题分析：如图，等腰直角三角形 ABC 中，D 为外接圆，可知 D 为 AB 的中点，因此 AD=2， AB=2AD=4，根据勾股定理可求得AC=，根据内切圆可知四边形 EFCG 是正方形，AF=AD, 因此EF=FC=ACAF=2.故选 B考点：三角形的外接圆与内切圆6、（2015 湖南邵阳第 7 题 3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，已知ADC=140，则AOC 的大小是（）A80 B100 C60 D40考点：圆内接四边形的性质；圆周角定理.分析：根据圆内接四边形的性质求得ABC=40，利用圆周角定理，得AOC=2B=80 解答：解：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，ABC+ADC=180，ABC=180140=40AOC=2ABC=80故选 B点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出B 的度数是解题关 键7 , （2015 上海,第 6 题 4 分）如图，已知在O 中，AB 是弦，半径 OCAB，垂足为点 D， 要使四边形 OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（）A、ADBD； B、ODCD；C、CADCBD； D、OCAOCB【答案】B【解析】因 OCAB，由垂径定理，知 ADBD，若 ODCD，则对角线互相垂直且平分， 所以，OACB 为菱形。8 .（2015 湖北荆州第 5 题 3 分）如图，A，B，C 是O 上三点，ACB=25，则BAO 的 度数是（）A 55 B 60 C 65 D 70考点： 圆周角定理分析： 连接 OB，要求BAO 的度数，只要在等腰三角形 OAB 中求得一个角的度数即可 得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得AOB=50，然后根据等腰三角形两 底角相等和三角形内角和定理即可求得解答： 解：连接 OB，ACB=25，AOB=225=50， 由 OA=OB，BAO=ABO，BAO=（18050）=65故选 C点评：本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键9 . （2015浙江杭州,第 5 题 3 分）圆内接四边形 ABCD 中，已知A=70，则C=()A. 20B. 30C. 70D. 110【答案】D【考点】圆内接四边形的性质.【分析】圆内接四边形 ABCD 中，已知A=70，根据圆内接四边形互补的性质，得C=110. 故选 D10. （2015浙江湖州，第 8 题 3 分）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D，若 OD=2， tanOAB=，则 AB 的长是()A. 4B. 2 C. 8D. 4【答案】C.考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理.11. （2015浙江宁波，第 8 题 4 分）如图，O 为ABC 的外接圆，A=72，则BCO 的 度数为【】A. 15B. 18C. 20D. 28【答案】B.【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形内角和定理.【分析】如答图，连接 OB，A 和BOC 是同圆中同弧 BC 所对的圆周角和圆心角， BOC = 2A .A=72，BOC=144.OB=OC， CBO = BCO . CBO = 180 -144 = 18 .2故选 B.12 . （2015山东威海，第 9 题 3 分）如图，已知 AB=AC=AD，CBD=2BDC，BAC=44，则CAD 的度数为（ ）A68 B88 C90 D 112考点： 圆周角定理.分析：如图，作辅助圆；首先运用圆周角定理证明CAD=2CBD，BAC=2BDC，结 合已知条件CBD=2BDC，得到CAD=2BAC，即可解决问题解答： 解：如图，AB=AC=AD，点 B、C、D 在以点 A 为圆心， 以 AB 的长为半径的圆上；CBD=2BDC，CAD=2CBD，BAC=2BDC，CAD=2BAC，而BAC=44，CAD=88， 故选 B点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作 辅助圆，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分 析、判断、推理或解答13（2015甘肃兰州,第 9 题，4 分）如图，经过原点 O 的P 与 x 、 y 轴分别交于 A、B 两 点，点 C 是劣弧上一点，则ACB=A. 80 B. 90 C. 100 D. 无法确定【 答案 】B【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念【知识准备】在同一个圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；直径所对的圆 周角是直角；当圆周角为直角时，其所对的弦是直径。【解答过程】ACB 和AOB 都是P 中同一条弧所对的圆周角，所以它们相等【归纳拓展】在其它类似题目中，我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同；再换一种场合， 如果连结 AB，还有可能需要说明 AB 是直径，或者点 P 在 AB 上。【题目星级】14（.2015山东临沂,第 8 题 3 分）如图 A，B，C 是上的三个点，若，则等于（）(A) 50. (B) 80.(C) 100.(D) 130.【答案】D【解析】试题分析：根据圆周的度数为 360，可知优弧 AC 的度数为 360100=260，然后根据同 弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得B=130.故选 D考点：圆周角定理15(2015深圳，第 9 题分)如图，AB 为O 直径，已知为DCB=20o,则DBA 为（）A、 50oB、 20oC、 60oD、 70o【答案】D【解析】AB 为O 直径，所以，ACB=90o，DBADCA 70o16(2015南宁，第 11 题 3 分)如图 6，AB 是O 的直径，AB=8，点 M 在O 上，MAB=20,N 是弧 MB 的中点,P 是直径 AB 上的一动点，若 MN=1，则PMN 周长的最小值为（）.（A）4（B）5（C）6（D）7图 6考点：轴对称最短路线问题；圆周角定理.分析：作 N 关于 AB 的对称点 N，连接 MN，NN，ON，ON，由两点之间线段最短可知 MN 与 AB 的 交 点 P 即 为 PMN 周 长 的 最 小 时 的 点 ， 根 据 N 是 弧 MB 的 中 点 可 知A=NOB=MON=20，故可得出MON=60，故MON为等边三角形，由此可得出结 论解答：解：作 N 关于 AB 的对称点 N，连接 MN，NN，ON，ONN 关于 AB 的对称点 N，MN与 AB 的交点 P即为PMN 周长的最小时的点，N 是弧 MB 的中点，A=NOB=MON=20，MON=60，MON为等边三角形，MN=OM=4，PMN 周长的最小值为 4+1=5 故选 B点评：本题考查的是轴对称最短路径问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的 性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点17. （2015四川凉山州,第 10 题 4 分）如图，ABC 内接于O，OBC=40，则A 的度 数为（）A80B100C110D130【答案】D考点：圆周角定理18、（2015四川泸州,第 8 题 3 分）如图，PA、PB 分别与O 相切于 A、B 两点，若C=65， 则P 的度数为A. 65B. 130C. 50D. 100考点：切线的性质.分析：由 PA 与 PB 都为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OA 垂直于 AP，OB 垂直于 BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，由已知C 的度数求 出AOB 的度数，在四边形 PABO 中，根据四边形的内角和定理即可求出P 的度数 解答：解：PA、PB 是O 的切线，OAAP，OBBP，OAP=OBP=90，又AOB=2C=130， 则P=360（90+90+130）=50故选 C 点评：本题主要考查了切线的性质，四边形的内角与外角，以及圆周角定理，熟练运用性质 及定理是解本题的关键19. （2015四川眉山，第 11 题 3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，ACO=45，则B 的度数为（）A30B35C40D45考点：圆周角定理.分析：先根据 OA=OC，ACO=45可得出OAC=45，故可得出AOC 的度数，再由圆 周角定理即可得出结论解答：解：OA=OC，ACO=45，OAC=45，AOC=1804545=90，B=AOC=45 故选 D点评：本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键20（2015甘肃武威,第 8 题 3 分）ABC 为O 的内接三角形，若AOC=160，则ABC 的度数是（）A 80B160C100D80或 100考点：圆周角定理分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案ABC 的度数，又由 圆的内接四边形的性质，即可求得ABC 的度数解答：解：如图，AOC=160，ABC=AOC=160=80，ABC+ABC=180，ABC=180ABC=18080=100ABC 的度数是：80或 100 故选 D点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意数 形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解二.填空题1.（2015福建泉州第 17 题 4 分）在以 O 为圆心 3cm 为半径的圆周上，依次有 A、B、C 三 个点，若四边形 OABC 为菱形，则该菱形的边长等于 3 cm；弦 AC 所对的弧长等于 2或 4 cm解：连接 OB 和 AC 交于点 D，四边形 OABC 为菱形，OA=AB=BC=OC，O 半径为 3cm，OA=OC=3cm，OA=OB，OAB 为等边三角形，AOB=60，AOC=120，=2，优弧=4， 故答案为 3，2或 42.（2015 湖北鄂州第 15 题 3 分）已知点 P 是半径为 1 的O 外一点，PA 切O 于点 A，且 PA=1， AB 是O 的弦，AB=， 连接 PB，则 PB= 【答案】1 或.考点：1.垂径定理；2.圆的认识；3.切线的性质3, （2015 上海,第 17 题 4 分）在矩形 ABCD 中，AB5，BC12，点 A 在B 上如果D 与B 相交，且点 B 在D 内，那么D 的半径长可以等于(只需写出一个符 合要求的数)【答案】15【解析】4(2015江苏南 昌, 第 10 题 3 分 )如图， 点 A, B, C 在O 上，CO 的延长 线交 AB 于 点D,A=50,B=30则ADC 的度数为.答 案 ： 解 析 ： A=50, BOC=100, BOD=80, ADC=B BOD=30 80=1105(2015江苏南京,第 15 题 3 分)如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中，CAD=35，则B+E= 【答案】215考点：圆内接四边形的性质6、（2015四川自贡,第 13 题 4 分）已知， AB 是O 的一条直径 ，延长 AB 至 C 点，使AC = 3BC , CD 与O 相切于 D 点，若 CD =3 ,则劣弧 AD 的长为.考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等.分析：本题劣弧 AD 的长关键是求出圆的半径和劣弧 AD 所对的圆心角的度数.在连接 OD 后，根据切线的性质易知 ODC = 90o ,圆的半径和圆心角的度数可以通过 RtOPC 获得解决.略解：连接半径 OD.又 CD 与O 相切于 D 点 OD CD ODC = 90o AC = 3BCAB = 2OB OB = BC OB = 1 OC2又 OB = OD OD = 1 OC2在 RtOPC cos DOC = OD = 1OC2 DOC = 60o AOD = 120o 在 RtOPC 根据勾股定理可知： OD2 + DC2 = OC2 CD = 3 OD2 + (3 )2 = (2OD )2解得： OD = 1oo则劣弧 AD 的长为 120 p OD = 120 p 1 = 2p .故应填2p180o180o 3 3 CF7. （2015四川省宜宾市，第 14 题，3 分）如图，AB 为O 的直径，延长 AB 至点 D，使 BD=OB，DC 切O 于点 C，点 B 是 的中点，弦 CF 交 AB 于点 F 若O 的半径为 2，则 CF= .8.（2015江苏泰州,第 12 题 3 分）如图，O 的内接四边形 ABCD 中，A=115，则BOD 等于.【答案】150.考点：1.圆内接四边形的性质；2.圆周角定理.9.（2015江苏徐州,第 15 题 3 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E，连接 AC若CAB=22.5，CD=8cm，则O 的半径为 4 cm考点：垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理. 专题：计算题分析：连接 OC，如图所示，由直径 AB 垂直于 CD，利用垂径定理得到 E 为 CD 的中点， 即 CE=DE，由 OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形 COE 为等腰直角 三角形，求出 OC 的长，即为圆的半径解答：解：连接 OC，如图所示：AB 是O 的直径，弦 CDAB，CE=DE=CD=4cm，OA=OC，A=OCA=22.5，COE 为AOC 的外角，COE=45，COE 为等腰直角三角形，OC=CE=4cm， 故答案为：4点评：此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键10（2015四川甘孜、阿坝，第 23 题 4 分）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 垂直平分半径OA，则ABC 的大小为 30 度考点：垂径定理；含 30 度角的直角三角形；圆周角定理.分析：根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解 解答：解：连接 OC，弦 CD 垂直平分半径 OA，OE=OC，OCD=30，AOC=60，ABC=30 故答案为：30点评：本题主要是利用直角三角形中特殊角的三角函数先求出OCE=30，EOC=60然 后再圆周角定理，从而求出ABC=3011（2015四川广安，第 12 题 3 分）如图，A、B、C 三点在O 上，且AOB=70，则C=35 度考点： 圆周角定理.分析：由 A，B，C 三点在O 上，且AOB=70，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案解答： 解：AOB=70，C=AOB=35 故答案为：35点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关 键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的 一半12（2015甘肃兰州,第 20 题，4 分）已知ABC 的边 BC=4cm，O 是其外接圆，且半径 也为 4cm，则A 的度数是 【 答 案 】30【考点解剖】本题考查同（等）弧所对圆周角和圆心角的关系，正三角形的性质【知识准备】在同圆或等圆中，圆周角等于同弧（等弧）所对圆心角的 一半，在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。【思路点拔】BC=半径，那么 BC 与对应的两条半径所构成的三角形就 是等边三角形，这样，自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立 起了联系。【解答过程】分别连结 OB 和 OC，因为 BC=OB=OC，所以O=60，1则在O 中，A=2【题目星级】三.解答题B=30.1.（2015山东威海，第 22 题 9 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的O 交 AB于点 D，交 BC 于点 E（1）求证：BE=CE；（2）若 BD=2，BE=3，求 AC 的长考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理. 专题：证明题分析：（1）连结 AE，如图，根据圆周角定理，由 AC 为O 的直径得到AEC=90，然 后利用等腰三角形的性质即可得到 BE=CE；（2）连结 DE，如图，证明BEDBAC，然后利用相似比可计算出 AB 的长，从而得到AC 的长解答：（1）证明：连结 AE，如图，AC 为O 的直径，AEC=90，AEBC， 而 AB=AC，BE=CE；（2）连结 DE，如图，BE=CE=3，BC=6，BED=BAC， 而DBE=CBA，BEDBAC，=，即=，BA=9，AC=BA=9点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形 中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般 方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了角平分线的性质和圆周角定理2（2015四川资阳,第 22 题 9 分）如图 11，在ABC 中，BC 是以 AB 为直径的O 的切线， 且O 与 AC 相交于点 D，E 为 BC 的中点，连接 DE.（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接 AE，若C=45，求 sinCAE 的值. 考点： 切线的判定；勾股定理；解直角三角形.分析：（1）连接 DO，DB，由圆周角定理就可以得出ADB=90，可以得出CDB=90，根 据 E 为 BC 的中点可以得出 DE=BE，就有EDB=EBD，OD=OB 可以得出ODB=OBD， 由的等式的性质就可以得出ODE=90就可以得出结论（2）作 EFCD 于 F，设 EF=x，由C=45，得出CEF、ABC 都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得 BE=CE=就可求得 sinCAE 的值x，AB=BC=2x，AE=x，进而解答：解：（1）连接 OD，BD，OD=OBODB=OBDAB 是直径，ADB=90，CDB=90E 为 BC 的中点，DE=BE，EDB=EBD，ODB+EDB=OBD+EBD，即EDO=EBOBC 是以 AB 为直径的O 的切线，ABBC，EBO=90，ODE=90，DE 是O 的切线；（2）作 EFCD 于 F，设 EF=xC=45，CEF、ABC 都是等腰直角三角形，CF=EF=x，BE=CE=x，AB=BC=2x，在 RTABE 中，AE=x，sinCAE=点评：本题考查了圆周角定理的运用，直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用， 切线的判定定理的运用，勾股定理的运用，解答时正确添加辅助线是关键3, （2015浙江滨州,第 21 题 9 分）如图,O 的直径 AB 的长为 10，弦 AC 的长为 5，ACB 的平分线交O 于点 D.（1）求弧 BC 的长；（2）求弦 BD 的长.【答案】（1）（2）（2）连接 OD.CD 平分ACB，ACD=BCD,AOD=BOD，AD=BD，BAD=ABD=45在 RtABD 中，BD=.考点:圆周角定理，解直角三角形，弧长公式4. （2015浙江杭州,第 19 题 8 分）如图 1，O 的半径为 r(r0)，若点 P在射线 OP 上，满足 OPOP=r2，则称点 P是点 P 关 于O 的“反演点”，如图 2，O 的半径为 4，点 B 在O 上，BOA=60，OA=8，若点 A、 B分别是点 A，B 关于O 的反演点，求 AB的长.【答案】解：O 的半径为 4，点 A、B分别是点 A，B 关于O 的反演点，点 B 在O 上， OA=8， OA OA = 42 ,OB OB = 42 ，即 OA 8 = 42 ,OB 4 = 42 . OA = 2,OB = 4 .点 B 的反演点 B与点 B 重合.如答图，设 OA 交O 于点 M，连接 BM，OM=OB，BOA=60，OBM 是等边三角形. OA = AM = 2 ，BMOM.在 RtDOB M 中，由勾股定理得 AB =OB2 - OA2 =42 - 22 = 2 3 .【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理.【分析】先根据定义求出 OA = 2,OB = 4 ，再作辅助线：连接点 B与 OA 和O 的交点 M，由已知BOA=60判定OBM 是等边三角形，从而在 RtDOB M 中，由勾股定理求得 AB的长.5（2015广东省,第 24 题，9 分）O 是ABC 的外接圆，AB 是直径，过 BC 的中点 P 作O 的直径 PG 交弦 BC 于点 D，连接 AG， CP，PB.（1）如题图 1；若 D 是线段 OP 的中点，求BAC 的度数；（2）如题图 2，在 DG 上取一点 k，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形 AGKC 是平行四 边形；（3）如题图 3，取 CP 的中点 E，连接 ED 并延长 ED 交 AB 于点 H，连接 PH，求证：PHAB.【答案】解：（1）AB 为O 直径，点 P 是 BC 的中点，PGBC，即ODB=90.D 为 OP 的中点，OD= 1 OP = 1 OB .22cosBOD= OD = 1 . BOD=60.OB2AB 为O 直径，ACB=90. ACB=ODB.ACPG. BAC=BOD=60.（2）证明：由（1）知，CD=BD，BDP=CDK，DK=DP，PDBCDK（SAS）.CK=BP，OPB=CKD.AOG=BOP，AG=BP. AG=CK.OP=OB，OPB=OBP.又G=OBP，AGCK.四边形 AGCK 是平行四边形.（3）证明：CE=PE，CD=BD，DEPB，即 DHPB.G=OPB，PBAG. DHAG. OAG=OHD.OA=OG，OAG=G. ODH=OHD. OD=OH.又ODB=HOP，OB=OP，OBDHOP（SAS）.OHP=ODB=90. PHAB.【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出BOD=60；另一方 面 ， 由 证 明 ACB=ODB=90 得 到 ACPG ， 根 据 平 行 线 的 同 位 角 相 等 的 性 质 得 到BAC=BOD=60.（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到 AG=CK；另一方面，证明 AGCK， 从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.（3）通过应用 SAS 证明OBDHOP 而得到OHP=ODB=90，即 PHAB.6. （2015绵阳第 22 题，11 分）如图，O 是ABC 的内心，BO 的延长线和ABC 的外接 圆相交于点 D，连接 DC，DA，OA，OC，四边形 OADC 为平行四边形（1）求证：BOCCDA；（2）若 AB=2，求阴影部分的面积考点：三角形的内切圆与内心；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算. 专题：计算题分析：（1）由于 O 是ABC 的内心，也是ABC 的外心，则可判断ABC 为等边三角 形 ， 所 以 AOB=BOC=AOC=120 ， BC=AC ， 再 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 得ADC=AOC=120，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明BOCCDA；（2）作 OHAB 于 H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到BOH=30，根据垂径定理得到 BH=AH=AB=1，再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 BH=AH=AB=1，OH=BH=，OB=2OH=，然后根据三角形面积公式和扇形面积 公式，利用 S 阴影部分=S 扇形 AOBSAOB 进行计算即可解答：（1）证明：O 是ABC 的内心，也是ABC 的外心，ABC 为等边三角形，AOB=BOC=AOC=120，BC=AC，四边形 OADC 为平行四边形，ADC=AOC=120，AD=OC，CD=OA，AD=OB，在BOC 和CDA 中，BOCCDA；（2）作 OHAB 于 H，如图，AOB=120，OA=OB，BOH=（180120）=30，OHAB，BH=AH=AB=1， OH=BH=， OB=2OH=，S 阴影部分=S 扇形 AOBSAOB=2=点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆， 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计 算7. （2015四川省内江市，第 27 题，12 分）如图，在ACE 中，CA=CE，CAE=30，O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上（1）试说明 CE 是O 的切线；（2）若ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时， 求O 的直径 AB 的长考点：圆的综合题；线段的性质：两点之间线段最短；等腰三角形的性质；等边三角形的 判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值.专题：综合题分析：（1）连接 OC，如图 1，要证 CE 是O 的切线，只需证到OCE=90即可；（2）过点 C 作 CHAB 于 H，连接 OC，如图 2，在 RtOHC 中运用三角函数即可解决问 题；（3）作 OF 平分AOC，交O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，易证四边形 AOCF 是 菱形，根据对称性可得 DF=DO过点 D 作 DHOC 于 H，易得 DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在 RtOHF 中运用三角函数即可解决问题 解答：解：（1）连接 OC，如图 1，CA=CE，CAE=30，E=CAE=30，COE=2A=60，OCE=90，CE 是O 的切线；（2）过点 C 作 CHAB 于 H，连接 OC，如图 2，由题可得 CH=h在 RtOHC 中，CH=OCsinCOH，h=OCsin60=OC，OC=h，AB=2OC=h；（3）作 OF 平分AOC，交O 于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，则AOF=COF=AOC=（18060）=60OA=OF=OC，AOF、COF 是等边三角形，AF=AO=OC=FC，四边形 AOCF 是菱形，根据对称性可得 DF=DO 过点 D 作 DHOC 于 H，OA=OC，OCA=OAC=30，DH=DCsinDCH=DCsin30=DC，CD+OD=DH+FD根据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时，DH+FD（即 CD+OD）最小，此时 FH=OFsinFOH=OF=6， 则 OF=4，AB=2OF=8当CD+OD 的最小值为 6 时，O 的直径 AB 的长为 8点评：本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、 特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短等 知识，把CD+OD 转化为 DH+FD 是解决第（3）小题的关键8. （2015浙江省台州市，第 22 题）如图，四边形 ABCD 内接于O，点 E 在对角线 AC 上，EC=BC=DC（1）若CBD=39，求BAD 的度数（2）求证：1=29. （2015 呼和浩特，24，9 分）(9 分)如图，O 是ABC 的外接圆，P 是O 外的一点，AM 是O 的直径，PAC=ABC(1) 求证：PA 是O 的切线；BC(2) 连接 PB 与 AC 交于点 D，与O 交于点 E，F 为 BD 上的一点，若 M 为 的中点，且DCF=P，求证：BDPD= FD ED= CD .AD考点分析：圆垂径定理、相切 相似三角形逻辑推理逆推 解析：什么是逆推？就是在做几何证明题时，从要证的结论出发进行推导，即假 定结论成立，将该结论作为已知条件进行推理，同时从题目中的已知条件 出发推理，向中间过程中的某关键步骤靠拢。 说过，在圆里证明直角有三种方法。方法一，假设该直角成立，且该直角 由两个锐角组成，那么就去分别找与这两个角相等或互余的角，看看他们 的关系；方法二，与一个直角是同位角或内错角的关系；方法三，用勾股逆定理算出来。先看第一问，首先你要在草稿纸上精确地把图画一遍，否则卷面的图一会就被你的尝试标花 了。做圆的题目，有相切或证相切，马上先将切点或要证的切点连接到圆心；做圆的题目， 有过直径的弦，马上把直角三角形画出来，连接了 BM 和 MC。这两步在证相切时经常用到， 因为前者需要一个包括两个锐角的直角，而后者能提供两个互余关系的锐角。从本题图上看， 标的1 既是要证直角中的一个锐角，也是 RtACM 中的一个锐角，很明显，我们找到思 路了，继续往下走。 下一步就是要看PAC=AMC？这个两个角离得还不近，通常做法是，我们继续寻找与这 两个角分别相等或有互余关系的角。已知有一个：PAC=ABC，那么要看ABC 是否能 等于AMC？能相等吗？你能看出来吗？为什么？该第二问了。讲过，一般圆的题目中给出两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积（可 能有两条是同一条）。或者给出线段的比值等于线段比值，基本上是相似问题，因为圆周角 太容易相等了。如果出现的是乘积形式，就写比值形式，看他 们处于那两个三角形中，这个就是解题思路，一般而言，呼市 相似题目还没有出到需要倒腾线段或进行线段加减后才能参与相似线段比的运算。先看哪些线段的比， BDPD= FD ED= CD，还有哪些新的已知条 AD件，这些已知条件的加入能推导出什么结论，哪些结论对证明 相似有利。BCM 为 的中点，什么意思？垂径定理，还是等弧对着的圆周角相等？不知道，的做法是两 个结论都标到图上，然后装在心里，呵呵，不是埋在心底，那太深了，一会提不出来。 等弧对着等角，但好像我们用不上这两个三角形，看看垂径定理。在考前重点突破讲过，两个等弦或两个等弧共一点，八成用垂径定理，没错，是八成，就是 80%。如果没有从共 点出发的直径，你一定给他搞一条，看看会有什么突破方向。本题，直径已经存在，就是 AM，垂径定理及其推论，你因该会。在图上早就标了垂足 H。你先前已经证得 AMAP， 根据垂径定理的推论，唾手可得 AMBC，则两条直线同时垂直一条直线，则两条直线是平 行，常说有平行出内错。在考前重点突破中中，如果在几何题中有平行，85%的情况是 用内错角，10%的情况用同位角，5%是同旁内角，千万别瞧不起 5%这个，有时候你在以算 角为主的几何题中还真的不好绕过他。不管他是1 和3 的内错，还是PAC 和BCA 的内错，足以使BDC 和PDA 相似, 有1相似的目的只有一个，就是对应边长度比例相同，则BDPD= CD AD。其实这道题目这个结论把有点小损，应该CDAD写在中间，我想出卷人故意写到最后的，这样会有些小思考，所以你需要更大的视野，尤其在圆的题目中。 你的眼界有多大，世界就有多大！其实我们老百姓都是井底之蛙，只是井口大小不一