离散序列的褶积与相关分析课件

已学过的内容,），,单位脉冲信号（Impluse） 的表示式为,回顾：单位脉冲信号,），,并且,与单位脉冲信号对应的是单位脉冲序列 ，数学上称其为Kronecker函数，其表示式为,回顾：单位脉冲序列,），,因此有,例2：计算 的频谱。,单位脉冲序列,），,例1：,回顾：连续信号的褶积,），,连续信号x(t)与y(t)的线性褶积(简称褶积):,表明:任何连续信号等于其与单位脉冲信号的褶积，称此性质为连续信号关于线性褶积的脉冲不变性，简称线性褶积的脉冲不变性。,并且有,离散信号的褶积,），,将前面的公式进行离散化：,称其为离散序列x(n)与y(n)的线性褶积,简称褶积。,这就是离散序列线性褶积的脉冲不变性。,离散褶积,），,这说明离散褶积具有可交换性质。,离散褶积,），,因此有,离散褶积,），,这表明：两个无限离散序列的褶积，其频谱就是两个对应离散序列频谱的乘积。,反过来讲，两个离散序列频谱乘积，其信号就是相应的两个离散序列的褶积。,离散褶积,），,定义：设信号 和 均是周期均为N的离散序列， 则称,为序列 与 的周期褶积。,周期褶积也具有脉冲不变性，即,表示对 n-k 做模 N 运算，即 n-k 除以 N 所得的非负余数。例如,离散褶积,），,对N点有限序列来说，还有一种循环褶积（Cyclic Convolution）定义如下,循环褶积具有可交换性，即,其中，式,离散褶积,），,通常我们所讲的普通离散褶积表示的是线性褶积并且将其简化为,例：计算两有限长度离散序列的线性褶积。,离散褶积,），,例：计算两有限长度离散序列的线性褶积。,可以选择两种方法计算它们的褶积（课堂做） ：,（1）、直接利用褶积表达式；,（2）、先单独计算各自的频谱，再计算它们频谱的乘积，最后进行逆变换。,离散褶积,），,第一种方法：,分别计算,时上述表达式的值。,离散褶积,），,将第一种计算方法中用到的计算公式写成如下的形式：,离散褶积,），,将第一种计算方法中用到的计算公式写成如下的形式：,离散褶积,），,根据线性褶积的可交换性，第一种计算方法中用到的计算公式也可写成如下的形式：,离散褶积,），,对于普通的具有如下形式的离散序列,则有,SFT（或DTFT）,），,取 时便可得到如下的变换,这就是无限离散序列的傅里叶积分变换（Sequence Fourier Transform，简写成SFT；也可称其为Discrete Time Fourier Transform，简称DTFT），或称序列傅里叶（积分）变换。,离散褶积,），,因此有,第二种方法：,离散褶积,），,对比公式,可以得到,离散褶积,），,在数列的有效长度较小时，选择第一种计算方法比较直观；第二种计算方法显得有点不太灵活！,但是，第二种方法在数列的有效长度较大时就会显示出无比的优越性：实际工作中的绝大多数科学计算，均采用第二种计算方法。为什么？这与后面将要讲到的快速Fourier变换方法有密切关系。,离散褶积,），,例1：根据万有引力定律，对一条直线上排列的4个质点进行观测（也只观测四个点上的数据），并且只分析垂直方向上的水平引力。,例2：在上例中，如果四个质点均匀地坐在一个大的圆环上，而观测点位于四个质点正上方的一个水平面上，情况又怎么样？试写出相对应的表达式 。,离散褶积,），,例：线性褶积 A*X=B 所对应的表达式：,其中的系数矩阵为Toeplitz矩阵。,离散褶积,），,例：循环褶积 所对应的表达式：,其中的系数矩阵为循环矩阵。,离散褶积,），,例：循环褶积 所对应的表达式：,离散褶积,），,例：计算两有限长度离散序列的循环褶积。,此处两序列的实际有效长度分别为3和4。若我们需要计算有限长度的循环褶积，实际意义是：我们需要从上面的离散序列中截取对应的长度做分析。,离散褶积,），,选择N=5时，则有：,对应的循环褶积为,离散褶积,），,选择N=6时，则有：,对应的循环褶积为,离散褶积,），,从上面的例子中，可以清楚地看出“从离散序列中截取对应的长度做分析”的含义！,一定不要有如下的错误认识（以N=6为例）,因为我们不知道：上面的离散序列是从何处截取而来的！它们与原始序列之间存在有很大的差别！,离散褶积,），,问题：在上例中，若已知两序列的有效长度分别为N1和N2。请问：循环褶积的长度N应满足什么条件时，所得到的线性褶积与循环褶积在有效离散数值上是对等的？,离散褶积,），,离散序列的相关分析,有的同学反映：课堂上好象懂了，课外做作业时又都不会了。这种现象很正常，就象我认识同学们一样：在教室里好象都认识，教室外面又有点陌生了；不认识的时候，感觉好多同学的长相有点像，认识多了才能够区别开。生活中也是这样：有的双胞胎长的只有他们的父母才能区别开。远的不说，就拿我们自己来说吧：小时候的我们同现在的我们，长相有什么变化？变化有多大？,那么，如何判别彼此之间的相似性？这就牵涉到一个判别准则的选择问题。,离散序列的相关分析,小时候的我（用一个序列 x1(n) 来表示）与现在的我（用一个序列 x(n) 来表示）在主要特征上保留了很多的相同之处。尽管我们身材高大了，但还是存在着一定程度的相对比例。因此，我们可以采样如下的表达式 ：,来定量地表示两序列之间的区别（其中为一常数）。,问题：应该取多大时，才能使 Q达到最小？,离散序列的相关分析,问题：应该取多大时，才能使 Q达到最小？,可以得到,离散序列的相关分析,此时,显然，,代表了两组序列的相似程度： （1）若其等于零， 误差最大； （2）若其等于1， 误差为零。,离散序列的相关分析,称,为序列x1(n)与x2(n)的相关系数。,有时也称,为序列x1(n)与x2(n)的未标准化的相关系数，简称为相关系数。,离散序列的相关分析,同连续信号一样，离散序列也存在线性相关、周期相关和循环相关这三种运算：,离散序列的相关分析,线形相关等同于,离散序列的相关分析,因此有,这说明了离散序列的相关运算不具有可交换性质。,离散序列的相关分析,设,离散序列的相关分析,设,（1）、两个无限离散序列x(n)与y(n)的相关，其频谱就是x(n)频谱 乘以y(n)频谱的共轭 。 （2）、线性相关不具有可交换性。,这说明：,离散序列的相关分析,通常所说的相关指的是线性相关，并且将其简化为,离散序列的相关分析,其中的系数矩阵为Hankel矩阵。,线性相关,对应的表达式：,离散序列的相关分析,其中的系数矩阵为循环Hankel矩阵。,循环相关,对应的表达式（N=9）：,离散序列的相关分析,在做相关分析时，若两离散序列是完全相等的，则称其为自相关，否则为互相关。,离散序列的相关分析,自相关序列具有如下的性质：,1、,是对称共轭的，即,特别地，对于实序列而言，对应的自相关是实对称的。,离散序列的相关分析,自相关序列具有如下的性质：,2、,在n=0时是实的，并且达到最大值(0)，即,离散序列的相关分析,自相关序列具有如下的性质：,3、若序列x(n)是能量有限的，则有,离散序列的相关分析,自相关序列具有如下的性质：,4、序列x(n)自相关只与其振幅谱有关（与相位谱无关），即,褶积与相关的关系,两序列x(n)与y(n)的褶积表达式：,而它们之间的相关表达式,因此，若记,，则有,褶积与相关的关系,离散序列的褶积与相关分析,1、离散序列的褶积是重点；相关分析只需了解。,2、线性褶积与循环褶积是重点！ 必须熟练掌握相应公式的推导与计算方法及过程