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第六章 数列1二、重难点击本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。知识网络数列与正整数集关系 等差数列等比数列特殊数列求和方法公式法倒序相加法错位相减法裂项相消法 递推公式通项公式 数列第一课时 数列15四、数列通项与前项和的关系12课前热身3数列的通项公式为 ,则数列各项中最小项是( B )A第项B第项C第项D第项4已知数列是递增数列，其通项公式为,则实数的取值范围是5数列的前项和,，则题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式 7，77，777，7777，1，3，3，5，5，7，7，9，9解析：将数列变形为，将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，。可得数列的通项公式为点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二 应用求数列通项例2已知数列的前项和，分别求其通项公式. 解析：当，当又不适合上式，故 三、利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式解析：因为，所以所以，以上个式相加得 即：点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。课外练习3设，()，则的大小关系是( C )ABCD不能确定解：因为所以，选二、填空题5已知数列的前项和则7已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是解：构造函数由函数性质可知，函数在上递减，且函数在上递增且三、解答题6.2等差数列知识要点2递推关系与通项公式是数列成等差数列的充要条件。等差中项：若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。前项和公式 ； 是数列成等差数列的充要条件。5等差数列的基本性质反之，不成立。仍成等差数列。判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列通项公式法：是等差数列前项和公式法：是等差数列课前热身 2等差数列中，A14B15C16D17解。3等差数列中，则前10或11项的和最大。解：为递减等差数列为最大。4已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为110解：成等差数列，公差为D其首项为，前10项的和为 设等差数列的前项和为，已知 求出公差的范围，指出中哪一个值最大，并说明理由。解： 课外练习一、 选择题1 已知数列是等差数列，其前10项的和，则其公差等于( D )2 已知等差数列中，等于（ A ）A15 B30 C31 D64二、填空题3 设为等差数列的前项和，=544 已知等差数列的前项和为，若5 设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同点组成公差为的等差数列，则的取值范围为解：椭圆的焦点F到椭圆上的点最大、最小距离分别为，由题意得：三、解答题6 等差数列的前项和记为，已知 求通项；若=242，求解：由，=2427 甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，甲、乙开始运动后几分钟相遇？如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？解：设分钟后第一次相遇，依题意有：故第一次相遇是在开始运动后7分钟。设分钟后第二次相遇，则：故第二次相遇是在开始运动后15分钟10已知数列中，前和求证：数列是等差数列求数列的通项公式设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。解：数列为等差数列。要使得对一切正整数恒成立，只要，所以存在实数使得对一切正整数都成立，的最小值为。6.3等比数列知识要点1 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。2 递推关系与通项公式3 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。4 前项和公式5 等比数列的基本性质， 反之不真！ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。 仍成等比数列。6 等比数列与等比数列的转化 是等差数列是等比数列； 是正项等比数列是等差数列； 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。7 等比数列的判定法定义法：为等比数列；中项法：为等比数列； 通项公式法：为等比数列；前项和法：为等比数列。1 2 已知数列是等比数列，且70 （问题引入）猜想：是等比数列，公比为。证明如下： 即：，是首项为，公比为的等比数列。 二、性质运用例2：在等比数列中，求，若 在等比数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式 成立。 解：由等比数列的性质可知： 由等比数列的性质可知，是等差数列，因为由题设可知，如果在等差数列中有成立，我们知道，如果，而对于等比数列，则有所以可以得出结论，若成立，在本题中点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新，要熟练掌握。典例精析一、 错位相减法求和例1：求和： 解： 由得：点拨：若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法； 当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论； 当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。二、 裂项相消法求和例2：数列满足=8， （） 求数列的通项公式；则所以，=8（1）（2）102 对一切恒成立。故的最大整数值为5。点拨：若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。 使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。三、 奇偶分析法求和例3：设二次函数 1 在等差数列中，=1，前项和满足 求数列的通项公式 记，求数列的前项和。解：设数列的公差为，由所以=由，有 所以 得课外练习 数列的前项和为，若等于（ B ）的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等差数列，那么的值为（ C ）A1 B1 C0 D10解：因为函数的定义域为，且是以2为周期的周期函数，所以又数列是首项为，公差为1的等差数列故原式=0，选C。二、填空题设等比数列的公比与前项和分别为和，且1，6数列满足，则数列的前项和为= ）数列的前100项的和为。（）选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库典例精析一、 函数与数列的综合问题 设是常数，求证：成等差数列； 若，的前项和是，当时，求解：， 点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特 征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。 已知正项数列的前项和为，的等比中项， 求证：数列是等差数列； 若，数列的前项和为，求 在的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。解：的等比中项， 所以数列是等差数列。 所以当且仅当3+=0，即=3时，数列 为等比数列。 已知在正项数列中，=2，且在双曲线上，数列中，点（，）在直线上，其中是数列的前项和，求数列的通项公式；求证：数列是等比数列。若。解：由已知带点在上知， ，所以数列是以2为首项，以1为公差的等差数列。所以因为点（,）在直线上， 一、选择题1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时， A. B. C. D. 【解析】由得，则， ，选C. 答案 C2.（2009辽宁卷理）设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = A. 2 B. C. D.3【解析】设公比为q ,则1q33 q32 于是 【答案】B14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。 答案 4 5 32解析 （1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=516.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 . 解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.答案:2n17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 .答案：122.（2009全国卷理）在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和分析：（I）由已知有利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()（II）由（I）知,=而,又是一个典型的错位相减法模型，易得 =23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题.（）由于与均不属于数集，该数集不具有性质P. 由于都属于数集， 该数集具有性质P.（）具有性质P，与中至少有一个属于A，由于，故. 从而，.， ，故.由A具有性质P可知.又，从而，. （）由（）知，当时，有，即， ，由A具有性质P可知. ，得，且，即是首项为1，公比为成等比数列. 25（2009江苏卷）对于正整数2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数2，有.【解析】 必做题本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。 29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项 （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有解：（1）由得将代入化简得 所以 故数列为等比数列，从而即可验证，满足题设条件.(2) 由题设的值仅与有关,记为则 考察函数 ,则在定义域上有 故对， 恒成立. 又 ,注意到,解上式得取,即有 . 30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(）令，试比较与的大小，并予以证明。解（I）在中，令n=1，可得，即当时，. . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是.(II)由（I）得，所以由-得 于是确定的大小关系等价于比较的大小由 可猜想当证明如下：证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。（2）假设时所以当时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有证法2：当时综上所述，当，当时31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列与数列的通项公式；（II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由；（III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；解（I）当时， 又数列是首项为，公比为的等比数列， 3分（II）不存在正整数，使得成立。证明：由（I）知 当n为偶数时，设 当n为奇数时，设对于一切的正整数n，都有 不存在正整数，使得成立。 8分（III）由得 又， 当时，当时，32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M0,对任意的，恒有 , 则称数列为数列.（）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;（）设是数列的前n项和.给出下列两组判断：A组：数列是B-数列, 数列不是B-数列;B组：数列是B-数列, 数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；()若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。解: （）设满足题设的等比数列为,则.于是 =所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 .（）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题.事实上设=1，易知数列是B-数列，但=n， .由n的任意性知，数列不是B-数列。命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 , 即.于是,所以数列是B-数列。（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） ()若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 .因为 .记，则有 .因此.故数列是B-数列.33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， .猜想数列的单调性，并证明你的结论；（)证明：。 证明（1）由由猜想：数列是递减数列下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即易知，那么=即也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立（2）当n=1时，结论成立当时，易知 35.（2009天津卷理）已知等差数列的公差为d（d0），等比数列的公比为q（q1）。设=+.+ ,=-+.+(-1 ,n 若= 1，d=2，q=3，求 的值；若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n； () 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。（）解：由题设，可得所以， （）证明：由题设可得则 式减去式，得 式加上式，得 式两边同乘q，得 所以， ()证明： 因为所以 若，取i=n 若，取i满足且由（1）,(2)及题设知，且 当时，得即，又所以 因此当同理可得，因此 综上，37.（2009年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。若，是否存在，有说明理由； 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若则。 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 7分（）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。10分【解法二】设 则若d=0，则 若（常数）即，则d=0，矛盾综上所述，有， 10分（3） 设.，. 13分取 15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若p为偶数，则am+1+am+2+am+p为偶数，但3k为奇数故此等式不成立，所以，p一定为奇数。当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=当为偶数时，存在，使3k成立 1分当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分当p=5时，则am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在故不是所有奇数都成立. 2分三、解答题10.（2008全国I）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：（）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数