数列经典结论总结.docVIP

数列复习基本知识点1.等差数列的有关概念：（1） 等差数列的判断方法：（2） 定义法：为等差数列。 中项法： 为等差数列。通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。（2）等差数列的通项：或。公式变形为:. 其中a=d, b= d.如(1)等差数列中，则通项（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）（3） 等差数列的前和：，。公式变形为：，其中A=，B=.（注意：已知n,d, , 中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”）如（1）数列 中，前n项和，则，（答：，）；（2）已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）.（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。3.等差数列的性质： (1) 项数成等差,则相应的项也成等差数列.即成等差.若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）（2）在等差数列中，当项数为偶数时， ；. 项数为奇数时， ； ；。 如（1）在等差数列中，S1122，则_（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.（3）单调性：设d为等差数列的公差，则 d0是递增数列；d0是递减数列；d=0是常数数列(4)若等差数列、的前和分别为、，且，则.如设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_（答：）(5)已知成等差数列，求的最值问题： 若,d0且满足,则最小. “首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。如（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 （答：4006）4.等比数列的有关概念：（1）等比数列的判断方法：定义法，其中或。如（1）一个等比数列共有项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则为_（答：）；（2）等比数列的通项：或。如设等比数列中，前项和126，求和公比. （答：，或2）（3）等比数列的前和：当时，；当时，。如（1）等比数列中，2，S99=77，求（答：44）特别提醒：等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_（答：AB）提醒：（1）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）6.数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如已知的前项和满足，求（答：）；数列满足，求（答：）已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则_（答：）若求用累加法：。如已知数列满足，则=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知数列中，前项和，若，求（答：）已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。如已知，求（答：）；已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。如已知，求（答：）；已知数列满足=1，求（答：）注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求（答：）7.数列求和的常用方法：（1）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。如求：（答：）（2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 如设为等比数列，已知，求数列的首项和公比；求数列的通项公式.（答：，；）； （3）裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一