2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用》理新人教A版.doc

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现：(1)直接利用数量积进行平面向量的运算，如2012年北京T13，上海T12等(2)利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题，如2012年新课标全国T13，江西T7等.(3)利用平面向量的数量积解决垂直问题如2012年安徽T11等.归纳知识整合1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a|b|cos 叫做a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cos ，规定0a0.2向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc探究根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立(1)abac，则bc吗？(2)(ab)ca(bc)吗？提示：(1)不一定，a0时不成立，另外a0时，abac.由数量积概念可知b与c不能确定；(2)(ab)ca(bc)不一定相等(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|自测牛刀小试1(教材习题改编)已知|a|5，|b|4，ab10，则a与b的夹角为()A.B.C. D.解析：选B设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos 54cos 10，即cos .又0，.2(教材习题改编)等边三角形ABC的边长为1，a，b，c，那么abbcca等于()A3 B3C. D解析：选D由题意知|a|b|c|1，且a与b的夹角为120，b与c的夹角为120，c与a的夹角也为120.故abbcca.3设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|()A. B.C. D.解析：选B|a2b|.4(教材习题改编)已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，若向量akb与akb垂直，则k_.解析：(akb)(akb)，(akb)(akb)0，即|a|2k2|b|20.又|a|3，|b|4，k2，即k.答案：5若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x_.解析：由题意可得8ab(6,3)，又(8ab)c30，c(3，x)，则183x30，解得x4.答案：4平面向量数量积的运算例1(1)(2012天津高考)已知ABC为等边三角形，AB2.设点P，Q满足，(1) ，R，若，则()A.B.C. D.(2)(2012上海高考)在平行四边形ABCD中，A，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是_自主解答(1)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由，得P(2，0)，由(1) ，得Q(1，(1)，所以(1，(1)(21，)(1)(21)(1)，解得.(2)建立平面直角坐标系，如图则B(2,0)，C，D.令，则M，N.225(1)26.01，2,5答案(1)A(2)2,5平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab|a|b|cos ；二是坐标公式abx1x2y1y2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简注意以下两个重要结论的应用：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.1.(2012江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)设F(x,2)(0x)，由xx1，所以F(1,2)，(，1)(1，2).答案：平面向量的夹角与模的问题例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|.自主解答(1)(2a3b)(2ab)61，解得ab6.cos ，又0，.(2)|ab|2a22abb213，|ab|.|ab|2a22abb237.|ab|.本例条件不变，若a，b，试求ABC的面积解：与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sin ABC433. 1利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.2求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos ，其中两向量夹角的范围为0180，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系(2)利用坐标公式，若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .(3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解2(1)已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc与向量a的夹角解：(1)(2,0)，|2，又(2)，(2)22120.(2)2422444210.|2|.(2)由已知得(abc)aa2abac12cos 1203cos 120，|abc| .设向量abc与向量a的夹角为，则cos ，即150，故向量abc与向量a的夹角为150.平面向量的垂直问题例3已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算|ab|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)自主解答(1)|ab|2|a|22ab|b|2162486448，故|ab|4.(2)若(a2b)(kab)，则(a2b)(kab)0，即ka2(2k1)ab2b216k16(2k1)2640，解得k7.即k7时，两向量垂直两向量垂直的判断方法及应用(1)若a，b为非零向量，则abab0；若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径3在直角三角形ABC中，已知(2,3)，(1，k)，求k的值解：(1)当A90时，0.213k0，解得k.(2)当B90时，又(1，k)(2,3)(1，k3)，2(1)3(k3)0，解得k.(3)当C90时，1(1)k(k3)0，即k23k10.k.综上可得k的值为或或.平面向量数量积的应用例4设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin )(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求证：ab.自主解答(1)由a与b2c垂直，a(b2c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.(2)bc(sin cos ，4cos 4sin )|bc|2sin22sin cos cos216cos232cos sin 16sin21730sin cos 1715sin 2，最大值为32，所以|bc|的最大值为4.(3)由tan tan 16得sin sin 16cos cos ，即4cos 4cos sin sin 0，所以ab.平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等4在ABC中，已知2|3|2，求角A，B，C的大小解：设BCa，ACb，ABc，由2|得2bccos Abc，cos A，又A(0，)，A.由|3|2得bca2，由正弦定理得sin Csin Bsin2A，sin Csin，即sin C，2sin Ccos C2sin2C，sin 2Ccos 2C0，sin0，由A知0C，2C0，则a与b的夹角为锐角或0；(2)若ab0，|b|0,0cos ，且ab、ba，所以cos ，cos ，其中m，nN*，两式相乘，得cos2，因为0cos ，所以0cos2，得到0mn2，故mn1，即ab.答案D1本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力2解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义的意义(2)理解ab与ba都在集合中的实际意义是cos 与cos 都能表示成(nZ)的形式(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0cos2，即0mn0，即(1,2)(1，2)0.(1)2(2)0.当a与ab共线时，存在实数m，使abma，即(1，2)m(1,2)，解得0.即当0时，a与ab共线，综上可知，且0.11已知ABC为锐角三角形，向量m(3cos2A，sin A)，n(1，sin A)，且mn.(1)求A的大小；(2)当pm，qn(p0，q0)，且满足pq6时，求ABC面积的最大值解：(1)mn，3cos2Asin2A0.3cos2A1cos2A0，cos2A.又ABC为锐角三角形，cos A，A.(2)由(1)可得m，n.|p，|q.SABC|sin Apq.又pq6，且p0，q0，3.pq9.ABC面积的最大值为9.12已知向量a(1,2)，b(cos ，sin )设matb(t为实数)(1)若，求当|m|取最小值时实数t的值；(2)若ab，问：是否存在实数t，使得向量ab和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由解：(1)因为，所以b，ab，则|m| ，所以当t时，|m|取到最小值，最小值为.(2)存在满足题意的实数t，由条件得cos，又因为|ab|，|at b|，(ab)(at b)5t，则有，且t5，整理得t25t50，所以存在t满足条件1下列判断：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；a，b共线ab|a|b|；|a|b|0，则a与b的夹角为锐角；若a，b的夹角为，则|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影的数量其中正确的是_解析：由于a20，b20，所以，若a2b20，则ab0，故正确；若ab0，则ab，又a，b，c是三个非零向量，所以acbc，所以|ac|bc|，正确；a，b共线ab|a|b|，所以错；对于，应有|a|b|ab，所以错；对于，应该是aaa|a|2a，所以错；a2b22|a|b|2ab，故正确；当a与b的夹角为0时，也有ab0，因此错；|b|cos 表示向量b在向量a方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故错综上可知正确答案：2平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(2)()0，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D无法确定解析：选B由(2)()0，得()()()0，所以()()0.所以|2|20，故|，故ABC是等腰三角形3已知A，B，C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求的值解：(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin 3)，2(cos 3)2sin2106cos ，2cos2(sin 3)2106sin .由|，可得22，即106cos 106sin ，得sin cos