2019安徽教师招聘考试-解析几何习题类型

师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 1 页 共9页 解析几何习题类型 考点 1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程 解之. 例 1若抛物线 2 2ypx的焦点与椭圆 22 1 62 xy 的右焦点重合，则p的值（） A2B2C4D4 考查意图:考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何 性质. 解答过程：椭圆 22 1 62 xy 的右焦点为(2,0)，所以抛物线 2 2ypx的焦点为 (2,0)，则 4p ，故选 D. 考点 2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点 的坐标,利用距离公式解之. 例 2已知ABC的顶点B、C在椭圆x 2 3 y 21 上，顶点 A是椭圆的一个焦点， 且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（） A2 3B6C4 3D12 考查意图:考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用. 解答过程：由椭圆方程x 2 3 y 21 知 33 2,0 ,2,2, 33 ABC 2 2 35 32 35 3 22.24 3. 3333 ABC ABC 故选 C. 考点 3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率离心率e a c (0,1) (e越大则椭圆越扁); (2) 双曲线的离心率离心率e a c (1, ) (e越大则双曲线开口越大). 结合有关知识来解题. 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 2 页 共9页 例 3已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为60o的直 线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（） A(1,2B(1,2)C2,)D(2, ) 考查意图:考查意图: 本题主要考查双曲线的离心率离心率e a c (1, )的有关知识. 解答过程： 2 22 2 2 1132. cabb e aaa 考点 4.求最大(小)值 求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利 用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答. 例 4已知抛物线y 2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两 点，则y1 2+y 2 2的最小值是 . 考查意图:考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小) 值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为 22 4 ,8164 ,yk xkxxx 故填 32. 考点 5圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的 重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心. 例 5已知 P 是椭圆 2 2 x y1 4 上的点， 12 F,F是椭圆的两个焦点，且 12 FPF60，求 12 FPF的面积. 解答过程：依题意得： 12 PFPF2a4，在 12 FPF中由余弦定理得 222 1212 (2 3)PFPF2PF PF cos60 2 121212 (PFPF )2PF PF2PF PF cos60， 解之得： 12 4 PF PF 3 ，则 12 FPF的面积为 12 13 PF PF sin60 23 . 小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重； （2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理 非常重要. 考点 6利用向量求曲线方程 12 2222 2 22 12 22 84160, 841 4416 232. k xkxk k yyxx kk 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第 3 页 共9页 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题： 例 6双曲线C与椭圆 22 1 84 xy 有相同的焦点，直线y=x3为C的一条渐近线. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的 顶点不重合）.当 12 PQQAQB ，且 3 8 21 时，求Q点的坐标. 考查意图:考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能 力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：（）设双曲线方程为 22 22 1 xy ab , 由椭圆 22 1 84 xy ,求得两焦点为( 2,0),(2,0) ， 对于双曲线:2C c ，又3yx为双曲线C的一条渐近线 3 b a 解得 22 1,3ab， 双曲线C的方程为 2 2 1 3 y x （）解法一： 由题意知直线l的斜率k存在且不等于零. 设l的方程： 11 4, ( ,)ykxA x y， 22 (,)B xy ,则 4 (,0)Q k . 1 PQQA , 111 44 (, 4)(,)xy kk . 1 111 111 1 44 44 () 4 4 x kkx kk yy 11 (,)A x y在双曲线C上， 2 1 2 11 11616 ()10 k . 2222 11 16 1632160. 3 kk 222 11 16 (16)32160. 3 kk 同理有： 222 22 16 (16)32160. 3 kk 若 2 160,k则直线l过顶点，不合题意. 2 160,k 12 , 是二次方程 222 16 (16)32160. 3 kxxk 的两根. 12 2 328 163k , 2 4k，此时0,2k . 所求Q的坐标为( 2,0). 解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第4页 共9页 设l的方程， 1122 4,(,),(,)ykxA x yB xy ，则 4 (,0)Q k . 1 PQQA ， Q分PA 的比为 1 . 由定比分点坐标公式得 1 1 11 11 11 1 11 44 (1) 1 44 0 1 x x kk y y 下同解法一 解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程： 1122 4, ( ,), (,)ykxA x yB xy，则 4 (,0)Q k . 12 PQQAQB ， 111222 444 (, 4)(,)(,)xyxy kkk . 1122 4yy ， 1 1 4 y ， 2 2 4 y ， 又 12 8 3 ， 12 112 3yy ,即 1212 3()2yyy y . 将4ykx代入 2 2 1 3 y x 得 222 (3)244830kyyk. 2 30k，否则l与渐近线平行. 2 1212 22 24483 , 33 k yyy y kk . 2 22 24483 32 33 k kk .2k ( 2,0)Q. 解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设l的方程： 4ykx， 1122 ( ,), (,)A x yB xy ,则 4 (,0)Q k 1 PQQA , 111 44 (, 4)(,)xy kk . 1 1 1 4 4 4 4 k kx x k .同理 1 2 4 4kx . 12 12 448 443kxkx . 即 2 1212 25 ()80k x xk xx. （*） 又 2 2 4 1 3 ykx y x 消去 y 得 22 (3)8190kxkx. 当 2 30k时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 2 30k. 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第5页 共9页 C B A o y x 由韦达定理有： 12 2 12 2 8 3 19 3 k xx k x x k 代入（*）式得 2 4,2kk . 所求 Q 点的坐标为( 2,0) . 考点 7利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最 值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易. 例 7设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 3 3 ，过点C( 1,0) 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点，且CA2BC ，求当AOB的面积达到最大值时直 线和椭圆 E 的方程. 解答过程：因为椭圆的离心率为 3 3 ，故可设椭圆方程为 22 2x3yt(t0)，直线 方程为my x1， 由 22 2x3yt myx1 得： 22 (2m3)y4my2t0 ，设 1122 A(x ,y ),B(x ,y )， 则 12 2 4m yy 2m3 又CA2BC ，故 1122 (x1,y )2( 1 x , y ) ，即 12 y2y 由得： 1 2 8m y 2m3 ， 2 2 4m y 2m3 ， 则 AOB12 2 1m S| yy | 6| 22m3 66 3 2 2|m| |m| ， 当 2 3 m 2 ，即 6 m 2 时，AOB面积取最大值， 此时 2 12 222 2t32m y y 2m3(2m3) ，即t10， 所以，直线方程为 6 xy10 2 ，椭圆方程为 22 2x3y10. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系 容易. 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第6页 共9页 考点 8利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围，一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成 求函数的值域问题. 例 8 已知椭圆 2 2 1 2 x y 的左焦点为 F，O 为坐标原点. （I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程； （II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点， 线段 AB 的垂直平分线与x轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围. 考查意图:考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考 查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力. 解答过程：（I） 22 2,1,1,( 1,0), :2.abcFl x 圆过点 O、F， 圆心 M 在直线 1 2 x 上. 设 1 (, ), 2 Mt 则圆半径 13 ()( 2). 22 r 由 ,OMr 得 22 13 (), 22 t 解得2.t 所求圆的方程为 22 19 ()(2). 24 xy （II）设直线 AB 的方程为 (1)(0),yk xk 代入 2 2 1, 2 x y 整理得 2222 (12)4220.kxk xk 直线 AB 过椭圆的左焦点 F，方程有两个不等实根. 记 1122 ( ,), (,),A x yB xyAB中点 00 (,),N xy 则 2 12 2 4 , 21 k xx k AB的垂直平分线 NG 的方程为 00 1 ().yyxx k 令 0,y 得 222 00 2222 211 . 212121242 1 0,0, 2 G G kkk xxky kkkk kx 点 G 横坐标的取值范围为 1 (,0). 2 考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 y l G A B FO 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第7页 共9页 P Q C B A x y O 存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线 方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成 立，否则，不成立. 例 9已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点，点 A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆的中心 O，且AC BC0 ，|BC| 2|AC| ， （1）求椭圆的方程； （2）如果椭圆上的两点 P,Q 使PCQ的平分线垂直于 OA，是否总存在实数， 使得PQAB ？请说明理由； 解答过程：（1）以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系，则A(2,0)， 设椭圆方程为 22 2 xy 1 4b ，不妨设 C 在 x 轴 上方， 由椭圆的对称性， |BC| 2|AC| 2|OC|AC| |OC| ， 又AC BC0 ACOC，即OCA为等腰直角三角形， 由A(2,0)得：C(1,1)，代入椭圆方程得： 2 4 b 3 ， 即，椭圆方程为 22 x3y 1 44 ； （2）假设总存在实数，使得PQAB ，即AB/PQ， 由C(1,1)得B( 1, 1) ，则 AB 0( 1)1 k 2( 1)3 ， 若设 CP：yk(x1)1，则 CQ：yk(x1)1 ， 由 22 222 x3y 1 (1 3k )x6k(k1)x3k6k10 44 yk(x1) 1 ， 由C(1,1)得x1是方程 222 (1 3k )x6k(k1)x3k6k10 的一个根， 由韦达定理得： 2 PP 2 3k6k1 xx1 1 3k ，以k代 k 得 2 Q 2 3k6k1 x 1 3k ， 故 PQPQ PQ PQPQ yyk(xx )2k 1 k xxxx3 ，故AB/PQ， 即总存在实数，使得PQAB . 评注：此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、 向量的共线及探索性问题的处理方法等，是一道很好的综合题. 师出教育电话：400-600-2690咨询 QQ:1400700402第8页 共9页 考点 10利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题，一般情况下，是把直线的方程和曲线的方程组 成方程组，进一步来判断方程组的解的情况，但要注意判别式的使用和题设中 变量的范围. 例 10设 G、M 分别是ABC的重心和外心，A(0, a)，B(0,a)(a0)，且 GMAB ， （1）求点 C 的轨迹方程； （2）是否存在直线 m，使 m 过点(a,0)并且与点 C 的轨迹交于 P、Q 两点，且 OP OQ