理论力学谢传锋第九章习题解答.doc

第九章部分习题解答第九章部分习题解答 92 解：解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具 有理想约束。作用在系统上的主动力为重力 。如图（a）所示，假设重物的加速gMgM 21 , 2M 度的方向竖直向下，则重物的加速度竖直向 2 a 1 M 1 a 上，两个重物惯性力为 I2I1, F F 11I1 aMF 22I2 aMF （a） 该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位 2M 移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有 2 x 1 M 1 x （a） （b）0 2I21I12211 xFxFxgMxgMW 根据运动学关系可知 （c） 21 2 1 xx 21 2 1 aa 将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意有0 2 x （b） 2 12 12 2 m/s8 . 2 4 24 g MM MM a 方向竖直向下。 取重物为研究对象，受力如图（b）所示，由牛顿第二定律有 2M 222 aMTgM 解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。N 1 . 56T 94 解：解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为 2 )( 2 1 RlmT M1g M2g FI2 FI1 x2 x1 M2g T a2 取圆柱轴线 O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为 cos)(sinRlRmgV 拉格朗日函数，代入拉格朗日方程VTL 0)( LL dt d 整理得摆的运动微分方程为 。0sin)( 2 gRRl 96 解：解：如图所示，该系统为保守系统，有一个 自由度，取弧坐标 为广义坐标。系统的动s 能为 2 2 1 SmT 取轨线最低点 O 所在的水平面为零势面，图 示瞬时系统的势能为 mghV 由题可知，因此有。则拉格朗日函数 b s ds dh 4 sin b s d b s h S o 8 s 4 2 22 82 1 s b mg smVTL 代入拉格朗日方程，整理得摆的运动微分方程为。解得质点0)( s L s L dt d 0 4 s b g s 的运动规律为，其中为积分常数。) 2 1 sin( 0 t b g As 0 ,A 913 解：解：1.求质点的运动微分方程 圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴 AB 转动，该系统有一个自由度，取角度 为广义坐标。系统的动能为 零势面 h 零势面 22 )sin( 2 1 )( 2 1 rmrmT 如图所示，取为零势位，图示瞬时系统的势能为0 )cos1 ( mgrV 则拉格朗日函数 )cos1 ()sin( 2 1 2222 mgrmrVTL 代入拉格朗日方程，整理得质点的运0)( LL dt d 动微分方程为 0sin)cos( 2 r g 2.求维持圆环作匀速转动的力偶M 如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴 AB 的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴M AB 匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆M 环绕轴 AB 的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗 日函数为 )cos1 ()sin( 2 1 2222 mgrmrVTL 力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，M0, 0 在这组虚位移下力偶所做的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义M0 WM 力；取，在这组虚位移下力偶所做的虚功为，0 M Q0, 0M MW 因此力偶对应于广义坐标的广义力。MM W Q M 代入拉格朗日方程，整理可得0)( M Q LL dt d 0sin r g 代入拉格朗日方程，整理可得MQ LL dt d M )( 零势位 Mmrmr 2sinsin 222 圆环绕铅垂轴 AB 以匀速转动，即，代入上式可得。0, 2sin 2 mrM 914 解：解： 以刚体为研究对象，有一个自由度。如图（a）所示，取和 OC 的夹角为广义GO3 坐标。若以框架为动系，则刚体的相对运动是以角速度绕轴的定轴转动，OCOO 21 21O O 牵连运动是以角速度绕轴的定轴转动，绝对角速度是和的矢量和。以OC a 为轴，为轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度可表 21O O x GO3 y a 示成 a zjisincos （a） （b） 由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为zyxO 33 O )sin()cos( 2 1 2 3 2 2 2 1 JJJT 取为零势位，图示瞬时系统的势能为，则拉格朗日函数0)cos1 ( mglV )cos1 ()sin()cos( 2 1 2 3 2 2 2 1 mglJJJVTL 代入拉格朗日方程，整理可得物体的运动微分方程为0)( LL dt d sincossin)( 32 2 1 mglJJJ x z y z G O3 垂直于 O1O2的平面 y 915 解：解：框架（质量不计）以匀角速度绕铅垂边转动，系统有一个自由度，取 AB 杆与铅垂 边的夹角为广义坐标。若以框架为动系，AB 杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相 对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直且相对速度和牵连速度相互垂直, 因此杆 AB 的 动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。如图所示，AB 杆相对于框 架作平面运动， “速度瞬心”为 O 点，设 AB 杆的质心为 C，由几何关系可知 ，则质心为 C 的速度大小为。杆 AB 相对于框架运动的动能lBCOCAClvC 2222 2 C1 3 2 )2( 12 1 2 1 2 1 mllmmvT 杆 AB 随框架转动的动能 222 2 0 2 2 sin 3 2 )sin( 22 1 mlxdx l m T l 系统的动能。 21 TTT 假设时杆势能为零，则任意位置系统的 0 90 势能为。则拉格朗日函数cosmglV cos)sin( 3 2 2222 mglmlVTL 代入拉格朗日方程，整理得系统的运动微分方程0)( LL dt d 0sin3cossin44 2 gll 由于角描述的是杆 AB 相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。 917 解：解：取楔块 A，B 构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块 A 水平滑动的位 移，以及楔块 B 相对于 A 滑动的位移为广义坐标。若以楔块 A 为动系，则楔块 A 的速xs 度，楔块 B 的速度，以及 B 相对于 A A v B v 的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图 所示） C O x s A v Br v BrAB vvv 系统的动能为 )sin()cos( 222 1 2 1 22 2 2 1 2 BB 2 AA ssx g P x g P vmvmT 2 22 2 21 2 1 cos 1 )( 2 1 sP g sxP g xPP g 取过轴的水平为零势面，某瞬时系统的势能为。则拉格朗日函数xsin 2s PV sin 2 1 cos 1 )( 2 1 2 2 22 2 21 sPsP g sxP g xPP g VTL 水平力对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移Fxs0, 0sx 下力所做的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取FxFW x FxFQ F x ，在这组虚位移下力所做的虚功为，因此力对应0, 0sxFsFW s cosF 于广义坐标的广义力。scosFQ F s 代入拉格朗日方程，整理可得FQ x L x L dt d F x )( （a）FgsPxPP cos)( 221 代入拉格朗日方程，整理可得cos)(FQ s L s L dt d F s （b）gPFsPxP)sincos(cos 222 由方程（a） 、 （b）解得 楔块 A 的加速度：，方向水平向右。 sin sin cossin 2 21 2 A g PP PF xa 楔块 B 的相对加速度：，方向沿斜面向上。g PPP PPPFP sa )sin( sin)(cos 2 212 2211 Br 918 解：解：取楔块 ABC 和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔 块水平滑动的位移，以及圆柱的转角（A 点=0）为广义坐标。若以楔块为动系，则x 楔块的速度，圆柱轴心 O 的速度， A v o v 以及轴心 O 相对 A 的相对速度满足如下的 矢量关系（方向如图所示） OrAO vvv 圆柱在斜面上作纯滚动有：。系rv Or 统的动能为 22 1 2 O1 2 A ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 rmvmmvT 22 1 22 1 2 4 1 )sin()cos( 2 1 2 1 rmrrxmxm 22 11 2 1 4 3 cos)( 2 1 rmxrmxmm 取过楔块上 A 点的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为 sin 1 rgmV 则拉格朗日函数 sin 4 3 cos)( 2 1 1 22 11 2 1 rgmrmxrmxmmVTL 代入拉格朗日方程，整理可得0)( x L x L dt d （a）0cos)( 11 rmxmm 代入拉格朗日方程，整理可得0)( LL dt d （b）sin2cos23gxr 求解方程（a） 、 （b）得 楔块的加速度：，方向水平向左。g mmm m xa 2 11 1 cos2)( 3 2sin 圆柱的角加速度：，顺时针方向。g rmmm mm cos2)( 3 sin)(2 2 11 1 x A v Or v 零势面 921 解：解：以三个重物和滑轮构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度（如图 所示） 。设重物的坐标为，重物相对于滑轮 B 的轮心的位置为。系统的动能 1 M 1 x 2 M 2 x 为 2 213 2 212 2 11 )( 2 1 )( 2 1 2 1 xxmxxmxmT 2123 2 232 2 1321 )()( 2 1 )( 2 1 xxmmxmmxmmm 设时系统的势能为零，则任意位置系统的势能为0 21 xx )()( 21312211 xxgmxxgmgxmV 2321321 )()(gxmmgxmmm 拉格朗日函数 2123 2 232 2 1321 )()( 2 1 )( 2 1 xxmmxmmxmmmVTL 2321321 )()(gxmmgxmmm 代入拉格朗日方程，整理可得0)( 11 x L x L dt d （a）0)()()( 3212321321 gmmmxmmxmmm 代入拉格朗日方程，整理可得0)( 22 x L x L dt d （b）0)()()( 32132232 gmmxmmxmm 由方程（a） 、 （b）解得重物的加速度 1 M ，g mmmmm mmmmm xa 32321 32321 11 4)( 4)( 初始时刻系统静止，若使下降则，即：。 1 M0 1 a 32 32 1 4 mm mm m x1 x2 922 解：解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取平台的水平坐标，以及物体相xM 对于平台的坐标（弹簧原长为坐标原点）为广义坐标。系统的动能为s 2221 )( 22 sx g P x g P T 2 22 2 21 2 11 )( 2 1 sP g sxP g xPP g 设初始时刻势能为零，则任意时刻系 统的势能为 2 2 1 ksV 则拉格朗日函数 22 22 2 21 2 1 2 11 )( 2 1 kssP g sxP g xPP g VTL 水平力对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移Fxs0, 0sx 下力所做的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取FxFW x FxFQ F x ，在这组虚位移下力所做的虚功为，因此力对应于广义坐0, 0sxF0 s W F 标的广义力。s0 F s Q 代入拉格朗日方程，整理可得FQ x L x L dt d F x )( （a）FgsPxPP 221 )( 代入拉格朗日方程，整理可得0)( F s Q s L s L dt d （b）0 22 kgssPxP 由方程（a）)可得： （c）s PP P PP Fg x )()( 21 2 21 代入方程（b）得： （d）FgPkgsPPsPP 22121 )( x s 0 l 解微分方程（d）得：，其中，：。 )( cos )( 21 2 21 2 PPk FP pt PPk FP s 21 212 )( PP kgPP p 求导得：，代入方程（c）可得pt P Fg scos 1 平台的加速度： ，方向水平向右；)cos1 ( 1 2 21 1 pt P P g PP F xa 物体 M 的加速度：，方向水平向右。)cos1 ( 21 2 ptg PP F sxa 927 解：解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取 滑块的水平坐标，以及杆 AB 与铅垂方向的夹角为x 广义坐标。如图所示，系统的动能为 2 B2 2 A1 2 1 2 1 vmvmT )sin()cos( 2 1 2 1 22 2 2 1 llxmxm 22 22 2 21 2 1 cos)( 2 1 lmxlmxmm 设时势能为零，图示瞬时系统的势能为。拉格朗日函数0)cos1 ( 2 glmV )cos1 ( 2 1 cos)( 2 1 2 22 22 2 21 glmlmxlmxmmVTL 拉格朗日函数中不显含广义坐标和时间 t，存在循环积分和广义能量积分，即x 常数 cos)( 221 lmxmm x T x L 常数)cos1 ( 2 1 cos)( 2 1 2 22 22 2 21 glmlmxlmxmmVT 928 A v BA v 解：解：取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块 B 沿斜面的坐标，以及杆s OD 与铅垂方向的夹角为广义坐标。如图所示，杆 OD 作平面运动，有 CBBC vvv 则系统的动能为 2 B2 22 1 2