蒙提霍尔问题的探究.docx

蒙提霍尔问题的探究韩院明(河南大学数学与信息科学学院 开封475004)摘 要 本文回顾了概率论的发展过程以及它的广泛作用.针对与概率论联系紧密的游戏问题“蒙提霍尔问题”，根据所学知识，利用全概率公式、贝叶斯公式分析解决该问题，并扩展利用高等代数、软件来进行解析.在此基础上还做出进一步推广到生活中的其他问题，最后得出结论和对我们生活、学习等的启发.关键词 全概率公式 贝叶斯公式 直觉 逻辑1 概率论发展简史1.1 概率论起源（游戏与概率论）人们经常玩游戏和作趣题,有关游戏起源的书籍中会列举许多古代游戏的例子,这些游戏至今人们仍在玩.而数学与游戏两项人类的活动在许多方面有共同的特点1.一般认为，游戏是一个广泛的概念，以直接获得快感为主要目的，且必须有主体参与互动的活动.事实上，谈及游戏，人们的一般反应就是娱乐.确实，游戏首先是用来愉悦心情的，用来娱乐大众的.游戏本身就是文娱活动的一种，分为智力游戏和活动性游戏.前者可以发展智力，后者可以强身健体.而数学则是带有文艺风度的智力工作，同时是具有巨大实用价值的自然科学.在传统数学领域和现代数学中都能发现大量的具有游戏性质的内容和问题.最早纯粹的关于游戏性数学问题的书籍出现在17世纪，其后200年中，数学中的游戏及迷题的种类和数量迅速增加.在这个时期内人们的兴趣大都集中在数字的奇特性、几何迷题、算术故事问题、魔方、赌博等游戏.概率论直接起源于十七世纪中叶的一个关于赌博的游戏.当时，法国的一个赌徒在针对赌博中常常遇到的怎样合理分配赌注问题时，向著名数学家帕斯卡请教:“现有两个赌徒相约进行赌博若干局，谁先赢局就算赢，当赌徒赢局，而赌徒赢局时，赌博中止，那赌本应怎样分才合理呢？”后来，帕斯卡和费马在通信中各自解决了这个问题.1657年，荷兰的另一数学家惠根斯亦用自己的方法解决了这一问题，更写成了论赌博中的计算一书，这也是是概率论最早的论著.对于这个问题的解决和研究标志着不同于以往的确定性数学的一种崭新的数学方法-概率论的诞生，它把纯粹偶然事件的表面上的无规律性置于规律、秩序和规则之下，从而成为人类的根本知识之一，并具有广泛应用价值.1.2 概率论的发展及现状使概率论成为数学一个分支的另一奠基人是瑞士数学家雅各布-伯努利.他的主要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理，我们称为“伯努利大数定理”，即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”.这一定理更在他死后，即1713年，发表在他的遗著猜度术中.到了1730年，法国数学家棣莫弗出版其著作分析杂论，当中包含了著名的“棣莫弗拉普拉斯定理”.这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形.而接着拉普拉斯在1812年出版的概率的分析理论中，首先明确地对概率作了古典的定义.另外，他又和其他数学家建立了关于“正态分布”及“最小二乘法”的理论2.1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作概率论基础，这是概率论的一部经典性著作.其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来.由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者. 在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破.公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点. 到了近代，出现了理论概率及应用概率的分支，及将概率论应用到不同范畴，从而开展了不同学科.因此，现代概率论已经成为一个非常庞大的数学分支.现在，概率论与以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着非常重要的作用.概率论作为理论严谨，应用广泛的数学分支正日益受到人们的重视，并将随着科学技术的发展而得到发展.2 蒙提霍尔问题的提出2.1 问题提出三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题，出自美国的电视游戏节目Lets Make a Deal.问题以该节目的主持人的名字蒙提霍尔（Monty Hall）命名.问题是这样的：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会3？2.2 有关蒙提霍尔问题的一个著名叙述来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给展示杂志（Parade Magazine）玛丽莲沃斯莎凡特（Marilyn vos Savant）专栏的信件：假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊.你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门.他然后问你：“你想选择二号门吗？”换选对你来说是一种优势吗？后来玛丽莲沃斯莎凡特为了更好的解释自己的解答过程，于是对该问题加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种明确的陈述：(1)参赛者在三扇门中挑选一扇.他并不知道内里有什么.(2)主持人知道每扇门后面有什么.(3)主持人必须开启剩下的门后有山羊的一扇门，并且必须提供换门的机会.(4)如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门.(5)如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门.(6)参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门.转换选择可以增加参赛者的机会吗？玛丽莲沃斯莎凡特（Marilyn vos Savant）通过计算, 认为应该换另外一扇门.随后,她把这个问题以及解答刊登在她的行列(Parade)专栏上.问题登出去之后,竟然引起了轩然大波.读者的来信似雪片般地飞来.来信者中大多数都不赞同她的观点,他们认为坚持原来的选择和改变主意换到另一扇门,获得汽车的概率是一样的.这些人中甚至有知名的数学家， 众多的反对声音让莎凡想到用试验的方法向那些不相信的人验证这个策略.她在读者中找来几位数学教师和她一起做试验,还有一些读者自愿做模拟试验,经过很长一段时间的试验和辨证后,这个策略才逐渐被人们认可.3 蒙提霍尔问题解决策略为什么甚至于连一些数学家在这个问题上出现了失误呢?分析后其实我们不难发现,原因是很多人都没能理解透彻主持人展示山羊其实提供了重要的信息.也许了解这个策略最容易的方式就是要注意参赛选手最初选择到汽车的概率是,即使在主持人打开一扇门后有山羊的门之后,这个概率也不会改变,所以另一扇未打开的门后面是汽车的概率就是.因此这样改变选择会使参赛选手中奖的概率增加一倍4.其实不难发现如果将问题稍加改动,理解这个问题就容易了.假设不是三扇门而是10000扇门供你选择,在参赛选手选定一扇门之后,主持人打开余下的藏有山羊的9998扇门.这样问题就变得很清楚了,换门的确是最好的策略,毕竟,选手最初选择获得小汽车的概率是万分之一.现在参赛选手发现或者参赛选手选手非常幸运,在几乎是天文数字中选中了汽车,或者小汽车在剩下的那扇未打开的门的后面.3.1 利用全概率公式和贝叶斯公式解决蒙提霍尔问题 全概率公式5：设为一概率空间, 是的一个有穷剖分，且.则对任一事件，有则蒙提霍尔问题解法如下： 设参赛者，主持人，要从三个门中选择一个，其中一扇的后面有一辆汽车（称车门），另外两扇里面各一只山羊（称羊门），已知条件是：(1)参赛者在三扇门中挑选一扇.他并不知道内里有什么.(2)主持人知道每扇门后面有什么.(3)主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会.(4)主持人永远都会挑一扇有山羊的门.(5)如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门.(6)如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门.(7)参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门6.我们在考虑第一次选择完成后，打开一扇羊门的情况下，为了得到车，选择换门与否的两种情况的概率大小的比较，我们增加车门和羊门来考虑这个问题的一般解答. 设现有个车门，个羊门,记,，.因为有辆车只羊，所以一共有个门，有古典概型可知 (1)在初选车的情况下，打开了一扇羊门，剩下的扇门中有扇车门扇羊门，如果这个时候换门，得到车门和羊门的概率分别为 (2) 在初选羊的情况下，打开的是第二扇羊门，剩下的扇门中，有扇车门扇羊门.这个时候换门，得到车门和羊门的概率分别为 (3)由全概率公式我们可以知道，换得车的概率等于初选车且换得车的概率加上初选羊且换得车的概率，也就是初选车的概率乘以初选车的前提下换得车的概率加上初选羊的概率乘以初选羊前提下换得车的概率，同理我们可以得到换得羊的概率，即是： (4) (5)将（1），（2），（3）的数值代入（4），（5）中相应的项，可以得到：上述结果，比较初选车与换选车概率，即是在这个问题中,.可见参赛者换门得到车的概率比不换门得到车的概率大一些，即换门有利.贝叶斯公式：设为一概率空间，为的一个有穷剖分且，则对任意且，有 主持人知道门后是车是羊，他一定要开打的是羊门.设选手任选一个门. 如果车在门后面，主持人有、两种选择，打开门（羊门）的概率为如果车在门后面，主持人没有选择，只能打开门如果车在门后面，主持人一样没有选择，只能开门又车在各个门后的概率均为，所以主持人在选手选门的情况下开门的概是根据贝叶斯公式,主持人打开门的情况下，,两门后面是车的概率分别为 所以换门赢的机会大.3.2 利用贝叶斯公式的矩阵表示解决蒙提霍尔问题为了更深入了了解贝叶斯公式在解决这个问题上的重要作用，我们就来利用高等代数中的矩阵来延伸贝叶斯公式，并解决蒙提霍尔问题.我们知道，贝叶斯公式也可以推广为那么，我们将所有的排列成矩阵形式，即 于是，蒙提霍尔问题就可以这样解决：设选手选了门，主持人开，两门中的一个，则主持人开门的概率为因此，就可以得到一个矩阵.所以如果选手换门的话得到汽车的机会大一些.3.3 利用数学软件解决蒙提霍尔问题. MATLAB是MATrix LABoratory(矩阵实验室)的缩写，是由美国mathworks公司1980年初开发的一套以矩阵计算为基础的科学和工程计算软件.它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平7.蒙特霍尔问题的迷惑性关键是电视节目主持人为了节目的紧张刺激，故意会打开他事先知道的有羊的门，因此，如果不换的话，参赛者获得汽车的可能性是.如果参赛选手要更换选择，则他将会面临三种等可能性的情况：参赛选手选羊一号，主持人选羊二号，更换选择将赢得汽车.参赛选手选羊二号，主持人选羊一号，更换选择将赢得汽车.参赛选手选羊汽车，主持人选两头羊的任何一头，更换选择将不会赢得汽车.于是我们可以根据选手面临的可能情况可以编辑出数学程序代码，进而通过数学软件来计算参赛选手获得汽车的概率（程序代码见附录）.通过以上数据可以看出，随着实验次数的增加，更换选择的频率趋近于，而不做更换的频率趋近于，这和理论分析的结果是一致的.这个例子告诉我们，用Matlab设计实验进行模拟，可以纠正我们的直觉错误，同时也可以验证理论的正确性.4 蒙提霍尔问题的推广4.1 “四扇门”问题 延续上面所叙述的三扇门问题，可以把蒙提霍尔问题推广到四扇门，也就是说，主持人让参赛选手选的门的总数是四扇，其中三扇门里面是羊，一扇门里面是车.让选手随机选择.选手随机选择一扇门，然后主持人在剩下的三扇门中打开一扇门后是羊的门，然后询问选手是否换选未选择或打开的两扇门，无论选手怎么选择，主持人都会从未选的两扇门中打开一扇门后有羊的门，然后再给你一次换选门的机会，那么，你每次应该怎么做才能提高你获得汽车的机会？也就是说，参赛选手要经过三次选择，于是可以知道一共有四种策略：表1：选手选门策略方案第一次选择第二次选择第三次选择策略一选定一门不换不换策略二选定一门换选不换策略三选定一门不换换选策略四选定一门换选换选设 ,则；，.如果要想最终获得汽车，那么我们可以得到：（1）策略一.第一次之间选定以后不换选直接获得获得小汽车的概率. （2）策略二.第一次选择门后有羊而第二次选择门后有汽车的门就获得汽车.（3）策略三.第一次选择门后有羊的门，第二次不换，仍是门后有羊的门，在主持人打开门后有羊的门之后，第三次换选即可获得汽车.(4)策略四.策略四分为两种情况：第一次选择的是门后为羊的门，第二次选择还是门后是羊的门，第三次自然可获得汽车.则第一次选择门后有汽车的门，第二次选择是门后为羊的门.所以第四次获得奖金的概率为.所以可以得知策略三，也就是第一次选择之后第二次不换门，第三次换门获得汽车的机会最大.4.2 “十点半”游戏 “十点半”游戏是流行于河南一带的植根于“二十一点”游戏的一种新的纸牌游戏玩法，该纸牌游戏简单易学，而且游戏性强，在原有规则的基础上还能自己制定规则，更是增加了游戏的乐趣，更刺激.“十点半”的原有规则是这样的：（1）以一副去掉了大小王的扑克牌为游戏道具，由庄家开始发牌，轮流给每个人各发一张.（2）玩家在看到自己所发到手的第一张牌的点术后，可以选择是否要牌，每个人最多只能要五张.（3）一轮要牌结束后大家把自己的牌亮开，如果是五张牌而且点数和不超过“十点半”就被称为“五止”，直接获胜；如果没有“五止”的，则点数最接近“十点半”的获胜，如果点数和超过“十点半”，则被称为“老”.（4）点数计算方法：，为点，其余均为牌本身点数，,都算作半点. 在某个假期中的空闲时间，小韩和家人、朋友一起玩“十点半”游戏，为了增加游戏的刺激性，小韩爸爸提议每个人发的第一张牌都为暗牌，即每个人不看第一张牌来进行要牌.小韩爸爸是庄家，小韩是所有玩家最后一个要牌的，轮到小韩时，其他人要么是要到自己想要的牌，要么是“老”了.除了庄家发的一张牌之外，小韩又要了一张，是1，由于此时牌面上出现了25张牌都不是5点以上的（包含5点），于是小韩猜测自己的暗牌是5点以上（含5点），小韩爸爸看出了小韩的犹豫不决，于是他从未发的牌中找出5张“5点”以上的牌放到牌堆中，然后问小韩是否还再要牌.那么小韩是否应该要第三张牌呢？我们知道一副牌5点以上的一共有24张，其他人又没有5点以上，所以小韩暗牌是5点以上（包含5点）的概率是而接下来小韩第三张牌的点数如果是5点以上，则小韩肯定“老”了，而第三张牌点数取决于小韩手中的暗牌点数，所以“老”了的概率 所以小韩拿到第三张牌“老”了概率大于，也就是说小韩不应该要第三张牌.4.3 三死囚释放问题在算法导论一书中有这样一个例子：一个监狱准备从三个死囚犯中随机选择一个释放，其余两个将被处死.警卫知道哪个人会被释放，但是不能告诉死囚本人的信息.我们分别称死囚为,.死囚私下问警卫或哪个会被处死，因为他知道他们三个人中至少一个人会死，警卫告诉，会被处死. 感到很高兴，以为他或者将会被释放，这样也意味着他被释放的概率为.他正确吗？或者他的概率仍为？请解释8.其实，样本空间本身有三个基本事件：表2：死囚释放问题的样本空间事件A结果B结果C结果F1释放死亡死亡F2死亡释放死亡F3死亡死亡死亡问题出在警卫身上，问警卫哪一个会死，无论是哪种基本事件，警卫总能告诉一个会死的人.所以计算方法是：记事件: 被释放；事件：和中某人死亡.求的是，当警卫告诉，或两人中某人会死的情况下，会被释放的概率为：所以犯人不正确，他被释放的机会仍然是.5 结论蒙提霍尔问题，这一个算上去并不是很复杂的问题，在过去的很多年里有过无数次的争论，无非是因为以大多数人的直觉来看，无论换门与否，获得车的概率都是一样的，然而经过系统的计算之后发现，其实不然，通过这个问题，我们能够学到很多东西.通过这个游戏，我们能得到的启发有：(1）同一个故事，同一个问题，可以利用不同的方法通过不同的方面进行解读，就可能有不同的收获.最大的收获就是：分析一个问题时，要把自己的主观直觉，其中的人物动机和胜负得失抛开，集中于概率问题的思考，只要解答符合逻辑，就值得思考，客观地思考是一个学习过程.数学的对错其实是和个人感情、动机没有关系的，只凭逻辑.(2)我们的概率论与数理统计中的很多理论，我们数学课程中的很多知识，都是与我们的生活息息相关的，都可以用到我们的生活中，我们要好好学习并且加以利用.参考文献1牟晓琳.数学游戏的理论与实践D.2011.3：4