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大题精做7 立体几何：建系困难问题2019长沙统测已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值图一图二【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设的中点为，连接，由题意，得，在中，为的中点，在中，平面，平面，平面，平面平面（2）由（1）知，平面，是直线与平面所成的角，且，当最短时，即是的中点时，最大由平面，于是以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则由得：令，得，即设平面的法向量为，由得：，令，得，即由图可知，二面角的余弦值为12019安庆期末矩形中，点为中点，沿将折起至，如图所示，点在面的射影落在上（1）求证：面面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值22019南阳期末如图1，在矩形中，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，如图2（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为若二面角为，求与平面所成角的正弦值32019苏州调研如图，在四棱锥中，已知底面是边长为1的正方形，侧面平面，与平面所成角的正弦值为（1）求侧棱的长；（2）设为中点，若，求二面角的余弦值1【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）在四棱锥中，从而有，又面，而面，而、面，且，由线面垂直定理可证面，又面，由面面垂直判断定定理即证面面（2）由条件知面，过点做的平行线，又由（1）知面，以、分别为、轴建立空间直角坐标系，如图所示：，面的一个法向量为，设面的法向量为，则有，从而可得面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面角为，与互补，则，故平面与平面所成二面角的余弦值为2【答案】（1）详见解析；（2）【解析】证明：（1）先在图1中连结，在中，由，得，在中，由，得，则，从而有，即在图2中有，平面，则；解：（2）延长，交于点，连接，根据公理3得到直线即为，再根据二面角定义得到在平面内过点作底面垂线，以为原点，分别为，及所作垂线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，取，得与平面所成角的正弦值为3【答案】（1）或；（2）【解析】（1）取中点，中点，连结，又平面平面，平面，平面平面，平面，又是正方形，以为原点，为，轴建立空间直角坐标系（如图），则，设，则，设平面的一个法向量为，则有，取，则，从而，设与平面所成角为，解得或，或（2）由（1）知，由（1）知，平面
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