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大题精做8 立体几何：动点与设未知量2019遵义航天中学如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上（1）当是线段的中点时，求证：平面；（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在【解析】（1）证明：连接交于点，连接，四边形是菱形，点为的中点，又为的中点，又平面，平面，平面（2）是菱形，是的中点，又平面，以为原点，分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，则，假设棱上存在点，设点坐标为，则，设平面的法向量为，则，解得令，则，得平面，平面的法向量，二面角的大小为，即，解得，或（舍去）在棱上存在点，当时，二面角的大小为12019跃华中学如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为（1）若点为上的点，且平面，试确定点的位置；（2）在（1）的条件下，点为线段上的一点且，若平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值22019湖北联考如图，在四棱锥中，且，（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由32019西城44中如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面底面，分别为，的中点，点在线段上（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面；（3）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值1【答案】（1）为中点；（2）【解析】（1）设交于点，连结，平面，平面平面，又为的中点，在中，为中点（2）连结，由题意得平面，且，以为原点，、所成直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则，令，得平面的一个法向量，设平面的法向量，由，得，令，得，平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，解得2【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】（1）在底面中，且，又，平面，平面，平面，又平面，又，平面，平面，平面（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，平面，又平面，作于，又，平面，平面，平面，又平面，又，是二面角的一个平面角，设，则，这样，二面角的大小为，即，即，满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、三条直线两两垂直可以分别以直线、为、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，设是平面的一个法向量，则，令，则，它背向二面角，又平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，满足要求的点存在，且3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）证明：在平行四边形中，分别为，的中点，侧面底面，且，底面，又，平面，平面，平面（2）证明：为的中点，为的中点，又平面，平面，平面，同理，得平面，又，平面，平面，平面平面，又平面，平面（3）解：底面，两两垂直，故以，分别为轴，轴和轴建立如图空间直角坐标系，则，设，则
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