2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质练习.docx

2.4.2 抛物线的简单几何性质A基础达标1顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()Ay2x By23xCy26x Dy26x解析：选C顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y22px(p0)，由题意知，故p3因此，所求抛物线的标准方程为y26x2已知直线ykxk(k为实数)及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选C因为直线ykxk恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y22px的内部，所以当k0时，直线与抛物线有一个公共点，当k0时，直线与抛物线有两个公共点3过抛物线y22px(p0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则为()A4 B4Cp2 Dp2解析：选B法一：(特例法)当直线垂直于x轴时，点A，B，4法二：由焦点弦所在直线方程与抛物线方程联立可得y1y2p2，则44有一个正三角形的两个顶点在抛物线y22px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A2p B4pC6p D8p解析：选B设A、B在y22px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则AOx30，则OA方程为yx由得y2p，所以AOB的边长为4p5直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A B2C D4解析：选C直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，弦AB的中点到直线x0的距离是6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则线段AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x1由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是线段AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为1，故填答案：7已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_解析：设抛物线C的方程为y2ax(a0)，由方程组，得交点坐标为A(0，0)，B(a，a)，而点P(2，2)是AB的中点，从而有a4，故所求抛物线C的方程为y24x答案：y24x8已知A(2，0)，B为抛物线y2x上的一点，则|AB|的最小值为_解析：设点B(x，y)，则xy20，所以|AB| 所以当x时，|AB|取得最小值，且|AB|min答案：9若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程解：设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题知M因为|AF|3，所以y03，因为|AM|，所以x17，所以x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4所以所求抛物线的标准方程为x24y或x28y10已知抛物线y2x与直线yk(x1)相交于A，B两点(1)求证：OAOB；(2)当AOB的面积等于时，求k的值解：(1)证明：如图，由方程组消去x并整理，得ky2yk0设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系知y1y2，y1y21因为kOAkOB1，所以OAOB(2)设直线与x轴交于点N，显然k0令y0，则x1，即点N(1，0)所以SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1 ，所以kB能力提升11设直线l1：y2x，直线l2经过点P(2，1)，抛物线C：y24x，已知l1，l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()A1 B2C3 D4解析：选C因为点P(2，1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C交于两点，所以过点P的直线l2在分别过这两点或与x轴平行时符合题意所以满足条件的直线l2共有3条12直线yx3与抛物线y24x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为_解析：由，消去y得x210x90，得x1或9，即或所以|AP|10，|BQ|2或|BQ|10，|AP|2，所以|PQ|8，所以梯形APQB的面积S848答案：4813已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y10截得的弦长为，求此抛物线方程解：设抛物线方程为x2ay(a0)，由消去y，得2x2axa0因为直线与抛物线有两个交点，所以(a)242a0，即a8设直线与抛物线两个交点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，y1y2(x1x2)，所以|AB| 因为|AB|，所以 ，即a28a480，解得a4或a12，所以所求抛物线方程为x24y或x212y14(选做题)如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N(1)求y1y2的值；(2)记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值解：(1)依题意，设AB的方程为xmy2，代入y24x，得y24my80，从而y1y28(2)证明：连接MN，设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，代入y24x消x得：y24ny40，所以y1y34，同理y2y44，由(1)知y1y28，所以2为定值双曲线与抛物线(强化练)学生用书P121(单独成册)一、选择题1顶点在坐标原点，准线方程为y1的抛物线的标准方程是()Ax22y Bx24yCx22y Dx24y解析：选B抛物线的准线为y1，故其焦点在y轴负半轴上，且1，所以抛物线的标准方程为x24y2已知双曲线1(a0)的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()A BC D解析：选C根据右焦点坐标为(3，0)，知c3，则a259，所以a2，故e3已知双曲线的实轴长和虚轴长等长，且过点(5，3)，则双曲线方程为()A1 B1C1 D1解析：选D由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2y2(0)，将点(5，3)代入方程，可得523216，所以双曲线方程为x2y216，即14若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A BC D解析：选A线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为15已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A BC D解析：选D由题意知过点(4，2)的渐近线的方程为yx，所以24，所以，e211，所以e，故选D6已知双曲线1(b0)的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A B4C3 D5解析：选A由题易得抛物线的焦点为(3，0)，所以双曲线的右焦点为(3，0)，所以b2945，所以双曲线的一条渐近线方程为yx，即x2y0，所以所求距离为d7(2018上海金山调研)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10解析：选D设切线方程为2xym0，联立，得x22xm0由44m0，得m1，所以切线方程为2xy10故选D8已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(，0)，点P在双曲线上，且PF1PF2，PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A1 B1Cy21 Dx21解析：选C由题意，知(|PF1|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c，所以b1，所以所求双曲线的方程为y21故选C9(2018泉州高二检测)已知点A(4，0)，抛物线C：x212y的焦点为F，射线FA与抛物线和它的准线分别相交于点M和N，则|FM|MN|等于()A23 B34C35 D45解析：选C抛物线焦点为(0，3)，又A(4，0)，所以FA的方程为3x4y120，设M(xM，yM)由可得xM3(负值舍去)，所以yM，所以故选C10如图，已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|1，则双曲线的离心率是()A3 B2C D解析：选B记APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为N，M，则|AN|AM|，|NF1|QF1|，|PM|PQ|又|AF1|AF2|，所以|NF1|AF1|AN|AF2|AM|MF2|，所以|QF1|MF2|则|PF1|PF2|(|PQ|QF1|)(|MF2|PM|)|PQ|PM|2|PQ|2，即2a2，则a1由|F1F2|42c，得c2，所以双曲线的离心率e2，故选B二、填空题11抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为_解析：将yax2化为x2y，由于准线方程为y2，所以抛物线开口向下，0，且2，所以a答案：12已知ab0，若椭圆1与双曲线1的离心率之积为，则双曲线的渐近线方程为_解析：由已知及椭圆、双曲线的几何性质，得，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx，即xy0答案：xy013已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为_解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形双曲线的渐近线方程为yx，圆的方程为x2y24，不妨设交点A在第一象限，由yx，x2y24，得xA，yA，故四边形ABCD的面积为4xAyA2b，解得b212，故所求的双曲线方程为1答案：114已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_解析：如图所示，由题意，可得|OF|1，由抛物线的定义，得|AF|AM|，因为AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，所以3所以|AF|AM|3|OF|3设A，所以13，所以2，解得y02所以点A的坐标是(2，2)答案：(2，2)三、解答题15已知双曲线的渐近线方程是yx，焦距为2，求双曲线的标准方程解：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为1(a10，b10)，由题意知，解得，此时双曲线的标准方程为1当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为1(a20，b20)，由题意知，解得，此时双曲线的标准方程为1综上，所求双曲线的标准方程为1或116已知抛物线C：y22px(p0)的焦点坐标为(1，0)(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l：yx1与抛物线C交于A，B两点，求弦长|AB|解：(1)由题意，得1，所以p2，抛物线C的标准方程是y24x(2)易知直线l：yx1过抛物线的焦点由，可得x26x10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x26，所以|AB|x1